5556
.pdf
аналитическое выражение с дробно – рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.
Исследуем непрерывность функции y в точке x1 = 0 :
lim y = lim |
1 |
= |
1 |
= −∞ |
|
|
|
||||
x→0−0 |
x→−0 x |
|
− 0 |
||
|
|
lim y = lim x2 |
= (+ 0)2 = 0 |
|
||
|
|
x→0+0 |
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y(0) = x 2 |
x = 0 |
= 02 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку условие непрерывности функции y в точке x1 = 0 нарушается, то |
|||||
x1 |
= 0 |
– точка разрыва функции |
y , т.к. левосторонний предел функции y в точке |
|||
x1 |
= 0 |
равен бесконечности, то x1 |
= 0 – точка разрыва 2-го рода. |
|||
Исследуем непрерывность функции y в точке x2 = 1:
lim y = lim x 2 = (1 − 0 )2 = 1
x →1− 0 x →1− 0
lim y = lim x 2 |
= (2 − x )2 |
= 2 − (1 + 0) = 1 |
|
|||||||
x→1+ 0 |
x→1+ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y (1) = (2 − x ) |
x = 1 = 2 − 1 = 1 |
|
|
|
|
|||||
Условие |
непрерывности |
функции |
y |
в точке |
x2 = 1 выполняется, значит, |
|||||
функция y в точке x2 |
= 1 непрерывна. |
|
|
|
|
|||||
Построим график функции y : |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y |
y = x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
x |
|
|
|
y = |
1 |
|
|
|
|
|
y = 2 − x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 54
50
|
|
Производная |
|
|
|
|
|
||
Пусть |
функция |
y = f (x) определена |
на некотором |
интервале |
(a; b). |
||||
Аргументу |
x (a;b) дадим приращение x , |
получим |
точку |
(x + |
x) (a;b). |
||||
Найдем соответствующее приращение функции: |
y = f (x + |
x)− f (x). Составим |
|||||||
отношение приращения |
y функции |
y к приращению |
x |
аргумента |
x : |
y и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
найдем предел этого отношения при |
x → 0 , |
то есть lim |
y . Если этот предел |
||||||
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
существует, то его называют производной функцией от данной функции y = f (x) и
′ |
|
dy |
|
′ |
|
′ |
|
, |
|||||||
обозначают одним из символов: y (x), |
f (x), |
yx . |
|||||
|
|
dx |
|
|
|
||
Итак, по определению |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
y(x + x)− y(x) |
||||||
y (x) = lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
x |
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
||
Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Значения производной функции y = f (x) в точке x = x0 обозначается одним из символов: y′(x0 ), f ′(x0 ) или y′ x=x0 .
Пример. Найти по определению производную функции y = x2 .
Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая ось, то есть D = R . Выберем произвольную точку x R . Дадим ей приращение x , получим новую точку x + x R . Находим соответствующее приращение y
функции y = x2 :
y = y(x + x) − y(x) = (x + x)2 − x2 =
= x2 + 2x × Dx + (Dx)2 - x2 = 2x × Dx + (Dx)2 .
51
Составим отношение |
Dy = |
2x × Dx + (Dx)2 |
= 2x + Dx и найдем предел отношения |
||
Dx |
|||||
|
Dx |
|
|
||
при x → 0 : |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
y = lim(2x + Dx) = 2x + 0 = 2x . |
||
|
x→0 |
Dx x→0 |
|
||
Поскольку данный предел существует, то производная функции y = x2 в точке x
равна 2x , то есть (x2 )′ = 2x .
Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону
прямолинейного движения |
S = S (t ). |
Каждому значению истекшего времени t |
|
соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O . |
|||
Тогда средняя скорость Vcp |
движения точки за время t равна: |
||
V |
= |
S , где |
S = S (t + t )− S (t ). |
cp |
|
t |
|
|
|
|
|
Предел средней скорости Vcp движения при стремлении к нулю промежутка времени
t называется скоростью V движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)
V = lim S .
t→0 t
Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент
времени t есть производная от пути S по времени t , |
то есть V = St′. |
В этом |
||
заключается механический смысл производной. |
|
|
||
Если функция y = f (x) |
описывает |
какой-либо |
физический процесс, то |
|
производная y′есть скорость |
протекания |
этого процесса. В этом |
состоит |
|
физический смысл производной. |
|
|
|
|
52
y |
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
n |
M (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
y |
l |
|
M 0 |
A |
|
|
|
x |
|
α0 |
α ( x) |
|
|
0 |
x0 |
Рис. 55 |
x |
|
|
|
Под касательной l к графику функции y = f (x) в точке M 0 понимают предельное положение секущей M 0 M , когда точка M движется по кривой к точке M 0 (см.
рис. 55). Нормалью n называется прямая, проходящая через данную точку M 0
перпендикулярно касательной |
l |
(см. рис. 55). |
|||
Пусть касательная l образует с положительным направлением оси Ox угол |
|||||
α0 , а секущая M 0 M – угол α ( |
|
x). Тогда из прямоугольного треугольника AM 0 M |
|||
, получаем: tgα ( x) = |
y . Переходя к пределу при x → 0 , находим: |
||||
|
|
x |
|
|
|
lim tgα ( |
x) = lim |
y |
|
′ |
|
x |
= y |
(x0 ) = tgα0 = k , |
|||
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
То есть производная |
′ |
|
|
в точке x0 равна угловому коэффициенту k |
|
y (x0 ) |
|
||||
касательной l |
к графику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x0 . В |
||||
этом заключается геометрический смысл производной. |
|||||
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 ) |
|||||
в заданном направлении [y - y0 |
= k (x - x0 )], запишем уравнение касательной l к |
||||
графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 ; y0 ):
y - y0 = y′(x0 )× (x - x0 ).
Поскольку |
нормаль n |
перпендикулярна касательной l , то |
ее |
угловой |
||||||||
коэффициент |
kn |
= - |
1 |
= - |
1 |
|
. Поэтому уравнение нормали |
n к |
кривой |
|||
|
y¢(x0 ) |
|||||||||||
|
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|||
y = f (x) в точке |
M 0 (x0 ; y0 ) |
имеет вид: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y - y0 = - |
1 |
|
× (x - x0 ). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y¢(x0 ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y = x2 |
в точке |
|||||||||||
M 0 (−1;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Поскольку (x2 )′ = 2x , |
то |
|
|
|
||||||||
y′(x0 ) = (2x) x=−1 = 2 × (-1) = -2
и искомое уравнение касательной:
y -1 = -2 ×(x - (-1)) или y −1 = −2x − 2 ,
откуда 2x + y + 1 = 0, а искомое уравнение нормали:
y -1 = - |
1 |
(x - (-1)) или 2 y − 2 = x + 1, |
|
- 2 |
|||
|
|
откуда
x − 2 y + 3 = 0 .
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.
Запишем формулы производных элементарных функций:
(c)′ = 0, c = const ; |
(xn )′ |
= n × xn−1 , n Î R , n ¹ 0 ; |
|||||
(a x )′ = a x × ln a , a > 0 , a ¹ 1; (e x )′ = e x ; |
|
||||||
(loga x)¢ = |
1 |
|
, |
a > 0 , a ¹ 1; (ln x)¢ = |
1 |
; |
|
|
|
x |
|||||
|
x × ln a |
|
|
|
|||
(sin x)′ = cos x ; |
(cos x)′ |
= -sin x ; |
|
||||
54
(tg x)¢ = |
1 |
|
|
|
; |
(ctg x)¢ = - |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
cos2 |
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(arcsin x)¢ = |
|
1 |
|
|
|
; (arccos x)¢ = - |
|
|
1 |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 - x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- x2 |
|||||||||||
(arctg x)¢ = |
|
1 |
|
; |
(arcctg x)¢ = - |
|
1 |
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
(c ×u)′ = c ×u , c = const , u = u(x);
(u ± v)′ = u¢ ± v¢, u = u(x), v = v(x);
(u ×v)′ = u¢×v + u ×v¢, u = u(x), v = v(x);
u ′ |
u¢×v - u ×v¢ |
u = u(x), v = v(x). |
||||
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|||||
v |
|
v2 |
|
|||
Пример. Найти производную функции y = (2x +1)× e x .
Решение. По правилу дифференцирования произведения двух функций, находим:
y¢ = ((2x +1)× ex )′ = (2x +1)′ × ex + (2x +1)× (ex )′.
Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:
y¢ = (2x)′ + (1)′ × ex + (2x +1)× ex = 2(x)′ + 0 × ex + (2x +1)× ex = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= [2 ×1 + 0]× ex + (2x +1)× e x = 2ex + (2x +1)× e x = (2x + 3)× ex . |
|||
|
Производная сложной функции |
||
Пусть функция |
y = f (u) |
определена на множестве D1 , а функция u = g(x) |
|
определена на множестве D2 , |
причем для любой |
точки x D2 , соответствует |
|
значение u = g(x) D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y = f (g(x)), которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).
55
Переменную u = g(x) называют промежуточным аргументом сложной функции y .
Пример. Функция y = cos 3x является сложной функцией, так как y = cos u ,
u = 3x .
Пусть y = f (u), u = g(x), тогда y = f (g(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x . Тогда производная сложной функции y по независимой переменной x равна произведению производной функции y по промежуточной переменной u на производную
промежуточной переменной u по независимой переменной x , то есть |
′ |
= |
′ |
′ |
yx |
fu |
×ux . |
||
Пример. Найти производную функции y = e3 x . |
|
|
|
|
Решение. Данная функция y является сложной, так как y = eu , |
u = 3x . По |
|||
правилу дифференцирования сложной функции, находим: |
|
|
|
|
y¢x = yu¢ ×u¢x = (eu )′u × (3x)′x = eu ×3 = e3 x ×3 = 3e3 x . |
|
|
|
|
Производные высших порядков
Производная y′ = f ′(x) функции y = f (x) есть также функция от x и
называется производной первого порядка.
Если функция f ′(x) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка и обозначается y′′, то есть y¢¢ = (y¢)′.
Производная от производной второго порядка, если она существует,
называется производной третьего порядка и обозначается y′′′, то есть y¢¢¢ = (y¢¢)′ . Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от
производной ( n -1)-го порядка и обозначается y(n ) , то есть n−1) )′. Пример. Найти производную третьего порядка от функции y = cos 3x .
Решение.
y¢ = (cos3x)′ = -sin 3x ×(3x)′ = -sin 3x ×3 = -3sin 3x ,
56
y¢¢ = (y¢)′ = (- 3sin 3x)′ = -3 × (sin 3x)′ = -3 × cos 3x ×(3x)′ = = -3 × cos 3x ×3 = -9 cos 3x,
y¢¢¢ = (y¢¢)′ = (- 9 cos 3x)′ = -9 ×(cos 3x)′ = -9 × (- sin 3x)×(3x)′ = = 9 sin 3x ×3 = 27 sin 3x.
Итак, y′′′ = (y′′)′ = 27 sin 3x.
Дифференциал функции
Пусть задана функция y = f (x) и можно вычислить f (x0 ), то есть значение этой функции в точке x0 . Требуется вычислить значение этой функции y в точке x0 + Dx .
Если данная функция |
y = f (x) |
дифференцируема в точке x0 , |
то в точке |
|||||||
(x0 ; f (x0 )) существует касательная l |
к графику функции |
y = f (x) |
(см. рис. 56). |
|||||||
Тогда приращение функции |
y можно представить в виде: |
|
|
|
|
|||||
|
|
Dy = |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 )× Dx + α (Dx). |
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
α ( x) |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x0 |
|
x0 + |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
Рис. 56 |
|
|
|
|
|
||
Главную |
часть линейную |
относительно |
приращения |
x |
независимой |
|||||
переменной x |
в последнем равенстве, то есть выражение f |
′ |
|
называют |
||||||
(x0 )× Dx |
||||||||||
дифференциалом функции |
y = f (x) |
в |
точке |
x0 и |
обозначают |
dy . Итак, |
||||
dy = f ′(x0 )× Dx .
57
При x → 0 , то есть при α ( |
x) → 0 приращение функции y приближенно |
||||||
равно дифференциалу dy : |
|
|
|
|
|||
|
|
|
y ≈ dy или |
f (x0 + Dx) » f (x0 )× Dx . |
|||
Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений |
|||||||
функций в точке. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить e−0,02 . |
|
||||||
Решение. Рассмотрим функцию y = ex . Пусть x0 = 0 , тогда x0 + Dx = -0,02 , |
|||||||
откуда x = −0,02 . |
|
|
|
|
|
||
y¢(x ) = (ex )′ |
|
x=0 |
= ex |
|
x=0 |
= e0 = 1, |
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x0 ) = ex x=0 = e0 = 1.
Следовательно, e−0,02 » 1 +1× (- 0,02) = 1 - 0,02 = 0,98.
Ответ: e−0,02 » 0,98.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению,
то есть dx = D x , так |
как dy = dx = (x)′ × Dx =1× Dx = Dx . |
|
Таким |
образом, |
|||||||||
дифференциал функции вычисляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = y (x)× dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти дифференциал функции y = ln cos x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
y¢ = (ln cos x)¢ = |
|
1 |
×(cos x)¢ = |
1 |
×(- sin x) = -tgx , |
|
тогда |
|||||
|
|
cos x |
|
||||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy = -tg × dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
¥ |
|
|||
Рассмотрим |
способ |
раскрытия |
неопределенностей |
вида |
|
|
и |
|
|
при |
|||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
¥ |
|
|
|
вычислении пределов от функции одного переменного, который основан на применении производных.
Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Пусть g′(x) ¹ 0 в
58
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||
окрестности точки |
|
|
x . |
|
|
Тогда, |
|
|
если |
существует |
предел lim |
f (x) |
, |
|
то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 g¢(x) |
|
|||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
= lim |
|
(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→x0 g(x) |
|
x→x0 g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Пример. Вычислить предел lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x -1)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
lim |
x -1 |
= |
1 -1 |
= |
|
0 |
|
= lim |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
x ln x 1× ln1 |
|
|
|
|
|
x→1 |
|
(x ln x)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
(x)′ |
- (1)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
1 - 0 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x)¢ × ln x + x × (ln x)¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
x→1 1× ln x + x × |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ln x + |
|
|
|
ln1 +1 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Пусть функции |
|
f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки x0 |
(кроме, |
|
|
|
|
быть |
|
|
может, |
|
|
|
|
|
самой |
|
|
|
точки |
|
x0 ), в |
этой |
окрестности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||
lim f (x) = lim g(x) = ∞ , |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если существует предел |
lim |
|
|
, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
g (x) ¹ 0 . Тогда, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→x0 |
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 g¢(x) |
|
||||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
= lim |
|
(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→x0 g(x) |
|
x→x0 g¢(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пример. Вычислить предел lim |
|
|
|
|
|
x2 -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ 2x2 + 3x |
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
-1)′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Решение. lim |
|
|
|
|
x2 |
-1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
¥2 |
-1 |
|
|
|
= |
|
¥ = lim |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
2x |
2 |
|
+ 3x 2 × ¥ |
2 |
+ 3 × ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
(2x2 |
+ 3x)¢ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 ′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x - 0 |
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
) |
- |
(1) |
|
|
|
|
= lim |
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2x2 )¢ + (3x)¢ |
4x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
(2x)′ |
|
|
= lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(4x + 3)¢ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
x→∞ 4 |
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
59