5546
.pdfаналитическое выражение с дробно – рациональной на квадратичную и с квадратичной на линейную, соответственно.
Исследуем непрерывность функции y в точке x1 = 0 :
lim y = lim |
1 |
= |
1 |
= −∞ |
|
|
|
||||
x→ 0−0 |
x → −0 x |
|
− 0 |
||
|
lim y = lim x2 |
= (+ 0)2 = 0 |
|
|
||||||
|
x→0+0 |
x→+0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y(0) = x 2 |
x = 0 |
= 02 = 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Поскольку условие непрерывности функции y в точке x1 = 0 нарушается, то |
|||||||||
x1 |
= 0 – |
точка разрыва функции |
y , т.к. левосторонний предел функции y в точке |
|||||||
x1 |
= 0 равен бесконечности, то x1 |
= 0 – точка разрыва 2-го рода. |
||||||||
|
Исследуем непрерывность функции y в точке x2 |
= 1: |
||||||||
|
lim |
y = lim |
x 2 |
= (1 − 0 )2 |
= 1 |
|
||||
|
x → 1− |
0 |
x → 1− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
lim y = lim x 2 |
= (2 − x )2 |
= 2 − (1 + 0) = 1 |
|
||||||
|
x→1+ |
0 |
x→1+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y (1) = (2 − x ) |
x = 1 = 2 − 1 = 1 |
|
|||||||
|
Условие |
непрерывности |
функции y в точке |
x2 = 1 выполняется, значит, |
||||||
функция y в точке x2 |
= 1 непрерывна. |
|
||||||||
|
Построим график функции y : |
|
||||||||
50
y |
y = x2 |
|
1 |
|
|
0 |
1 2 |
x |
y = 1 |
|
y = 2 − x |
x |
|
|
Рис. 54
|
|
Производная |
|
|
|
|
|
||
Пусть |
функция |
y = f (x) определена |
на некотором |
интервале |
(a; b). |
||||
Аргументу |
x (a;b) дадим приращение x , |
получим |
точку |
(x + |
x) (a;b). |
||||
Найдем соответствующее приращение функции: |
y = f (x + |
x)− f (x). Составим |
|||||||
отношение приращения |
y функции |
y к приращению |
x |
аргумента |
x : |
y и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
найдем предел этого отношения при |
x → 0 , |
то есть lim |
y . Если этот предел |
||||||
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
существует, то его называют производной функцией от данной функции y = f (x) и
′ |
|
dy |
|
′ |
|
′ |
|
, |
|||||||
обозначают одним из символов: y (x), |
f (x), |
yx . |
|||||
|
|
dx |
|
|
|
||
Итак, по определению |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
y(x + x) − y(x) |
||||||
y (x) = lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
x |
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
||
Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
51
Значения производной функции y = f (x) в точке x = x0 обозначается одним из символов: y′(x0 ), f ′(x0 ) или y′ x=x0 .
Пример. Найти по определению производную функции y = x2 .
Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая ось, то есть D = R . Выберем произвольную точку x R . Дадим ей приращение x , получим новую точку x + x R . Находим соответствующее приращение y
функции y = x2 :
y = y(x + x) − y(x) = (x + x)2 − x2 =
= x2 + 2x × Dx + (Dx)2
Составим отношение Dy = Dx
при x → 0:
lim
x→0
- x2 = 2x × Dx + (Dx)2 .
2x × Dx + (Dx)2 = 2x + Dx и найдем предел отношения
Dx
y= lim(2x + x) = 2x + 0 = 2x .
xx→0
Поскольку данный предел существует, то производная функции y = x2 в точке x
равна 2x , то есть (x2 )′ = 2x .
Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону
прямолинейного движения |
S = S (t ). |
Каждому значению истекшего времени t |
|
соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O . |
|||
Тогда средняя скорость Vcp |
движения точки за время t равна: |
||
V |
= |
S , где |
S = S(t + t ) − S(t ). |
cp |
|
t |
|
|
|
|
|
Предел средней скорости Vcp движения при стремлении к нулю промежутка времени
t называется скоростью V движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью)
V = lim S .
t→0 t
52
Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t , то есть V = St′. В этом заключается механический смысл производной.
|
|
Если функция |
y = f (x) |
|
описывает какой-либо физический процесс, то |
||||||
производная y′есть скорость |
|
протекания этого процесса. В этом состоит |
|||||||||
физический смысл производной. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
M (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
l |
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
α0 |
|
|
α ( x) |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x0 |
Рис. 55 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Под касательной l к графику функции y = f (x) в точке M 0 |
понимают предельное |
||||||||||
положение секущей M 0 M , когда точка M движется по кривой к точке M 0 (см. |
|||||||||||
рис. |
55). Нормалью |
n называется прямая, проходящая через данную точку M 0 |
|||||||||
перпендикулярно касательной l |
(см. рис. 55). |
|
|
||||||||
|
|
Пусть касательная l |
образует с положительным направлением оси Ox угол |
||||||||
α 0 , |
а секущая |
M 0 M – |
|
угол |
|
α ( x). Тогда из |
прямоугольного треугольника |
||||
AM |
0 |
M , получаем: tgα ( x) = |
|
y . Переходя к пределу при |
x → 0 , находим: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim tgα ( |
x) = lim |
y |
= y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 ) = tgα0 = k , |
|
|
||||||
|
|
x→0 |
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
53
То есть производная y′(x0 ) в точке x0 равна угловому коэффициенту k
касательной l к графику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x0 . В
этом заключается геометрический смысл производной.
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 )
в заданном направлении [y - y0 = k (x - x0 )], запишем уравнение касательной l к
графику функции y = f (x) в точке
y - y0
Поскольку |
нормаль n |
перпендикулярна касательной l , то |
ее |
угловой |
||||||||
коэффициент |
kn |
= - |
1 |
= - |
1 |
|
. Поэтому уравнение нормали |
n к |
кривой |
|||
|
y¢(x0 ) |
|||||||||||
|
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|||
y = f (x) в точке |
M 0 (x0 ; y0 ) |
имеет вид: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y - y0 = - |
1 |
|
× (x - x0 ). |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y¢(x0 ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y = x2 |
в точке |
|||||||||||
M 0 (−1;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Поскольку (x2 )′ = 2x , |
то |
|
|
|
||||||||
y′(x0 ) = (2x) x=−1 = 2 × (-1) = -2
и искомое уравнение касательной:
y -1 = -2 ×(x - (-1)) или y −1 = −2x − 2 ,
откуда 2x + y + 1 = 0, а искомое уравнение нормали:
y −1 = − |
1 |
(x − (−1)) или 2 y − 2 = x + 1, |
|
||
|
− 2 |
|
откуда
x − 2 y + 3 = 0 .
Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.
Запишем формулы производных элементарных функций:
54
(c)′ = 0, c = const ; |
|
(xn )′ = n × xn−1 , |
|
n Î R , n ¹ 0 ; |
||||||||||||||||||||||
(a x )′ = a x × ln a , a > 0 , a ¹ 1; |
(e x )′ = ex ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(loga x)¢ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
, a > 0 , a ¹ 1; |
(ln x)¢ = |
1 |
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
x × ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(sin x)′ = cos x ; |
(cos x)′ = -sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(tg x)¢ = |
1 |
|
|
|
; |
|
(ctg x)¢ = - |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos2 |
|
|
|
sin 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(arcsin x)¢ = |
|
1 |
|
|
|
; (arccos x)¢ |
= - |
|
|
1 |
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 - x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- x2 |
||||||||||||||
(arctg x)¢ = |
|
1 |
|
; |
(arcctg x)¢ = - |
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а также формулы, выражающие правила дифференцирования:
(c ×u)′ = c ×u , c = const , u = u(x);
(u ± v)′ = u¢ ± v¢, u = u(x), v = v(x);
(u ×v)′ = u¢×v + u ×v¢, u = u(x), v = v(x);
u ′ |
u¢×v - u × v¢ |
, u = u(x), v = v(x). |
||
|
|
= |
|
|
v |
v2 |
|||
Пример. Найти производную функции y = (2x +1)× ex .
Решение. По правилу дифференцирования произведения двух функций, находим:
y¢ = ((2x +1)× ex )′ = (2x +1)′ × ex + (2x +1)× (ex )′.
Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:
y¢ = (2x)′ + (1)′ × ex + (2x +1)× ex = 2(x)′ + 0 × ex + (2x +1)× ex =
= [2 ×1 + 0]× e x + (2x +1)× e x = 2e x + (2x +1)× ex = (2x + 3)× ex .
55
Производная сложной функции
Пусть функция y = f (u) определена на множестве D1 , а функция u = g(x)
определена на множестве D2 , причем для любой точки x D2 , соответствует значение u = g(x) D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y = f (g(x)), которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).
Переменную u = g(x) |
называют |
промежуточным |
аргументом сложной |
функции y . |
|
|
|
Пример. Функция y = cos 3x является сложной функцией, так как y = cos u , |
|||
u = 3x . |
|
|
|
Пусть y = f (u), u = g(x), тогда |
y = f (g(x)) – |
сложная функция с |
|
промежуточным аргументом u |
и независимым аргументом |
x . Тогда производная |
|
сложной функции y по независимой переменной x равна произведению производной функции y по промежуточной переменной u на производную
промежуточной переменной u по независимой переменной x , то есть |
′ |
′ |
′ |
||||||
yx |
= fu ×ux . |
||||||||
Пример. Найти производную функции y = e3 x . |
|
|
|
|
|
||||
Решение. Данная функция y является сложной, так как |
y = eu , |
u = 3x . |
По |
||||||
правилу дифференцирования сложной функции, находим: |
|
|
|
|
|
||||
y¢ |
= y¢ ×u¢ = (eu )′u × (3x)′x = eu ×3 = e3 x ×3 = 3e3 x . |
|
|
|
|||||
x |
|
|
u |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производные высших порядков |
|
|
|
|
|
Производная |
y |
′ |
= |
′ |
также |
функция |
от x |
и |
|
|
f (x) функции y = f (x) есть |
||||||||
называется производной первого порядка. |
|
|
|
|
|
||||
Если функция |
|
f |
′ |
производная |
называется |
||||
|
(x) дифференцируема, то ее |
||||||||
производной второго порядка и обозначается y′′, то есть y′′ = (y′)′.
Производная от производной второго порядка, если она существует,
называется производной третьего порядка и обозначается y′′′, то есть y′′′ = (y′′)′ .
56
Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от
производной ( n -1)-го порядка и обозначается y(n ) , то есть y(n ) = (y(n−1) )′ . Пример. Найти производную третьего порядка от функции y = cos 3x .
Решение.
y¢ = (cos3x)′ = -sin 3x ×(3x)′ = -sin 3x ×3 = -3sin 3x ,
y¢¢ = (y¢)′ = (- 3sin 3x)′ = -3 × (sin 3x)′ = -3 × cos 3x × (3x)′ = = -3 × cos 3x ×3 = -9 cos 3x,
y¢¢¢ = (y¢¢)′ = (- 9 cos 3x)′ = -9 × (cos 3x)′ = -9 × (- sin 3x)× (3x)′ = = 9 sin 3x ×3 = 27 sin 3x.
Итак, y¢¢¢ = (y¢¢)′ = 27 sin 3x.
Дифференциал функции
Пусть задана функция y = f (x) и можно вычислить f (x0 ), то есть значение этой функции в точке x0 . Требуется вычислить значение этой функции y в точке x0 + Dx .
Если данная функция |
y = f (x) |
дифференцируема в точке x0 , то в точке |
(x0 ; f (x0 )) существует касательная l |
к графику функции y = f (x) (см. рис. 56). |
|
Тогда приращение функции |
y можно представить в виде: |
|
Dy = f ′(x0 )× Dx + α (Dx).
57
y |
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
α ( x) |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x0 |
x0 + x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 56 |
|
|
|
|
|
Главную |
|
часть линейную |
относительно |
приращения |
x |
независимой |
||||||
переменной x в последнем равенстве, |
то есть выражение f |
′ |
|
|||||||||
(x0 )× Dx называют |
||||||||||||
дифференциалом |
функции y = f (x) |
в точке |
x0 |
и обозначают |
dy . Итак, |
|||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = f (x0 )× Dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При x → 0 , то есть при α ( |
x) → 0 приращение функции y приближенно |
|||||||||||
равно дифференциалу dy : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y ≈ dy или |
f (x0 |
+ Dx) » f (x0 )× Dx . |
|
|
||||
Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений |
||||||||||||
функций в точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Вычислить e−0,02 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Рассмотрим функцию y = ex . Пусть x0 |
= 0 , тогда x0 + Dx = -0,02 , |
|||||||||||
откуда x = −0,02. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y¢(x0 ) = (ex )′ |
|
x=0 = ex |
|
x=0 = e0 = 1, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
y(x0 ) = ex |
|
x=0 = e0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, e−0,02 » 1 +1× (- 0,02) = 1 - 0,02 = 0,98.
Ответ: e−0,02 » 0,98.
Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению,
то есть dx = x , так как dy = dx = (x)′ × Dx =1× Dx = Dx . Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:
58
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = y (x)× dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Найти дифференциал функции y = ln cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
y¢ = (ln cos x)¢ = |
|
1 |
×(cos x)¢ = |
1 |
×(- sin x) = -tgx , |
|
тогда |
|||||
|
|
cos x |
|
||||||||||
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy = -tg × dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило Лопиталя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим |
способ раскрытия |
неопределенностей |
вида |
|
0 |
и |
¥ |
при |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
¥ |
|
|
|
вычислении пределов от функции одного переменного, который основан на применении производных.
Пусть функции |
f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности |
|||||
точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: |
f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Пусть g¢(x) ¹ 0 в |
|||||
|
|
|
|
′ |
|
|
окрестности точки |
x . Тогда, если |
существует предел |
lim |
f (x) |
, |
то |
|
||||||
|
0 |
|
x→x0 g¢(x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim
x→x0
f (x) |
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim |
|
(x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→x0 g¢(x) |
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|||||||||
Пример. Вычислить предел lim |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
x→1 x ln x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x -1)′ |
|
|||||||
lim |
x -1 |
= |
|
1 -1 |
= |
0 |
= lim |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→1 |
x ln x |
|
|
|
|
|
0 |
x→1 |
(x ln x)¢ |
|
||||||
|
|
|
1× ln1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
(x)′ |
- (1)′ |
|
|
|
|
|
1 - 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||
(x)¢ × ln x + x × (ln x)¢ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→1 |
x→1 1× ln x + x × |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
= |
|
= |
|
|
|
= |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ln1 +1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→1 |
ln x +1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть функции |
|
f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности |
||||||||||||||||||||
точки x0 |
(кроме, |
|
быть |
может, |
|
самой |
точки x0 ), в этой |
окрестности |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если существует предел |
lim |
|
|
|
, то |
||||
lim f (x) = lim g(x) = ∞ , g (x) ¹ 0 . Тогда, |
|
|
||||||||||||||||||||
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 g¢(x) |
|
|||
59