Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5541

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

628.55 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

f (x)

′

lim

= lim

f (x)

x→x0 g(x)

x→x0 g¢(x)

−1

Пример. Вычислить предел lim

2x2 + 3x

x→∞

(x2 -1)′

Решение. lim

x2 -1

¥2

-1

= lim

(2x2 + 3x)¢

x→∞ 2x2 + 3x 2 × ¥2 + 3 × ¥

x→∞

′

2x - 0

= lim

) -

(1)

= lim

(2x2 )¢ + (3x)¢

x→∞

→∞ 4x + 3

= lim

(2x)′

= lim

(4x + 3)′

x→∞

x→∞ 4

+ 0 2

Исследование функций и построение их графиков

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построение их графиков.

Рекомендуемая схема исследования функции:

1.Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции.

2.Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, свойства симметрии.

3.Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения и к бесконечности, то есть найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Проанализировать расположение графика функции и его асимптот.

4.Найти интервалы монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

5.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

6.Найти точки пересечения графика с осями координат.

7.На основании результатов исследования построить эскиз графика.

Симметрия функции

Функция y = f (x)называется четной, если f (− x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Oy .

Пример. Функция y = x4 является четной, так как,

y(− x) = (− x)4	= x4 = y(x), следовательно, график этой функции симметричен
относительно оси Oy . (См. рис. 57)
	y
		y = x4
		1
	-1 0	1	x
		Рис.57
Функция	y = f (x) называется	нечетной,	если f (− x) = − f (x). График

нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример.

Функция

y = x3

является

нечетной,

так

как

y(− x) = (− x)3 = −x3 = − y(x), следовательно, график этой функции симметричен относительно начала координат. (См. рис. 58)

	1	y = x3
	1
-1 0	1	x
	-1

Рис.58

Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать только при x ³ 0 , а при x < 0 достроить по симметрии, то есть симметрично относительно оси Oy (начала координат).

Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое положительное число T , что f (x + T ) = f (x). Наименьшее из таких чисел T

называется периодом функции. График периодической функции достаточно построить на отрезке оси Ox длины периода T , а затем продолжить, сдвигая на k ×T , где k = ±1, ± 2,…по оси Ox .

Пример. Функция	y =	1		периодическая с периодом T = π , так как
		sin2
			x

1			1	1
y(x + T ) =		=		=		= y(x).	График этой функции
	sin2 (x + T )		(− sin x)2		sin2 x
изображен на рис. 59.

− 2π

3π

−π

3π

2π x

−

Рис. 59

Асимптоты графика функции

Прямую L

называют

асимптотой

графика

функции y = f (x), если

расстояние до точки M (x; y) кривой y = f (x) от прямой L стремится к нулю при

неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Прямая

x = a

является

вертикальной

асимптотой кривой

y = f (x),

если

lim f (x) = ∞ .

x→a

y = b является горизонтальной асимптотой кривой

y = f (x),

Прямая

если

lim f (x) = b .

x→∞

y = kx + b

y = f (x),

Прямая

является наклонной асимптотой кривой

если

существуют пределы:

f (x)

k = lim

b = lim( f (x) − kx).

x→∞

Пример. Найти асимптоты кривой y =

x −1

Решение. Данная функция определена в интервалах (− ∞;1) и (1;+∞).

Так как

lim

= ∞ ,

то

прямая x = 1 есть вертикальная

x −1

x→1

1 −1

асимптота данной кривой.

	Горизонтальных			асимптот кривая не имеет, так как предел
lim	x2	= ¥	= lim	(x2 )′	= lim	2x	= ¥ не является конечной величиной.
	x -1			(x -1)¢		1
x→∞		¥	x→∞		x→∞

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b :

k = lim

f (x)

= lim

= ∞

= lim

(x)′

= lim

= 1;

(x −1)x

x −1

(x −1)′

→∞

∞

→∞

b = lim( f (x) - kx) = lim

-1× x

= lim

= 1.

-1

x→∞

x→∞ x

-1

x→∞ x

Таким образом, существует наклонная асимптота y = x + 1.

Участки возрастания и убывания функции.

Точки минимума и максимума

Функция y = f (x)

называется возрастающей (убывающей)

на

интервале

(a; b), если

для любых

точек x1 ,

x2 (a;b)

таких, что

x1 < x2 ,

имеет место

неравенство:

f (x1 ) < f (x2 ) ( f (x1 ) > f (x2 )).

y = f (x)

Дифференцируемая

на

интервале

(a; b)

функция

возрастает

(убывает) на интервале (a; b), тогда и только тогда, когда для любого

x (a;b):

′

f (x) > 0 ( f

(x) < 0).

y = f (x),

Точка

x0 называется точкой максимума (минимума) функции

если:

1) функция y = f (x) определена в некоторой ε - окрестности точки x0 ;

2) для любого x из

ε -

окрестности точки x0 справедливо

неравенство:

f (x) < f (x0 ) ( f (x) > f (x0 )) (См. рис. 60 и 61).

f (x0 )

f (x)

x0 −ε x	x0 0	x0 +ε	x
	т. max

	f (x)
f (x0 )
x −ε 0	x0	x	x +ε	x
0	т. min		0	x
	т. min

Рис. 61

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума

функции.

Необходимое условие экстремума: если x0			– точка экстремума функции
y = f (x), то в этой точке либо f		′
		(x0 ) = 0 , либо производная не существует.
Достаточные	условия	экстремума:	пусть	функция	y = f (x)
дифференцируема и непрерывна в ε – окрестности критической точки					x0 кроме,

быть может, самой точки x0 , тогда, если ее первая производная меняет знак минус на плюс (плюс на минус) при переходе через точку x0 , то x0 – точка максимума

(минимума) функции y = f (x).

Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

y =

x -1

Решение. Областью определения D данной функции y является вся числовая

ось R , кроме точки x = 1, то есть D = R \ {1}.

Находим первую производную:

′

y¢ =

) × (x -1) - x

× (x -1)

(x -1)2

x -1

2x × (x -1)- x2 ×1

2x2 - 2x - x2

x2 - 2x

(x -1)2

Используя необходимые условия экстремума, находим критические точки:

y′ = 0 Û x2	- 2x = 0 или	x(x − 2) = 0 , откуда x1 = 0 или x2 = 2.
y′ не существует (x −1)2 = 0 , откуда x3 = 1.
Используем	достаточные	условия экстремума. Наносим три критические

точки x1 = 0 ; x2 = 2; x3 = 1 на область определения D функции y . Они разбивают область D на четыре интервала. Определяем знак функции y′ в каждом интервале.

	y′	+	–	–	+
	y	0	1	2	x
Так как x1	= 0 D и при переходе через эту точку					y′	меняет знак плюс на
минус, то x1 = 0 – точка максимума функции y .
Так как x2	= 2 D и при переходе через эту точку					y′	меняет знак минус на
плюс, то x2 = 2 –	точка минимума функции y .
Так как при любом		x (− ∞;0) или		x (2;+∞)		y′ > 0 , то в интервалах
(− ∞;0) и (2;+∞) функция y монотонно возрастает.
Так как при любом		x (0;1)	или x (1; 2) y′ < 0 ,			то в интервалах (0;1) и
(1; 2) функция y монотонно убывает.
	Интервалы выпуклости и вогнутости кривой.
		Точки перегиба
График функции y = f (x) называется выпуклым вниз в интервале								(a; b),
если он расположен ниже касательной, проведенной в						любой точке x		этого
интервала (См. рис. 62).
		y
					Рис. 62
	a	x 0	b	x
График функции y = f (x) называется выпуклым вверх в интервале								(a; b),
если он расположен выше касательной, проведенной в						любой точке x		этого
интервала (См. рис. 63).

a 0

Рис. 63

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции:

если f ′′(x) < 0 в интервале (a; b), то график функции y = f (x) является выпуклым вниз в этом интервале; если же f ′′(x) > 0 , то в интервале (a; b) график функции y = f (x) – выпуклый вверх.

Пусть функция y = f (x) дифференцируема в интервале (a; b) и x0 (a;b). Точку (x0 ; f (x0 )) графика функции y = f (x) называют точкой перегиба этого графика, если существует такая ε – окрестность точки x0 оси Ox , в границах которой график функции y = f (x) слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости (См. рис. 64).

a x0 −ε 0 x0 x0 +ε	b	x
Рис. 64
Необходимое условие перегиба функции	y = f (x)		в точке x0 :	если x0	–
точка перегиба функции y = f (x) и функция	y = f (x)		имеет в некоторой ε		–
окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то				′′
				f (x0 ) = 0

Достаточное условие перегиба функции y = f (x) в точке x0 : если функция y = f (x) непрерывна в ε – окрестности точки x0 , имеет в точке x0 конечную или

бесконечную определенного знака производную	′′	а функция	′′
	f (x0 ),		f (x)

определена в ε – окрестности точки x0 , кроме быть может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 – точка перегиба функции y = f (x).

Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции y = x3 − 3x + 1.

Решение. Область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D = R .

Находим:

y′ = (x3 − 3x + 1)′ = 3x2 − 3 ; y′′ = (y′)′ = (3x2 − 3)′ = 6x .

Используя необходимое условие перегиба, находим:

y′′ = 0 6x = 0, откуда x = 0 – точка «подозрительная» на точку перегиба.
Используем достаточные условия перегиба:						y′′ слева и справа от
Отметим точку x = 0 на области D и определим знаки						y′′ слева и справа от
точки x = 0 .
	y′′				x


	y	0
Так как x = 0 D и при переходе через эту точку y′′ меняет знак, то x = 0 –
точка перегиба данной функции.			′′			(− ∞; 0)
Так как для любого	x < 0		′′	то в интервале			функция	y
Так как для любого	x < 0	y (x) < 0 ,		то в интервале			функция	y
выпукла вниз.			′′			( 0;+∞)
Так как для любого	x > 0		′′	то в интервале			функция	y
Так как для любого	x > 0	y (x) > 0 ,		то в интервале			функция	y

выпукла вверх.

Основные требования к результатам исследования

ипостроения графика:

1)все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;

2)все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;

3)масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;

4)на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;

5)обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;

6)обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;

7)обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными осями.

Пример. Построить график функции y = (x − 3)2 .

(x −1)3

Решение.

1. Областью определения D данной функции y является множество всех действительных чисел R , кроме x = 1, то есть D = R \ {1}.

2. Поскольку y(- x) =

(- x - 3)3

(x + 3)

y(- x) ¹ y(x) и

y(- x) ¹ - y(x),

(- x -1)

- (x +1)

то функция y не является четной и нечетной,

то

есть данная

функция y общего вида.

3. Находим асимптоты кривой.

Поскольку

lim =

(x - 3)3

= (1- 3)3

= ¥ ,

то

x = 1

–

уравнение

x→1

(x -1)

(1-1)

вертикальной асимптоты графика данной функции y .

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b :

k = lim

y(x)

= lim

(x - 3)2

= lim

((x - 3)2 )′

(x × (x -1)3 )¢

x→∞

x ×(x -1)

x→∞

= lim

2 × (x - 3)×1

= lim

2x - 6

(x -1)2 × (x -1 +

3x)

x→∞ 1× (x - 3)3 + x ×3 × (x -1)2 ×1

x→∞

= lim

2x - 6

= lim

(2x - 6)′

x→∞

-1)

(4x

-1)

x→∞

((x -1)2 × (4x -1))¢

= lim

= 0;

¥ + ¥

x→∞

×(x -1)×(4x -1)+ (x -1)2 ×4

(x - 3)

b = lim(y(x) - kx) = lim

-1)

- 0 × x

= lim

(x -1)

x→∞

((x − 3)2 )′

2(x − 3)

∞

= lim

((x − 1)3 )′

= lim

x→∞

x→∞ 3(x −

∞

lim

(x - 3)′

lim

× 0 = 0.

((x -1)2 )¢

3 x

→∞

3 x→∞ 2(x -1)

Следовательно

y = 0

–

уравнение горизонтальной

асимптоты

графика данной

функции y .

4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

	(x - 3)2 ′	=	((x - 3)2 )′ × (x -1)3 - (x - 3)2 × ((x -1)3 )′	=
y¢ =	3	=	2	=
	(x -1)		((x -1)3 )

=	2(x - 3)×(x -1)3 - (x - 3)2 ×3(x -1)2			=
=				=
	(x -1)6
= 2x2 − 8x + 6 − 3x2 + 18x − 27		=	− x2 + 10x − 21		=
	(x −1)4			(x −1)4
= - (x − 3)(x − 7)
	(x -1)4				находим y′ = 0
Используя необходимое условие			экстремума,		находим y′ = 0
(x − 3)(x − 7) = 0 , откуда x1 = 3 или x2 = 7 ;				y′ не существует (x −1)4		= 0 ,
откуда x3 = 1.

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические точки наносим на область определения D и определяем знак y′ в каждом из четырех интервалов.

y′

y 0 1 3 7 x

y¢(0) = - (0 − 3)(0 − 7)

= -

= -21 < 0

(0 -1)4

Так как x1

= 3 D и при переходе через эту точку y′меняет знак минус на

плюс, то x

= 3 –

точка минимума функции y , y(3) = (3 - 3)2

= 0 .

(3 -1)3

Так как x2

= 7 D и при переходе через эту точку y′

меняет знак плюс на

минус, то x

= 7 –

точка максимума функции y , y(7) = (7 - 3)2

(7 -1)3

216 27

Так как при

′

x < 1, 1 < x < 3, x > 7 y (x) < 0 , то в интервалах (− ∞;1), (1;3),

(7;+∞) функция y монотонно убывает.

Так как при

3 < x < 7

′

y (x) > 0 , то в интервале ( 3; 7) функция y монотонно

возрастает.

5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки перегиба.

¢		-	(x - 3)(x - 7) ′
y¢¢ = (y¢)	=	-	4	=
			4
			(x -1)

= − ((x − 3)(x − 7))′(x −1)4 − (x − 3)(x − 7)((x −1)4 )′ =

((x −1)4 )2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023628.24 Кб05537.pdf
#
21.11.2023628.29 Кб05538.pdf
#
21.11.2023628.41 Кб05539.pdf
#
21.11.2023129.98 Кб0554.pdf
#
21.11.2023628.44 Кб05540.pdf
#
21.11.2023628.55 Кб05541.pdf
#
21.11.2023628.8 Кб05542.pdf
#
21.11.2023628.84 Кб05543.pdf
#
21.11.2023629.17 Кб05544.pdf
#
21.11.2023629.33 Кб05545.pdf
#
21.11.2023629.37 Кб05546.pdf