Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5522

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

625.04 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

f (x)

′

lim

= lim

f (x)

g(x)

g (x)

x→x0

′

Пример. Вычислить предел lim

-1

x→∞ 2x2 + 3x

(x2

-1)′

Решение. lim

x2 -1

¥2

-1

= lim

× ¥

+ 3 × ¥

(2x2

+ 3x)¢

x→∞

+ 3x 2

x→∞

2 ′

′

2x - 0

= lim

) -

(1)

= lim

(2x2 )¢ + (3x)¢

4x + 3

x→∞

→∞

= lim

(2x)′

= lim

(4x + 3)¢

x→∞

x→∞ 4

+ 0 2

Исследование функций и построение их графиков

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построение их графиков.

Рекомендуемая схема исследования функции:

1.Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции.

2.Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность, периодичность, свойства симметрии.

3.Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к граничным точкам области определения и к бесконечности, то есть найти асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные. Проанализировать расположение графика функции и его асимптот.

4.Найти интервалы монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

5.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

6.Найти точки пересечения графика с осями координат.

7.На основании результатов исследования построить эскиз графика.

Симметрия функции

Функция y = f (x)называется четной, если f (− x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси Oy .

Пример. Функция y = x4 является четной, так как,

y(− x) = (− x)4 = x4 = y(x), следовательно, график этой функции симметричен относительно оси Oy . (См. рис. 57)

y = x4

	1
-1 0	1	x
	Рис.57
Функция y = f (x) называется	нечетной,	если f (− x) = − f (x). График

нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример.	Функция	y = x3	является		нечетной,	так	как
y(− x) = (− x)3	= −x3 = − y(x), следовательно, график этой функции симметричен
относительно начала координат. (См. рис. 58)
		y
			1	y = x3
			1
		-1 0	1	x
			-1

Рис.58

Заметим, что график четной (нечетной) функции достаточно исследовать только при x ³ 0 , а при x < 0 достроить по симметрии, то есть симметрично относительно оси Oy (начала координат).

Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое положительное число T , что f (x + T ) = f (x). Наименьшее из таких чисел T

называется периодом функции. График периодической функции достаточно построить на отрезке оси Ox длины периода T , а затем продолжить, сдвигая на k ×T , где k = ±1, ± 2,K по оси Ox .

Пример. Функция	y =	1		периодическая с периодом T = π , так как
		sin 2
			x

1			1	1
y(x + T ) =		=		=		= y(x).	График этой функции
	sin2 (x + T )		(− sin x)2		sin2 x
изображен на рис. 59.

− 2π

3π

− π

3π

2π x

−

Рис. 59

Асимптоты графика функции

Прямую L

называют

асимптотой

графика

функции y = f (x), если

расстояние до точки M (x; y) кривой y = f (x) от прямой L стремится к нулю при

неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Прямая

x = a

является

вертикальной

асимптотой кривой

y = f (x),

если

lim f (x) = ∞ .

x→a

y = b

y = f (x),

Прямая

является горизонтальной асимптотой кривой

если

lim f (x) = b .

x→∞

y = kx + b

y = f (x),

Прямая

является наклонной асимптотой кривой

если

существуют пределы:

f (x)

k = lim

b = lim( f (x)− kx).

x→∞

Пример. Найти асимптоты кривой y =

x −1

Решение. Данная функция определена в интервалах (− ∞;1) и (1;+∞).

Так как

lim

= ∞ ,

то

прямая x = 1 есть вертикальная

x −1

x→1

1 −1

асимптота данной кривой.

Горизонтальных асимптот кривая не имеет, так как предел

	x2	∞			(x2 )′		2x
lim		=		= lim		= lim		= ∞ не является конечной величиной.
					(x −1)′
x→∞ x −1			∞	x→∞		x→∞	1

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b :

f (x)

∞

(x)′

k = lim

= lim

= 1;

(x −1)x

(x −1)′

x→∞

x→∞ x −1

∞

x→∞

b = lim( f (x)- kx) = lim

-1× x

= lim

= 1.

x→∞

x→∞ x -1

Таким образом, существует наклонная асимптота y = x +1.

Участки возрастания и убывания функции.

Точки минимума и максимума

Функция y = f (x)

называется

возрастающей (убывающей)

на интервале

(a;b), если

для любых

точек x1 ,

x2 (a; b)

таких, что

x1 < x2 ,

имеет место

неравенство:

f (x1 ) < f (x2 )

( f (x1 ) > f (x2 )).

y = f (x)

Дифференцируемая

на интервале

(a;b)

функция

возрастает

(убывает) на интервале (a;b), тогда и только тогда, когда для любого x (a; b):

f ′(x) > 0 ( f ′(x) < 0).

Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x),

если:

1) функция y = f (x) определена в некоторой ε - окрестности точки x0 ;

2) для любого x из ε - окрестности точки x0 справедливо неравенство:

f (x) < f (x0 ) ( f (x) > f (x0 )) (См. рис. 60 и 61).

f (x0 ) f (x)

x0 −ε x	x0 0	x0 +ε	x
	т. max

f (x) f (x0 )

x −ε 0	x0 x x0 +ε	x
0	т. min
	т. min

Рис. 61

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума

функции.

Необходимое условие экстремума: если x0			– точка экстремума функции
y = f (x), то в этой точке либо f		′
		(x0 ) = 0 , либо производная не существует.
Достаточные	условия	экстремума:	пусть	функция	y = f (x)
дифференцируема и непрерывна в ε – окрестности критической точки					x0 кроме,

быть может, самой точки x0 , тогда, если ее первая производная меняет знак минус на плюс (плюс на минус) при переходе через точку x0 , то x0 – точка максимума (минимума) функции y = f (x).

Пример. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

y =

x -1

Решение. Областью определения D данной функции y является вся числовая

ось R , кроме точки x = 1, то есть D = R \ {1}.

Находим первую производную:

′

× (x -1)- x

′

)

× (x -1)

y¢ =

(x -1)2

x -1

2x × (x -1)- x2 ×1

2x2 - 2x - x2

x2 - 2x

(x -1)2

Используя необходимые условия экстремума, находим критические точки:

y′ = 0 Û x2 - 2x = 0

или

x(x − 2) = 0 , откуда x1 = 0 или x2 = 2 .

y′ не существует (x −1)2

= 0 , откуда x3 = 1.

Используем достаточные условия экстремума. Наносим три критические

точки x1 = 0 ;

= 2 ; x3 = 1 на область определения D функции y . Они разбивают

область D на четыре интервала. Определяем знак функции y′

в каждом интервале.

y′

–

Так как

= 0 D и при переходе через эту точку

y′

меняет знак плюс на

минус, то x1 = 0 – точка максимума функции y .

Так как x2

= 2 D и при переходе через эту точку

y′

меняет знак минус на

плюс, то x2 = 2 –

точка минимума функции y .

Так как при любом x (− ∞;0) или x (2;+∞) y′ > 0 , то в интервалах (− ∞;0) и (2;+∞) функция y монотонно возрастает.

Так как при любом x (0;1) или x (1; 2) y′ < 0 , то в интервалах (0;1) и (1; 2) функция y монотонно убывает.

Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба

График функции y = f (x) называется выпуклым вниз в интервале (a;b),

если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке x этого интервала (См. рис. 62).

			Рис. 62
a	x 0	b	x
График функции	y = f (x)	называется выпуклым вверх в интервале (a;b),

если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке x этого интервала (См. рис. 63).

a 0

Рис. 63

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции:


если		′′			то график функции y = f (x) является
		f (x) < 0 в интервале (a;b),
выпуклым вниз в этом интервале; если же					′′	(a;b) график
					f (x) > 0 , то в интервале
функции y = f (x) –			выпуклый вверх.			и x0 (a;b).
Пусть функция			y = f (x) дифференцируема в интервале (a;b)
Точку (x0 ; f (x0 )) графика функции				y = f (x) называют точкой перегиба этого
графика,	если существует такая ε –			окрестность точки x0 оси Ox , в границах
которой	график функции y = f (x)			слева и справа от точки x0		имеет разные

направления выпуклости (См. рис. 64).

a x0 −ε 0 x0 x0 +ε	b	x
Рис. 64
Необходимое условие перегиба функции	y = f (x)		в точке x0 :	если x0	–
точка перегиба функции y = f (x) и функция	y = f (x)		имеет в некоторой ε		–
окрестности точки x0 вторую производную, непрерывную в точке x0 , то				′′
				f (x0 ) = 0

Достаточное условие перегиба функции y = f (x) в точке x0 : если функция y = f (x) непрерывна в ε – окрестности точки x0 , имеет в точке x0 конечную или

бесконечную определенного знака производную	′′	а функция	′′
	f (x0 ),		f (x)

определена в ε – окрестности точки x0 , кроме быть может самой точки x0 , и меняет знак при переходе через эту точку, то x0 – точка перегиба функции y = f (x).

Пример. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба функции y = x3 − 3x + 1.

Решение. Область определения D данной функции есть множество всех действительных чисел R , то есть D = R .

Находим:

y′ = (x3 − 3x + 1)′ = 3x2 − 3 ; y′′ = (y′)′ = (3x2 − 3)′ = 6x .

Используя необходимое условие перегиба, находим:

y′′ = 0 6x = 0, откуда x = 0 – точка «подозрительная» на точку перегиба. Используем достаточные условия перегиба:

Отметим точку x = 0 на области D и определим знаки y′′ слева и справа от точки x = 0 .

y′′

y 0 x

Так как x = 0 D и при переходе через эту точку y′′ меняет знак, то x = 0 – точка перегиба данной функции.

Так как для любого	x < 0	′′	то в интервале	(− ∞; 0)	функция	y
		y (x) < 0 ,
выпукла вниз.	x > 0	′′		( 0;+∞ )
Так как для любого			то в интервале		функция	y
		y (x) > 0 ,
выпукла вверх.

Основные требования к результатам исследования

ипостроения графика:

1)все результаты исследования функции следует обосновать в ходе решения. Все исследования функции, включая все необходимые вычисления: вычисление пределов функции, вычисление производных в точках, решение уравнений, являются необходимой частью решения задачи на построение графика функции или кривой;

2)все результаты должны быть получены точно. Необходимые приближенные вычисления привести в решении задачи;

3)масштаб построения графика следует выбирать так, чтобы были отражены основные характерные моменты поведения графика функции;

4)на рисунке изобразить пунктирной прямой вертикальные, наклонные или горизонтальные асимптоты, указать уравнения асимптот;

5)обозначить точки минимума и максимума функции, указать их координаты;

6)обозначить точки перегиба графика функции, указать их координаты;

7)обозначить координаты точек пересечения кривой с координатными осями.

(x − 3)2

Пример. Построить график функции y = (x −1)3 .

Решение.

1. Областью определения D данной функции

является множество всех

действительных чисел R , кроме x = 1, то есть D = R \ {1}.

2. Поскольку

y(− x) =

(− x − 3)3

(x + 3)

y(- x) ¹ y(x) и

y(- x) ¹ - y(x), то

(− x −1)

− (x +1)

функция y не является четной и нечетной,

то

есть данная

функция y общего вида.

3. Находим асимптоты кривой.

Поскольку

lim = (x − 3)2

= (1 − 3)2

= ∞ ,

то

x = 1

–

уравнение

x→1

(x −1)3

(1 −1)3

вертикальной асимптоты графика данной функции y .

Наклонные асимптоты находим в виде уравнения прямой y = kx + b :

k = lim

y(x)

= lim

(x - 3)2

= ¥ = lim

((x - 3)2 )′

(x × (x

-1)3 )¢

x→∞

x × (x -1)

x→∞

= lim

2 × (x - 3)×1

= lim

2x - 6

× (x - 3)3 + x ×3 × (x -1)2 ×1

(x -1)2 × (x -1 +

3x)

x→∞

= lim

2x - 6

= lim

(2x - 6)′

-1)

((x -1)2 × (4x -1))¢

x→∞

(x -1) × (4x

x→∞

= lim

= 0;

¥ + ¥

x→∞ 2

×(x -1)×(4x -1)+ (x -1)2 × 4

(x - 3)

b = lim(y(x) - kx) = lim

- 0 × x

= lim

x→∞

-1)

x→∞

(x -1)

= lim ((x - 3)2 )′

= lim

2(x - 3)

= ¥ =

x→∞

((x - 1)3 )¢

x→∞

3(x - 1)

lim

(x - 3)′

lim

× 0 = 0.

((x -1)2 )¢

3 x→∞

3 x→∞ 2(x -1)

3 ¥

Следовательно

y = 0 –

уравнение горизонтальной асимптоты

графика данной

функции y .

4. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.

′

- (x -

′

y¢ = (x

- 3)

= ((x - 3)

)

× (x -1)

3) × ((x -1)

) =

(x -1)3

((x -1)3 )2

2(x - 3)× (x -1)3 - (x - 3)2 ×3(x -1)2

(x -1)6

= 2x2 - 8x + 6 - 3x2 +18x - 27 =

- x2 +10x - 21

(x -1)4

= - (x − 3)(x − 7)

(x -1)4

находим y′ = 0

Используя

необходимое

условие

экстремума,

(x − 3)(x − 7) = 0 , откуда

x1 = 3 или x2 = 7 ; y′ не существует

(x -1)4

= 0 ,

откуда x3 = 1.

Используем достаточные условия экстремума. Найденные три критические точки наносим на область определения D и определяем знак y′ в каждом из четырех интервалов.

y′

y 0 1 3 7 x

y¢(0)

(0 − 3)(0 − 7)

= -

(

= -

= -21 < 0

-1

Так как x1

= 3 D и при переходе через эту точку y′меняет знак минус на

плюс, то x

= 3 –

точка минимума функции y , y(3) = (3 - 3)2

= 0 .

(3 -1)3

Так как x2

= 7 D и при переходе через эту точку y′

меняет знак плюс на

минус, то x

= 7

–

точка максимума функции y , y(7) = (7 - 3)2

(7 -1)3

216 27

Так как при

′

x < 1, 1 < x < 3, x > 7 y (x) < 0 , то в интервалах (− ∞;1), (1;3),

(7;+∞) функция y монотонно убывает.

Так как при

3 < x < 7

′

y (x) > 0 , то в интервале ( 3; 7) функция y монотонно

возрастает.

5. Находим интервалы выпуклости (вогнутости) кривой и точки перегиба.

¢		-	(x - 3)(x - 7) ′
y¢¢ = (y¢)	=	-	4	=
			4
			(x -1)

	((x − 3)(x − 7))′(x −1)4 − (x − 3)(x − 7)((x −1)4 )′
= −							=
= −		((x −1)4 )2					=
		((x −1)4 )2
	(x - 7 + x - 3)(x -1)4 - (x - 3)(x - 7)× 4(x -1)3
= -						=
= -		(x -1)8				=
= −	(2x −10)(x −1) − 4(x2 −10x + 21) =
		(x −1)5
= −	2x2 −12x + 10 − 4x2 + 40x − 84			=	2x2 − 28x + 74			.
= −		(x −1)5		=				.
		(x −1)5			(x −1)5
Итак,	y′′ =	2(x2 −14x + 37)	.
Итак,	y′′ =		.
		(x −1)5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023624.26 Кб15518.pdf
#
21.11.2023624.55 Кб05519.pdf
#
21.11.2023129.95 Кб0552.pdf
#
21.11.2023624.86 Кб05520.pdf
#
21.11.2023624.98 Кб05521.pdf
#
21.11.2023625.04 Кб05522.pdf
#
21.11.2023625.08 Кб05523.pdf
#
21.11.2023625.3 Кб35524.pdf
#
21.11.2023625.45 Кб35525.pdf
#
21.11.2023625.65 Кб05526.pdf
#
21.11.2023625.8 Кб05527.pdf