Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

5514

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
21.11.2023
Размер:
623.67 Кб
Скачать

 

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее график

 

 

1

, при x < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x2 , при 0 £ x < 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2 - x, при x ³ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Областью определения данной функции y является вся числовая

ось, то есть D = R . Точками «подозрительными» на точки разрыва являются точки

x1

= 0

и x2 = 1, так как при переходе через эти точки функция y меняет свое

аналитическое

 

выражение с

дробно –

рациональной на

квадратичную и с

квадратичной на линейную, соответственно.

 

 

 

 

 

Исследуем непрерывность функции y в точке x1

= 0 :

 

 

 

 

lim y = lim

1

=

1

= −∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0−0

x→−0 x

 

− 0

 

 

 

 

 

 

 

 

lim y = lim x2

= (+ 0)2 = 0

 

 

 

 

 

 

x→0+0

x→+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(0) = x2

x = 0

= 02 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку условие непрерывности функции y в точке x1

= 0 нарушается, то

x1

= 0 – точка разрыва функции

y , т.к. левосторонний предел функции y

в точке

x1

= 0 равен бесконечности, то x1

= 0 точка разрыва 2-го рода.

 

 

Исследуем непрерывность функции y в точке x2

= 1:

 

 

 

 

lim y = lim x2

= (1- 0)2

=1

 

 

 

 

 

x→1−0

x→1−0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim y = lim x2

= (2 - x)2

= 2 - (1+ 0) =1

 

 

 

 

x→1+0

x→1+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(1) = (2 - x)

x =1 = 2 -1 = 1

 

 

 

 

 

Условие

непрерывности

функции y

в точке

x2 = 1 выполняется,

значит,

функция y в точке x2 = 1 непрерывна.

 

 

 

 

 

Построим график функции y :

 

 

 

 

50

y

y = x2

 

1

 

 

0

1 2

x

y = 1

 

y = 2 − x

x

 

 

Рис. 54

 

 

Производная

 

 

 

 

 

 

Пусть

функция

y = f (x) определена

на некотором

интервале

(a; b).

Аргументу

x (a;b) дадим приращение

x ,

получим

точку

(x +

x) (a;b).

Найдем соответствующее приращение функции:

y = f (x +

x)f (x). Составим

отношение приращения

y функции

y

к приращению

x

аргумента

x :

y и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

найдем предел этого отношения при

x → 0 , то есть lim

y . Если этот предел

 

 

 

 

 

x→0

x

 

 

 

существует, то его называют производной функцией от данной функции y = f (x) и

 

dy

 

 

,

обозначают одним из символов: y (x),

f (x),

yx .

 

 

 

dx

 

 

 

Итак, по определению

 

 

 

 

 

 

y(x + x) y(x)

y (x) = lim

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

x

 

x→0

 

 

 

 

 

Функция y = f (x), имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

51

Значения производной функции y = f (x) в точке x = x0 обозначается одним из символов: y(x0 ), f (x0 ) или y¢ x=x0 .

Пример. Найти по определению производную функции y = x2 .

Решение. Областью определения D данной функции является вся числовая

ось, то есть D = R . Выберем произвольную точку x R . Дадим ей приращение

x

, получим новую точку x +

x R . Находим соответствующее приращение

y

функции y = x2 :

 

 

 

 

 

y = y(x + x) y(x) = (x + x)2 x2 =

 

= x2 + 2x × Dx + (Dx)2 - x2 = 2x × Dx + (Dx)2 .

 

Составим отношение Dy =

2x × Dx + (Dx)2

= 2x + Dx и найдем предел отношения

 

Dx

 

 

Dx

 

 

при x → 0:

 

 

 

 

 

lim

 

y = lim(2x + Dx) = 2x + 0 = 2x .

 

x→0

Dx

x→0

 

 

Поскольку данный предел существует, то производная функции y = x2 в точке x

равна 2x , то есть (x2 )= 2x .

Пусть материальная точка (тело) движется неравномерно по закону

прямолинейного движения

S = S (t ).

Каждому

значению истекшего времени t

соответствует определенное расстояние S до некоторой фиксированной точки O .

Тогда средняя скорость Vcp

движения точки за время t равна:

V

=

S , где

S = S(t +

t ) S(t ).

cp

 

t

 

 

 

 

 

 

Предел средней скорости Vcp

движения при стремлении к нулю промежутка времени

t называется скоростью

V движения точки

в данный момент времени (или

мгновенной скоростью)

V = lim S .

t→0 t

52

Таким образом, скорость прямолинейного движения материальной точки в момент

времени t есть производная от пути S по времени t ,

то есть V = St.

В этом

заключается механический смысл производной.

 

 

Если

функция

y = f (x)

описывает

какой-либо

физический процесс, то

производная

yесть

скорость

протекания

этого процесса. В этом

состоит

физический смысл производной.

y

y = f (x)

 

n

M (x; y)

 

 

 

y

l

 

 

 

M 0

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

α0

α ( x)

 

 

 

0

 

x0

Рис. 55

 

x

 

 

 

 

 

Под касательной l

к графику функции y = f (x) в точке M 0

понимают предельное

положение секущей M 0 M , когда точка M движется по кривой к точке M 0 (см.

рис. 55). Нормалью n называется прямая, проходящая через данную точку M 0

перпендикулярно касательной

l

(см. рис. 55).

Пусть касательная l

образует с положительным направлением оси Ox угол

α 0 , а секущая

M 0 M

 

угол

α ( x). Тогда из прямоугольного треугольника

AM 0 M , получаем: tgα (

x) =

 

y . Переходя к пределу при x → 0 , находим:

 

 

 

 

 

x

lim tgα (

x) = lim

y

 

x

= y

(x0 ) = tgα0 = k ,

x→0

x→0

 

 

 

53

То есть производная y(x0 ) в точке x0 равна угловому коэффициенту k

касательной l к графику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x0 . В

этом заключается геометрический смысл производной.

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 )

в заданном направлении [y - y0 = k (x - x0 )], запишем уравнение касательной l к графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 ; y0 ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y - y0 = y (x0 )× (x - x0 ).

 

Поскольку нормаль n перпендикулярна касательной l , то ее угловой

коэффициент kn

= -

1

= -

 

1

 

. Поэтому уравнение нормали n к

кривой

 

 

y¢(x0 )

 

 

kl

 

 

 

 

 

 

 

 

y = f (x) в точке

M 0 (x0 ; y0 )

 

имеет вид:

 

 

 

 

 

y - y0 = -

1

 

× (x - x0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢(x0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой y = x2

в точке

M 0 (−1;1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Поскольку (x2 )= 2x ,

 

то

 

 

 

 

 

y(x0 ) = (2x)

 

x=−1 = 2 ×(-1) = -2

 

 

 

 

 

 

и искомое уравнение касательной:

 

 

 

 

 

 

 

 

y -1 = -2 ×(x - (-1)) или y −1 = −2x − 2 ,

 

откуда 2x + y + 1 = 0, а искомое уравнение нормали:

 

 

y -1 = -

 

1

(x - (-1)) или 2 y − 2 = x + 1,

 

 

- 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

x − 2 y + 3 = 0 .

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с некоторыми трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью правил и формул.

Запишем формулы производных элементарных функций:

54

(c)= 0 , c = const ;

 

(xn )= n × xn−1 ,

 

n Î R , n ¹ 0 ;

(a x )= a x × ln a , a > 0 , a ¹ 1;

(ex )= ex ;

 

 

 

 

 

 

(loga x)¢ =

 

 

 

1

 

 

, a > 0 , a ¹ 1;

(ln x)¢ =

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x × ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin x)= cos x ;

(cos x)= -sin x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tg x)¢ =

1

 

 

 

;

 

(ctg x)¢ = -

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

 

 

 

sin 2

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcsin x)¢ =

 

1

 

 

 

; (arccos x)¢

= -

 

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 - x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

- x2

(arctg x)¢ =

 

1

 

;

 

(arcctg x)¢ = -

1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

а также формулы, выражающие правила дифференцирования:

(c ×u)= c ×u , c = const , u = u(x);

(u ± v)= u¢ ± v¢, u = u(x), v = v(x);

(u ×v)= u¢×v + u ×v¢, u = u(x), v = v(x);

u

u¢× v - u × v¢

u = u(x), v = v(x).

 

 

 

=

 

,

 

 

v

 

v2

 

Пример. Найти производную функции y = (2x +1)× ex .

Решение. По правилу дифференцирования произведения двух функций, находим:

y¢ = ((2x +1)× e x )= (2x +1)× e x + (2x +1)× (e x ).

Далее, по правилу дифференцирования суммы двух функций и произведения числа на функцию и формул производных степеней и показательной функций, находим:

y¢ = (2x)+ (1)× e x + (2x +1)× e x = 2(x)+ 0 × e x + (2x +1)× e x = = [2 ×1 + 0]× e x + (2x +1)× e x = 2e x + (2x +1)× ex = (2x + 3)× ex .

55

Производная сложной функции

Пусть функция y = f (u) определена на множестве D1 , а функция u = g(x)

определена на множестве D2 , причем для любой точки x Î D2 , соответствует значение u = g(x)Î D1 . Тогда на множестве D2 определена функция y = f (g(x)), которая называется сложной функцией от x (или функцией от функции).

Переменную u = g(x)

называют

промежуточным

аргументом сложной

функции y .

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Функция y = cos 3x является сложной функцией, так как y = cos u ,

u = 3x .

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

y = f (u),

u = g(x), тогда

y = f (g(x))

сложная

функция с

промежуточным аргументом u и независимым аргументом

x .

Тогда производная

сложной функции y по независимой переменной x

равна произведению

производной

функции

y по

промежуточной переменной

u

на

производную

промежуточной переменной u по независимой переменной x , то есть

yx

= fu

×ux .

Пример. Найти производную функции y = e3 x .

 

 

 

 

 

 

Решение. Данная функция y является сложной, так как

y = eu ,

u = 3x . По

правилу дифференцирования сложной функции, находим:

 

 

 

 

 

y¢

= y¢ ×u¢ = (eu )u × (3x)x = eu ×3 = e3 x ×3 = 3e3 x .

 

 

 

x

 

 

u

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производные высших порядков

 

 

 

 

Производная

y

=

есть

также

функция

от

x и

 

f (x) функции y = f (x)

называется производной первого порядка.

 

 

 

 

 

 

Если функция

 

f

ее

производная

называется

 

(x) дифференцируема, то

производной второго порядка и обозначается y′′, то есть y′′ = (y).

Производная от производной второго порядка, если она существует,

называется производной третьего порядка и обозначается y′′′, то есть y′′′ = (y′′).

56

Производной n -го порядка (или n -й производной) называется производная от

производной ( n -1)-го порядка и обозначается y (n ) , то есть y(n ) = (y(n−1) ). Пример. Найти производную третьего порядка от функции y = cos 3x .

Решение.

y¢ = (cos3x)= -sin 3x ×(3x)= -sin 3x ×3 = -3sin 3x ,

y¢¢ = (y¢)= (- 3sin 3x)= -3 × (sin 3x)= -3 × cos 3x × (3x)= = -3 × cos 3x ×3 = -9 cos 3x,

y¢¢¢ = (y¢¢)= (- 9 cos 3x)= -9 × (cos 3x)= -9 × (- sin 3x)× (3x)= = 9 sin 3x ×3 = 27 sin 3x.

Итак, y¢¢¢ = (y¢¢)= 27 sin 3x.

 

Дифференциал функции

 

 

Пусть задана функция

y = f (x) и можно вычислить

f (x0 ), то есть значение

этой функции в точке x0 . Требуется вычислить значение этой функции

y в точке

x0 + Dx .

 

 

 

 

Если данная функция

y = f (x)

дифференцируема в точке x0 ,

то в точке

(x0 ; f (x0 )) существует касательная l

к графику функции

y = f (x) (см. рис. 56).

Тогда приращение функции

y можно представить в виде:

 

 

Dy = f (x0 )× Dx + α (Dx).

57

f (x0 )× Dx
называют
x независимой

y

 

 

y = f (x)

 

y

α (

x)

l

 

 

 

 

f (x0 )

 

dy

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

0

x0

x0 + x

 

x

 

Рис. 56

 

 

Главную часть линейную относительно приращения

переменной x в последнем равенстве, то есть выражение

дифференциалом

функции y = f (x) в точке x0

и обозначают dy . Итак,

 

 

 

 

 

 

dy = f (x0 )× Dx .

 

 

 

 

 

При x → 0 , то есть при α (Dx) ® 0 приращение функции y приближенно

равно дифференциалу dy :

 

 

 

 

 

 

 

 

y dy или f (x0 + Dx) » f (x0 )× Dx .

Последнюю формулу применяют для приближенного вычисления значений

функций в точке.

 

 

 

 

 

 

Пример. Вычислить e−0,02 .

 

Решение. Рассмотрим функцию y = ex . Пусть x0

= 0 , тогда x0 + Dx = -0,02 ,

откуда x = −0,02.

 

 

 

y¢(x0 ) = (ex )

 

x=0 = ex

 

x=0 = e0 = 1,

 

 

 

 

 

 

y(x0 ) = ex

 

 

x=0 = e0 = 1.

 

 

 

Следовательно, e−0,02 » 1 +1× (- 0,02) = 1 - 0,02 = 0,98.

Ответ: e−0,02 » 0,98.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению,

то есть dx = x , так как dy = dx = (x)× Dx =1× Dx = Dx . Таким образом, дифференциал функции вычисляется по формуле:

58

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy = y (x)× dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти дифференциал функции y = ln cos x .

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

y¢ = (ln cos x)¢ =

 

1

×(cos x)¢ =

1

×(- sin x) = -tgx ,

 

тогда

 

 

cos x

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

dy = -tg × dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правило Лопиталя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

способ раскрытия

неопределенностей

вида

 

0

и

¥

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

¥

 

 

вычислении пределов от функции одного переменного, который основан на применении производных.

Пусть функции

f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0 и обращаются в нуль в этой точке: f (x0 ) = g(x0 ) = 0 . Пусть

 

в

g (x) ¹ 0

 

 

 

 

 

окрестности точки

x . Тогда, если существует предел lim

f (x)

 

,

то

g¢(x)

 

0

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

xx0

f (x)

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

(x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0 g¢(x)

 

 

 

 

x −1

 

 

Пример. Вычислить предел lim

.

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

x→1 x ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x -1)

 

lim

x -1

=

 

1 -1

=

0

= lim

=

 

 

 

 

 

x→1

x ln x

 

 

 

 

 

0

x→1

(x ln x)¢

 

 

 

 

1× ln1

 

 

 

= lim

 

(x)

- (1)

 

 

 

= lim

 

1 - 0

 

=

 

 

 

(x)¢ × ln x + x × (ln x)¢

 

 

 

1

 

 

 

x→1

 

x→1 1× ln x + x ×

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= lim

 

=

 

=

 

 

 

=

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

ln1 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→1

ln x +1

 

0

+1

1

 

 

 

 

 

Пусть функции

 

f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности

точки x0

(кроме,

 

быть

может,

 

самой точки x0 ), в этой

окрестности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (x) = lim g(x) = ∞ , g¢(x) ¹ 0 . Тогда, если существует предел

lim

f (x)

, то

 

xx0

xx0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xx0 g¢(x)

59

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]