5140
.pdfТеорема. Если |
функция |
z = f (x, y) дифференцируема в |
точке |
|||||||
M (х0 , у0 ) , то есть имеет вид (1), то она непрерывна в этой точке и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
∂z |
имеет в ней частные производные по каждому аргументу |
¶x |
и ¶y , |
||||||||
причем ¶z |
|
|
= А, ∂z |
|
|
= В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
¶x |
|
M |
∂y |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
В силу теоремы, равенство (1) можно записать в виде |
|
|
||||||||
|
|
|
Dz = ∂z × Dx + ∂z × Dy + α × Dx + β × Dy . |
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
¶x |
¶y |
|
|
|
|
|
|
4. Дифференцирование сложных функций |
|
|
|||||
Пусть задана функция z = f (x, y) , где переменные x и y , |
в свою |
|||||||||
очередь, |
являются |
|
|
функциями |
независимой |
переменной |
||||
t : x = x(t), y = y(t) |
Тогда функция |
z = f [x(t), y(t)] будет сложной |
функцией независимой переменной t , а переменные x и y будут для нее
промежуточными переменными.
Теорема. Если функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в
точке t , а функция z = f (x, y) дифференцируема в точке M (x(t); y(t)),
то сложная функция z = f [x(t), y(t)] также дифференцируема в точке
t , причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
dz |
= |
∂z × |
dx |
+ ∂z × |
dy |
. |
|
(1) |
|||||||||
|
|
|
|
dt |
dt |
||||||||||||||
|
|
dt |
¶x |
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dz |
, где z = cos |
x |
, |
x = 2t + t 2 , y = |
|
|
||||||||||||
Пример. Найти |
t . |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Найдем сначала |
∂z , |
∂z , |
dx |
, |
|
dy |
: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶x |
¶y |
dt |
|
dt |
|
|
10
∂z |
= (-sin |
x 1 |
|
∂z |
= (-sin |
x |
|
x |
) |
|
||
¶x |
y ) × y |
, |
¶y |
y ) × (- y 2 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= 2 + 2t , |
dy |
= |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
dt 2 t |
|||||
Тогда, согласно формуле (1), имеем |
|
|
|
|
|
|
- sin |
= |
|
|
|
|
|
|
|
2t + t 2 |
||
= |
- sin |
|
|
|
|
|
|
||
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= |
∂z × |
|
dx |
+ |
∂z × |
dy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
¶x |
|
dt |
|
|
|
¶y |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
× (2 |
+ 2t) + |
|
- sin |
|
|
|
|
× |
- |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t + t 2 |
|
|
|
|
2t + t 2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
× (2 + |
2t) + |
- sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
2 t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t + t 2 |
|
|
1 |
|
|
(1 +1,5t ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
- sin |
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Дифференцирование неявных функций |
|
Пусть уравнение |
|
F (x, y, z) = 0 |
(1) |
определяет z = f (x, y) как некоторую дифференцируемую функцию двух переменных.
Найдем частные производные |
∂z |
и |
∂z |
неявной функции |
z , |
||||||
|
|
|
|
¶х |
|
|
¶y |
|
|
|
|
заданной уравнением (1). Для этого, |
подставив в уравнение |
вместо |
z |
||||||||
функцию f (x, y) , получим тождество |
F (x, y, f (x, y)) ≡ 0 . |
Частные |
|||||||||
производные по x и по y функции, |
тождественно равной нулю, также |
||||||||||
равны нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ |
|
F (x, y, f (x, y)) = |
∂F + |
∂F × |
∂z = 0 , |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
¶x |
¶x |
|
|
¶z |
¶x |
|
|
|
||
|
∂ |
∂F |
+ |
∂F |
∂z |
|
|
|
|||
|
¶y F (x, y, f (x, y)) = |
¶y |
|
¶z × |
¶y = 0 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
Откуда
|
|
¶z |
= - |
|
Fx/ |
|
|
|
¶z |
= - |
|
Fy/ |
/ |
|
¹ 0 ). |
|
|
||||
|
|
¶х |
|
|
|
и |
¶y |
|
|
|
( Fz |
|
(2) |
||||||||
|
|
|
Fz/ |
|
|
Fz/ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Найти |
∂z , |
∂z , где |
e z |
+ z - x 2 y +1 = 0 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
¶x |
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Здесь F (x, y, z) = e z + z - x 2 y +1, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
F / |
= -2xy |
, F / |
= -x 2 , F / = e z +1. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Тогда по формуле (2) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂z = |
2xy |
, |
¶z = |
x 2 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
¶x e z +1 |
¶y e z +1 |
|
|
|
|||||||||||
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
|||||||||||||||||||||
Пусть функция |
z = f (x, y) , |
дифференцируемая в точке (х0 , у0 ) , |
|||||||||||||||||||
задает в пространстве |
|
|
поверхность |
|
S . |
Пересечем |
эту |
поверхность |
|||||||||||||
плоскостями |
х = х0 и |
у = у0 |
(см. рис. 6). |
Плоскость |
х = х0 пересекает |
||||||||||||||||
поверхность |
S |
по |
некоторой |
линии |
z0 ( y) , уравнение которой |
||||||||||||||||
получается подстановкой в выражение исходной функции |
z = f (x, y) |
||||||||||||||||||||
вместо x числа |
х0 . |
Точка М0 (х0 , у0 , f (x0 , y0 ))принадлежит кривой |
|||||||||||||||||||
z0 ( y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6
12
В силу |
дифференцируемости функции z = f (x, y) |
в точке М0 |
|
функция |
z0 ( y) также является дифференцируемой в |
точке |
у = у0 . |
Следовательно, в этой точке плоскости х = х0 к кривой |
z0 ( y) |
может |
быть проведена касательная l1 . Проводя аналогичные рассуждения для
сечения у = у0 , построим касательную l2 к кривой z0 (x) в точке
х = х0 . Прямые l1 и l2 определяют плоскость α , которая называется
касательной плоскостью к поверхности S в точке М0 .
Прямая, проходящая через точку М0 (х0 , у0 , z0 ) и перпендикулярная
касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности,
называется нормалью к поверхности в точке М0 (х0 , у0 , z0 ) .
Теорема. Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке
(х0 , у0 ) , то касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y) , в точке М0 (х0 , у0 , z0 ) определяется уравнением
z - z0 |
= f x/ (x0 , y0 ) × (x - x0 ) + f y/ (x0 , y0 ) × ( y - y0 ) , |
(1) |
||||||||||||||||||||||
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= |
|
|
z − z0 |
. |
|
|
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
f x/ (x0 , y0 ) |
f y/ (x0 , y0 ) |
|
|
−1 |
|
|
|||||||||||||
Если |
поверхность |
задана |
неявно |
уравнением F (x, y, z) = 0 |
и |
|||||||||||||||||||
функция F (x, y, z) дифференцируема |
в |
точке М0 (х0 , у0 , z0 ) , |
то |
|||||||||||||||||||||
касательная |
плоскость |
к этой |
поверхности |
в точке |
|
М0 (х0 , у0 , z0 ) |
||||||||||||||||||
определяется уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F / |
|
|
|
× (x - x |
0 |
) + F / |
|
|
× ( y - y |
0 |
) + F |
/ |
|
|
× (z - z |
0 |
) = 0, |
(3) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
M 0 |
|
|
|
y |
|
M 0 |
|
|
|
|
z |
|
|
M 0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение
13
x − x0 |
|
y − y0 |
|
z − z0 |
|
|||||||
F / |
|
|
= |
F / |
|
|
= |
F / |
|
|
. |
(4) |
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
M 0 |
|
y |
|
M 0 |
|
z |
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, то есть не особых точек поверхности. Точка М0 поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.
Пример. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: а) z = x 2 + y 2 в точке М0 (1,−1, 2) , б) x2 − 4 y2 + 2z2 = 6 в
точке М0 (2, 2, 3) .
Решение. а) Поверхность задана явно, поэтому воспользуемся формулами (1), (2). Здесь
f x/ = 2x , f x/ (1,-1,2) = 2 ×1 = 2,
f y/ = 2 y , f y/ (1,-1,2) = 2 × (-1) = -2 .
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
z- 2 = 2 × (x -1) + (-2) × ( y - (-1)) или 2x − 2 y − z − 2 = 0
иуравнение нормали:
x −1 |
|
y + 1 |
|
z − 2 |
|||
|
|
= |
|
|
= |
|
. |
2 |
|
- 2 |
-1 |
б) Поверхность задана неявно, поэтому воспользуемся формулами
(3), (4). Здесь
F (x, y, z) = x 2 - 4 y 2 + 2z 2 - 6 ,
Fx/ = 2x , Fx/ (2,2,3) = 2 × 2 = 4 ,
Fy/ = -8 y , Fy/ (2,2,3) = -8 × 2 = -16 ,
Fz/ = 4z , Fz/ (2,2,3) = 4 × 3 = 12 .
Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:
14
4 × (x - 2) + (-16) × ( y - 2) +12 × (z - 3) = 0
или
x − 4 y + 3z − 3 = 0
и уравнение нормали: x − 2 = y − 2 = z − 3 .
4 -16 12
7. Полный дифференциал функции двух переменных и его геометрический смысл
Дифференциалом dz дифференцируемой в точке (х0 , у0 )
функции |
z = f (x, y) |
называется главная |
линейная, относительно |
||||||
приращений независимых переменных |
x |
и |
y , |
часть |
полного |
||||
приращения этой функции в точке (х0 , у0 ) , то есть |
|
|
|
||||||
|
|
dz = |
∂z |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
¶х × Dх + |
¶y × Dу |
|
|
(1) |
|||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Если |
положить |
z = х, |
то |
dz = dx = 1× Dх + 0 × Dу = Dx , |
то есть |
||||
dx = Dx . |
Аналогично, |
полагая |
z = у , |
получим, |
что |
dу = Dу. |
Таким |
образом, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, то есть
∂z |
∂z |
|
dz = ¶х × dх + |
¶y × dу |
(2) |
|
. |
|
Геометрический смысл дифференциала: если полное приращение |
||
функции z представляет геометрически приращение |
AC аппликаты |
поверхности z = f (x, y) , то дифференциал функции dz есть приращение
AB аппликаты касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) |
в |
данной точке, когда переменные x и y получают приращения x и |
y |
(см. рис.7). |
|
15
z = f ( x, y)
M ( x, y, z)
M |
N ( x, y, Z ) |
|
|
0 |
|
|
|
|
P( x, y, z |
0 ) |
MP = z |
|
NP = dz |
||
|
|
|
z0
(x 0 , y 0 )
( x, y)
Рис. 7
Напомним, что если функция z = f ( x, y) дифференцируема в точке
(х0 , у0 ) , то ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
Dz = |
∂z |
(x , y |
|
|
) × Dx + |
∂z |
(x , y |
|
) × Dy + α (Dх, Dу) × Dx + β (Dx, Dy) × Dy |
(3) |
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
¶x |
0 |
|
|
¶y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Из соотношений (2) и (3) следует, что при достаточно малых | |
x | и |
||||||||||||||||||||||||||
| |
y | |
имеет место приближенное равенство |
z ≈ dz . Отсюда получаем |
|||||||||||||||||||||||||
формулу для приближенных вычислений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f (x |
|
+ Dх, y |
+ Dу) » f (x , y ) + f / |
(x , y ) ×Dx + f / (x , y ) ×Dy |
|
|
|
(4) |
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
x |
0 |
0 |
|
y |
0 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример. Вычислить приближенно ln(1,98 - |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1,01 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y) = ln(x − |
|
|
). |
|
||||||||||||||||
|
Решение. |
Рассмотрим |
функцию |
|
y |
Тогда |
||||||||||||||||||||||
ln(1,98 − |
|
) = ln((x0 + |
x) − |
|
|
|
), |
|
|
x0 = 2, |
x = −0,02, . |
|||||||||||||||||
1,01 |
y0 + |
y |
где |
|
||||||||||||||||||||||||
y0 |
= 1, |
|
Dy = 0,01. Воспользуемся формулой (4), |
|
предварительно найдя |
|||||||||||||||||||||||
f / |
и |
f |
/ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
f x/ |
= |
1 |
|
|
, |
|
f x/ ( x0 , y0 |
) = f x/ (2,1) = |
|
1 |
|
|
= 1 , |
|||||||||||||||||||||||
x − |
|
|
|
2 - |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
/ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f y |
= |
x - |
|
y |
× |
- |
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
/ |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f y |
(x0 , y0 ) = f y |
(2,1) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -0,5 . |
|||||||||||
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
2 × |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Следовательно,
ln(1,98 − 1,01) ≈ ln(2 - 1)+ 1× (-0,02) + (-0,5) × 0,01 = -0,025 .
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:
ln(1,98 - 1,01) » -0,025305051.
8. Производная по направлению. Градиент
Пусть в области D , в которой определена функция z = f (x, y) , в
некоторой внутренней точке M 0 (x0 , y0 ) задано направление вектором l
(см. рис. 8). Нас интересует поведение функции при движении точки
M (x, y) |
в этом направлении. Пусть t расстояние между точками M 0 и |
||||||
M , а |
e |
|
|
единичный вектор заданного направления l . |
|||
= cosα i + sin α j – |
|||||||
Тогда |
|
координаты |
точки |
M (x, y) |
равны: |
x = x0 + t cosα , |
|
y = y0 |
+ t sin α . Если точка |
M |
стремится к точке |
M 0 по заданному |
направлению, то t → 0.
17
y |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
M (x, y ) |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 ( x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производной функции |
z = f (x, y) |
в точке M 0 (x0 , y0 ) в заданном |
|||||||||||||||||
направлении l называется предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
f (x |
0 |
+ t cosα , y |
0 |
+ t sin α )− f (x |
0, |
y |
0 |
) |
= |
df |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
∂ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, |
частные производные |
∂ x ; |
|
|
это производные по |
||||||||||||||
∂ y |
положительному направлению координатных осей Ox и Oy
соответственно. Оказывается, что для функции, имеющей непрерывные частные производные, производная по направлению выражается через частные производные в данной точке. Чтобы это доказать, нам необходимо научиться находить частные производные сложных функций.
Производная |
∂ z |
характеризует скорость |
изменения функции в |
||||||
∂ l |
|||||||||
направлении l . |
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Если функция |
z = f (x, y) дифференцируема |
в точке |
|||||||
(х0 , у0 ) , то производная |
∂ z |
по направлению |
l = {cos α , |
sin α } в |
|||||
∂ l |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точке (х0 , у0 ) определяется формулой |
|
|
|||||||
|
∂z |
( x0 , y0 ) = |
f x/ ( x0 , y0 ) × cos α + f y/ ( x0 , y0 ) × sin α , |
(1) |
|||||
|
|
||||||||
|
¶l |
|
|
|
|
|
|
18
где e = {cos α , sin α} – единичный вектор заданного направления l .
|
|
Замечание. |
Если направление l задано вектором a = {a1 , a2 } , то |
||||||||||||||
производная |
∂z |
|
функции |
z = f (x, y) |
по направлению l может быть |
||||||||||||
|
|
|
¶l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подсчитана по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂z |
|
/ |
|
|
a1 |
|
|
/ |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
( x0 , y0 ) = f x |
( x0 , y0 ) × |
|
|
|
+ |
f y ( x0 |
, y0 ) × |
|
|
|
|
. |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a12 + a22 |
a12 |
+ a22 |
||||||||||||
|
¶l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пример. Найти производную от функции |
z = 3x4 − xy + y3 |
в точке |
М(1,2) в направлении, составляющим с осью Ox угол в 600 .
Решение. Направление задано углом наклона к оси Ox , поэтому воспользуемся формулой (1).
f x/ =12x3 - y , |
f x/ (x0 , y0 ) = f x/ (1,2) = 12 ×13 - 2 = 10 , |
||||
f y/ = − x + 3 y 2 , |
f y/ ( x0 , y0 ) = f y/ (1,2) = -1 + 3 × 2 2 = 11 , |
||||
∂z (1,2) = 10 × cos 60 |
+11× sin 60 = 10 × 0,5 +11× 0,5 |
|
= 5 + 5,5 |
|
|
3 |
3. |
||||
¶l |
|
|
|
|
|
Пример. Найти производную от функции z = ln( x 2 + 2 y) в точке
М(1;2) по направлению вектора a = 3i − 4 j .
Решение. Направление задано координатами вектора a , поэтому воспользуемся формулой (2).
f x/ = |
2x |
f x/ ( x0 , y0 ) |
|||||
|
|
, |
|||||
x2 + 2 y |
|||||||
f y/ = |
|
|
2 |
|
, |
f y/ ( x 0 , y 0 ) |
|
x |
2 |
+ |
|
||||
|
2 y |
|
= f x/ (1,2) = |
|
|
2 ×1 |
= 0,4 , |
|
||||
12 |
+ 2 × 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
= |
/ |
(1,2 ) |
= |
2 |
|
= 0 , 4 |
|
||
f y |
|
, |
|||||||
|
12 + 2 × 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ z |
(1,2 ) = 0 ,4 × |
|
3 |
|
+ 0 ,4 × |
|
|
− 4 |
|
= - 0 ,08 . |
¶ a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 2 + ( - 4 ) 2 |
|
+ ( - 4 ) 2 |
||||||||
|
|
3 2 |
|
|
Рассмотрим понятие градиента функции z = f (x, y) .
19