Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4797

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

509.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

∞

n + 1

Согласно

второму

признаку

сравнения

получаем, что ряд

∑

4n3 -1

n=1

сходится.

Для исследования рядов с положительными слагаемыми,

общий

член

которых

содержит либо

показательное выражение

вида

an , (a > 0, a ¹ 1),

либо факториал

n! удобно использовать признак

∞

Даламбера. Пусть дан числовой, знакоположительный ряд ∑ an ,

и пусть

n=1

существует предел отношения

lim

an+1

= p . Тогда

n→∞ a

если

p < 1,

то данный ряд сходится;

если

p > 1 или p = ∞ ,

то данный ряд расходится;

если

p = 1,

то признак Даламбера ответа не дает (ряд может

оказаться как сходящимся, так и расходящимся).

∞

n + 1

Исследуем по

признаку Даламбера сходимость ряда

∑

n=1

Здесь

n + 1

;

an+1 =

n + 2

. Находим предел отношения

2n+1

p = lim

an+1

= lim

(n + 2)2n

lim

n + 2

lim

1 + 2 / n

n→∞

n→∞ 2n × 2(n +1)

2 n→∞ n +1 2 n→∞ 1 +1/ n 2

∞ n + 1

Так как p =

< 1, то ряд ∑

сходится.

n=1

∞

(2n)!

Далее исследуем на сходимость ряд

∑

n=1

Здесь

= (2

n)!;

= (2(

n + 1))!.

n +1

= lim (2

(n +1))!×

= lim

(2n +

2)!×

Находим

p = lim

an+1

n→∞

n +1 ×(2n)!

n→∞

n +1 × (2n)!

= lim

1× 2 ×... × (2

n)× (

2n +1)× (2n + 2)×

= lim (2n +1)(2n +

n→∞

n +1 ×1× 2 ×... × 2n

n→∞

= lim

× lim(2n +1)(2n + 2) = 1× ¥ = ¥.

n +1

n→∞

∞

(2n)!

Так как p = ∞ , то по признаку Даламбера ряд ∑

расходится.

n=1

Поскольку признак Даламбера действует не всегда, нужны другие достаточные признаки для знакоположительных рядов. Рассмотрим

∞

радикальный признак Коши. Пусть дан числовой ряд ∑ an

n=1

( a > 0, n = 1, 2,...), и пусть существует конечный предел lim n			a		= p .
n		n→∞		n
Тогда если	p < 1,	то данный ряд сходится;
если	p > 1,	то данный ряд расходится;
если	p = 1,	то признак Коши ответа не дает.

2		3	2		4	3
Рассмотри, например, ряд	+			+			+ ... . Запишем общий
		8			11
5

n +1

член ряда в виде

an =

. Легко проверить получение любого

3n + 2

члена данного нам ряда, полагая n = 1, 2,...:

n = 1 a =

1 + 1

;

3 ×1 +1

2 +1

3 2

n = 2 a2

;

3 × 2 + 2

3 +1

4 2

n = 3 a3

и т.д.

× 3 + 2

n + 1

Найдем

p = lim n an

= lim n

+ 2

n→∞

n→∞ 3n

= lim

n + 1

= lim

1 + 1/ n

< 1.

n→∞ 3n + 2

n→∞ 3 + 2 / n 3

Так как p =

< 1, то по признаку Коши ряд

∞

n + 1

∑

сходится.

3n + 2

n=1

Еще один достаточный признак сходимости знакоположительных рядов – это интегральный признак Коши. Пусть члены числового ряда

∞

∑ an удовлетворяют следующим условиям:

n=1

1) они неотрицательны ( an ³ 0, n = 1,2,... ) и не возрастают, т.е. a1 ³ a2 ³ a3 ³ ... ³ an ³ ...;

2)найдется непрерывная невозрастающая функция f (x),

определенная при x > 0 и такая, что

f (1) = a1 ,

f (2) = a2 ,

f (n) = an ,...

Тогда если несобственный интеграл ∞∫

f (x)dx сходится, то сходится и ряд

∞

∑ an ; если несобственный интеграл ∫ f (x)dx расходится, то расходится и

n=1

∞

ряд ∑ an .

n=1

Сразу же поясним, что функцию

f (x),

принимающую в точках

x = n значения

f (n), чаще всего удается получить с помощью замены

натурального

выражении

f (n)

на непрерывно

изменяющийся

аргумент

x .

Так,

например,

если

f (n) =

, то f (x) =

; если

f (n) =

, то f (x) =

и т.п.

x x

p ≤ 1.

Однако не всегда таким путем можно получить функцию f (x).

Допустим,	что f (n) =	1	. В этом случае нельзя заменить n	на	x ,	т.к.
		n!

символ x!	имеет смысл		только при целых значениях x .	Но	это	не

означает, что не существует функции f (x), принимающей в точках x = n

значения f (n). Напротив, она всегда существует, но ее аналитическое выражение бывает трудно найти.

					∞	1
Исследуем для	примера сходимость			ряда	∑		.	Для этого
Исследуем для	примера сходимость			ряда	∑		.	Для этого
					n=1	n p
рассмотрим функцию	f (x) =	1	= x− p .	Пусть	p ¹ 1.			Вычислим
рассмотрим функцию	f (x) =	x p	= x− p .	Пусть	p ¹ 1.			Вычислим
		x p

несобственный интеграл

∞ dx			N dx			N		1
∫	p		∫	p		∫
		= lim			= lim		x− p dx = lim	− p + 1
1 x		N →∞	1 x		N →∞	1	N →∞	− p + 1

= lim		1	(N 1− p − 1) .
= lim			(N 1− p − 1) .
N →∞	1 − p

− + N =

x p 1

если p > 1,

∞

Отсюда следует,

что

то

интеграл ∫

сходится;

p −1

x p

если p < 1,

∞

= ∞

p = 1

то интеграл ∫

расходится.

При

получаем

x p

∞

= lim

[ln N − ln1] =∞ –

интеграл расходится. Тем самым

∫

N →∞ ∫

N →∞

1 x

интегральный признак Коши дает возможность обосновать утверждение относительно обобщенного гармонического ряда, который мы ранее определили в качестве эталонного: он сходится при p > 1 и

расходится при

∞		1
Сходимость ряда ∑			легко установить с помощью второго
	n2
n=1		+ 3

признака сравнения. Однако в качестве примера исследуем его с использованием интегрального признака. Для этого рассмотрим

∞

несобственный интеграл ∫

и вычислим его:

+ 3

∞

∫

= lim

∫

= lim

arctg

x2 + 3

N →∞


=	1			N		- arctg			1			=		1					N	-	1		1	=
			lim arctg													lim arctg						arctg
			lim arctg													lim arctg						arctg
		3 N →∞		3						3					3 N →∞				3		3		3
					=		1	× π -			1		× π =				1	× π .


					3			2	3					6	3			3

Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и

∞	1
ряд ∑		.
ряд ∑		.
n=1	n2 + 3
			∞	1
При исследовании на сходимость ряда			∑		применение
При исследовании на сходимость ряда			∑		применение
			n=2	n × ln n

признаков сравнения, радикального признака Коши и признака Даламбера не дает ответа на вопрос. Попробуем воспользоваться интегральным

призраком Коши. Так	как an =	1	, то функцией,		принимающей в

		n ln n
точках x = n значения	an , будет функция f (x) =			1	. Она непрерывна

				x ln x

для x ³ 2 и монотонно убывает. Вычислим несобственный интеграл

∞

d (ln x)

∫

f (x)dx = ∫

= lim ∫

= limln

ln x

x ln x

N →∞ 2

ln x

N →∞

= lim(ln

ln N

- ln

ln 2

) = ¥ - ln

ln 2

= ¥.

N →∞

N =

∞	1
Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд ∑		.

n=2	n × ln n

Приступим к исследованию на сходимость числовых рядов, члены которых имеют произвольный знак. Частным случаем таких рядов

являются знакочередующиеся ряды.

Ряд

u − u

+ u

− u

+ ... + (−1)n+1 u

+ ... = ∑∞

(−1)n+1 u

в котором

n=1

все

(n = 1, 2,3,...)

числа

одного

знака,

называется

знакочередующимся.

Для знакочередующихся рядов различают два типа сходимости –

абсолютную и

условную.

Ряд

∑∞ (−1)n+1 un называется

абсолютно

n=1

∞

сходящимся, если ряд ∑ un , составленный из модулей его членов,

n=1

сходится.

Оказывается, что всякий абсолютно сходящийся ряд является

∞

сходящимся, т.е. из сходимости ряда ∑ un следует сходимость ряда

n=1

∞

∑ (−1)n+1 un . Обратное утверждение неверно.

n=1

∞

Ряд ∑ (−1)n+1 un называется условно сходящимся, если сам он

n=1

∞

сходится, а ряд ∑ un , составленный из модулей его членов, расходится.

n=1

При исследовании на сходимость знакочередующегося ряда надо ответить не только на вопрос, сходится он или расходится, но и выяснить,

как он сходится – условно или абсолютно.

Для знакочередующихся рядов справедлив признак Лейбница

(достаточный признак сходимости): если для знакочередующегося

∞

числового ряда ∑ (−1)n+1 un выполняются два условия:

n=1

1) lim u = 0 и

n→∞ n

2) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

u1 > u2 > u3 > ... > un > ..., то

ряд сходится; а его сумма S положительна и меньше первого члена u1 , т.е.

0 < S < u1 .

Отметим важные свойства абсолютной и условной сходимости.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов. Если ряд сходится условно, то, какое бы число С мы заранее ни взяли, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося после перестановки ряда окажется равной С .

Если ряд ∑∞ (-1)n+1 un

сходится, то при вычислении его суммы S

n=1

можно заменять

S ≈ Sn ,

где Sn

–

n -я частичная сумма ряда. Разность

S − Sn = Rn

называют

остатком

ряда.

Поскольку

остаток

= ±(un+1 − un+2

+ un+3 − ...)

сам

является

знакочередующимся

рядом,

удовлетворяющим

всем

условиям

теоремы Лейбница,

он

сходится и

< un+1 ,

т.е.

погрешность

замены

на

меньше

первого

отброшенного слагаемого un+1 .

Исследуем, например, ряд

∞

(-1)n+1

(-1)1+1

(-1)2+1

(-1)3+1

∑

n × 2n

1× 21

2 × 22

3 × 23

+ ... =

-....

n=1

2 8 24

Проверим, выполняется ли признак Лейбница. Для этого

находим предел общего члена ряда lim un = lim

= 0 ,

n→∞

n→∞ n × 2n

видим, что первое условие выполнено;

2) проверяем

второе

условие

признака

Лейбница:

> ... >

> ...,

т.е. члены данного нам ряда

n × 2n

(n +1)2n+1

монотонно убывают по модулю. Таким образом, оба условия признака

∞		(-1)n+1
Лейбница выполняется и, следовательно, ряд ∑			сходится.
n=1		n × 2n
Выясняем теперь, как сходится ряд		∞	(-1)n+1
	∑		- условно или
	n=1		n × 2n

абсолютно. Для этого рассматриваем ряд, составленный из модулей членов

∞

нашего ряда: ∑

. Здесь un

un+1

n × 2n

(n +1)× 2n+1

n=1

n × 2n

Воспользуемся признаком Даламбера, вычислив

n+1

n × 2n

lim

= lim

lim

(n +1)

× 2n+1

n→∞

2 n→∞ n +1

2 n→∞ 1 + 1

∞

Так как

p =

< 1,

то ряд

∑

сходится.

Следовательно,

исходный

n=1 n

× 2n

∞

(-1)n+1

сходится абсолютно.

знакочередующийся ряд ∑

n × 2n

n=1

∞

(-1)n+1

Рассмотрим ряд ∑

= 1 -

+ .... Применим к нему

n=1

признак Лейбница:

1) lim un = lim

= 0;

n→∞

n→∞ n

2) 1 >

> ... >

> ... - члены ряда монотонно убывают по

абсолютной величине.

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Однако он сходится

∞	1
лишь условно, т.к. ряд ∑		, составленный из его модулей, расходится
лишь условно, т.к. ряд ∑		, составленный из его модулей, расходится
n=1	n
(это гармонический ряд).

a = 0 , степенной

§ 5.	Функциональные и степенные ряды.
Разложение функций в степенные ряды
	∞	(x), слагаемые
Ряд вида	u1 (x) + u2 (x)+ ... + un (x)+ ... = ∑ un	(x), слагаемые
	n=1

которого u1 (x), u2 (x),..., un (x),… являются функциями переменной x ,

называется функциональным рядом. Давая переменной x определенные числовые значения, мы получим разные числовые ряды, некоторые из них могут оказаться сходящимися, другие - расходящимися. Целью исследования рядов из функций является нахождение значений x , для которых числовой ряд является сходящимся. Совокупность всех значений x , при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси ox . Каждому значению x из области сходимости функционального ряда соответствует определенное значение

предела lim ∑uk ( x) , являющееся функцией от x . Его называют суммой

n→∞ = k 1

функционального ряда и обозначают S(x).

Ряд вида

∞

a0 + a1 ( x − a) + a2 ( x − a)2 + ... + an ( x − a)n + ... = ∑an ( x − a)n , (5.1)

n=0

составленный из степенных функций (коэффициенты ai , i = 1,2,... -

действительные числа), называется степенным рядом. Именно такой вид функциональных рядов мы и будем рассматривать. Если ряд приобретает вид

∞
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + ... = ∑ an xn .	(5.2)
n=0

Заметим, что в точке x = 0 степенной ряд (5.2) всегда сходится.

Для нахождения области сходимости степенного ряда используется

теорема Абеля. Если степенной ряд (5.2) сходится при x = x0 ¹ 0 , то он сходится, и притом абсолютно, для всех значений x , удовлетворяющих

неравенству - x0 < x < x0 . Если же степенной ряд (5.2) расходится при

x = x0 ¹ 0 , то он расходится и для всех значений x таких, что

Из

теоремы

Абеля

вытекает,

что всякая точка

сходимости

∞

степенного ряда

∑ an xn

расположена не дальше от точки

x = 0, чем

n=0

всякая

точка

его

расходимости.

Поэтому существует

интервал

− R < x < R , для всех точек которого степенной ряд (5.2) сходится, а для

всех x : x > R – расходится.

Интервал (- R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда (5.2), а число R - радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости (т.е. при x = −R и x = R ) ряд может как сходиться,

так и расходиться.			Поэтому	концевые		точки интервала сходимости
(x = ±R)	исследуются отдельно.
Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из
		an		1
		an		1
формул	R = lim		или	R = lim			при условии, что входящие в


	n→∞	an+1		n→∞ n	an

них пределы существуют.

Интервал сходимости рядов вида (5.1) симметричен относительно

точки x = a и описывается неравенствами a − R < x < a + R .

∞

n2 xn

Найдем, например,

область сходимости степенного ряда ∑

n =1

Выпишем коэффициенты

an =

и an+1

(n +1)2

. Тогда

2n+1

n2 × 2n+1

n 2

R = lim

= lim

= 2lim

n→∞

an+1

n→∞ 2n

× (n +1)

n→∞ n +1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023508.71 Кб14792.pdf
#
21.11.2023508.82 Кб14793.pdf
#
21.11.2023509.23 Кб04794.pdf
#
21.11.2023509.33 Кб04795.pdf
#
21.11.2023509.34 Кб04796.pdf
#
21.11.2023509.39 Кб14797.pdf
#
21.11.2023509.66 Кб04798.pdf
#
21.11.2023509.72 Кб04799.pdf
#
21.11.202383.71 Кб048.pdf
#
21.11.2023123.4 Кб0480.pdf
#
21.11.2023509.85 Кб04800.pdf