Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4758

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

504.63 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

= lim1 2 ... (2n) (2n +1) (2n + 2) n = lim (2n +1)(2n + 2)n =

n→∞			n +1 1 2 ... 2n	n→∞			n +1
			n +1 1 2 ... 2n				n +1

=lim		n	lim(2n +1)(2n + 2)=1 ∞ = ∞.

	n +1
n→∞	n +1		n→∞
				∞	(2n)!
Так как p = ∞, то по признаку Даламбера ряд ∑							расходится.
Так как p = ∞, то по признаку Даламбера ряд ∑						n	расходится.
				n=1		n

Поскольку признак Даламбера действует не всегда, нужны другие достаточные признаки для знакоположительных рядов. Рассмотрим

∞

радикальный признак Коши. Пусть дан числовой ряд ∑an

n=1

(an > 0, n =

Тогда если если если


			= p.
1,2,...), и пусть существует конечный предел lim n a		n	= p.
	n→∞	n
	n→∞
p <1,	то данный ряд сходится;
p >1,	то данный ряд расходится;
p =1,	то признак Коши ответа не дает.

2		3	2		4	3
Рассмотри, например, ряд	+			+			+.... Запишем общий

5		8			11

n +1

член ряда

в виде

. Легко проверить получение любого

3n + 2

члена данного нам ряда, полагая n =1,2,...:

n =1 a =

1+1

;

3 1+1

2 +1

n = 2 a

;

3 2 + 2

3 +1

n = 3

и т.д.

3 + 2


Найдем	p = lim n a
	n→∞	n
	n→∞

= lim n +1

n→∞ 3n + 2

	n +1	n
= lim n			=
= lim n	3n + 2		=
n→∞	3n + 2

= lim	1+1/n	=	1	<1.

n→∞ 3+ 2/n 3

	1	∞	n +1	n
Так как p =		<1, то по признаку Коши ряд ∑			сходится.
			3n + 2
	3	n=1

Еще один достаточный признак сходимости знакоположительных рядов – это интегральный признак Коши. Пусть члены числового ряда

∞

∑an удовлетворяют следующим условиям:

n=1

1) они неотрицательны (an ≥ 0, n =1,2,...) и не возрастают, т.е.

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ an ≥ ...;

2)найдется непрерывная невозрастающая функция f (x),

определенная при x > 0 и такая, что

f (1)= a1 ,

f (2)= a2 ,

f (n)= an ,...

Тогда если несобственный интеграл ∞∫

f (x)dx сходится, то сходится и ряд

∞

(x)dx расходится, то расходится и

∑an ; если несобственный интеграл ∫ f

n=1

∞

ряд ∑an .

n=1

Сразу же поясним, что функцию f (x),

принимающую в точках

x = n значения

f (n), чаще всего удается получить с помощью замены

натурального

выражении

f (n)

на непрерывно

изменяющийся

аргумент

Так,

например,

если

f (n)=

, то f (x)=

; если

f (n)=

, то

f (x)=

и т.п.

p ≤1.

Однако не всегда таким путем можно получить функцию f (x).

Допустим, что f (n)=	1	. В этом случае нельзя заменить n на	x, т.к.
	n!

символ x! имеет смысл		только при целых значениях x. Но	это не

означает, что не существует функции f (x), принимающей в точках x = n

значения f (n). Напротив, она всегда существует, но ее аналитическое выражение бывает трудно найти.

Исследуем для примера сходимость ряда

рассмотрим функцию f (x)=	1	= x− p . Пусть
	xp

несобственный интеграл

∞	1
∑		.	Для этого

n=1	np
p ≠1.			Вычислим

∞ dx

N dx

∫

= lim

x− pdx = lim

− p +1

1 x

N→∞ 1 x

N→∞ 1

N→∞

= lim

(N1− p −1) .

N→∞ 1− p

x− p+1 =

если p >1,

∞

Отсюда следует,

что

то интеграл ∫

сходится;

p −1

если p <1,

∞

= ∞

p =1

то интеграл ∫

расходится. При

получаем

∞

[ln N − ln1]=∞ – интеграл расходится. Тем самым

∫

= lim

∫

= lim

x N→∞

N→∞

интегральный признак Коши дает возможность обосновать утверждение относительно обобщенного гармонического ряда, который мы ранее определили в качестве эталонного: он сходится при p >1 и

расходится при

∞		1
Сходимость ряда ∑			легко установить с помощью второго
	n2
n=1		+ 3

признака сравнения. Однако в качестве примера исследуем его с использованием интегрального признака. Для этого рассмотрим

∞

несобственный интеграл ∫

и вычислим его:

1 x

∞

∫

= lim

∫

= lim

arctg

x2 +

3 N→∞

x2 + 3 N→∞

lim arctg

− arctg

limarctg

−

arctg

3 N→∞

π −

π =

π .

Видим, что несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится и

∞	1
ряд ∑		.
ряд ∑		.
n=1	n2 + 3
			∞	1
При исследовании на сходимость ряда			∑	1	применение
При исследовании на сходимость ряда			∑	n ln n	применение
			n=2	n ln n

признаков сравнения, радикального признака Коши и признака Даламбера не дает ответа на вопрос. Попробуем воспользоваться интегральным

призраком Коши. Так

как a

, то

функцией,

принимающей в

nln n

точках x = n значения

, будет функция f (x)=

. Она непрерывна

xln x

для x ≥ 2 и монотонно убывает. Вычислим несобственный интеграл

∞

(ln x)

∫ f (x)dx = ∫

= lim ∫

= limln

ln x

N =

xln x

ln x

N→∞ 2

N→∞

= lim(ln

ln N

− ln

ln 2

)= ∞ − ln

ln 2

= ∞.

N→∞

∞

Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд ∑

n=2

n ln n

Приступим к исследованию на сходимость числовых рядов, члены которых имеют произвольный знак. Частным случаем таких рядов являются знакочередующиеся ряды.

Ряд

u − u

+ u

− u

+ ...+ (−1)n+1u

+ ... = ∑∞

(−1)n+1u

в котором

n=1

все un

(n =1,2,3,...)

- числа

одного

знака,

называется

знакочередующимся.

Для знакочередующихся рядов различают два типа сходимости –

∞

абсолютную и условную. Ряд ∑(−1)n+1un называется абсолютно

n=1

∞

сходящимся, если ряд ∑ un , составленный из модулей его членов,

n=1

сходится.

Оказывается, что всякий абсолютно сходящийся ряд является

∞

сходящимся, т.е. из сходимости ряда ∑ un следует сходимость ряда

n=1

∞

∑(−1)n+1un . Обратное утверждение неверно.

n=1

∞

Ряд ∑(−1)n+1un называется условно сходящимся, если сам он

n=1

∞

сходится, а ряд ∑ un , составленный из модулей его членов, расходится.

n=1

При исследовании на сходимость знакочередующегося ряда надо ответить не только на вопрос, сходится он или расходится, но и выяснить, как он сходится – условно или абсолютно.

Для знакочередующихся рядов справедлив признак Лейбница

(достаточный признак сходимости): если для знакочередующегося

∞

числового ряда ∑(−1)n+1un выполняются два условия:

n=1

1) limu = 0 и

n→∞ n

2) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

u1 > u2 > u3 > ... > un > ..., то

ряд сходится; а его сумма S положительна и меньше первого члена u1 , т.е.

0 < S < u1 .

Отметим важные свойства абсолютной и условной сходимости.

Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов. Если ряд сходится условно, то, какое бы число С мы заранее ни взяли, можно так переставить члены этого ряда, что сумма получившегося после перестановки ряда окажется равной С .

Если ряд

∑∞ (−1)n+1un

сходится, то при вычислении его суммы S

n=1

можно заменять

S ≈ Sn , где Sn

–

n-я частичная сумма ряда. Разность

S − Sn = Rn

называют

остатком

ряда.

Поскольку

остаток

= ±(un+1 − un+2 + un+3 −...)

сам

является

знакочередующимся

рядом,

удовлетворяющим

всем условиям

теоремы Лейбница,

он сходится и

< un+1,

т.е.

погрешность

замены

на

меньше

первого

отброшенного слагаемого un+1.

Исследуем, например, ряд

∞

(−1)n+1

(−1)1+1

(−1)2+1

(−1)3+1

∑

n 2n

2 22

3 23

+ ... =

−

−....

n=1

1 21

2 8 24

Проверим, выполняется ли признак Лейбница. Для этого

находим предел общего члена ряда limu

= lim

= 0,

n→∞

n→∞ n 2n

∞

видим, что первое условие выполнено;

2) проверяем

второе

условие

признака

Лейбница:

> ...

> ...,

т.е. члены

данного

нам ряда

n 2n

(n +1)2n+1

монотонно убывают по модулю. Таким образом, оба условия признака

∞		(−1)n+1
Лейбница выполняется и, следовательно, ряд ∑			сходится.
n=1		n 2n
Выясняем теперь, как сходится ряд		∞	(−1)n+1
	∑		- условно или
	n=1		n 2n

абсолютно. Для этого рассматриваем ряд, составленный из модулей членов

∞

нашего ряда: ∑

. Здесь u

n 2n

n+1

(n +1) 2n

n=1

Воспользуемся признаком Даламбера, вычислив

n+1

= lim

n 2n

lim

+1)

n+1

+ 1

n→∞ un

n→∞ (n

2 n→∞ n +1

2 n→∞ 1

∞

Так как p =

< 1, то ряд

∑

сходится. Следовательно, исходный

n=1 n

∞

(−1)n+1

сходится абсолютно.

знакочередующийся ряд ∑

n 2n

n=1

∞ (−1)n+1

Рассмотрим ряд

∑

= 1−

−

+ .... Применим к нему

n=1

признак Лейбница:

1) limu

= lim

= 0;

n→∞

n→∞ n

∞

2) 1 >

> ... >

> ...

- члены ряда монотонно убывают по

абсолютной величине.

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Однако он сходится

∞	1
лишь условно, т.к. ряд ∑		, составленный из его модулей, расходится
лишь условно, т.к. ряд ∑		, составленный из его модулей, расходится
n=1	n
(это гармонический ряд).

§ 5. Функциональные и степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды

Ряд вида	u (x)+ u	2	(x)+ ...+ u		n	(x)+ ... = ∑∞ u	n	(x), слагаемые
	1	2			n	n=1	n
						n=1
которого u1(x), u2 (x),..., un (x),…				являются функциями переменной x,
называется функциональным рядом. Давая переменной								x определенные

числовые значения, мы получим разные числовые ряды, некоторые из них могут оказаться сходящимися, другие - расходящимися. Целью исследования рядов из функций является нахождение значений x, для которых числовой ряд является сходящимся. Совокупность всех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси ox. Каждому значению x из области сходимости функционального ряда соответствует определенное значение

предела lim∑uk (x), являющееся функцией от x. Его называют суммой

n→∞ k=1

функционального ряда и обозначают S(x). Ряд вида

∞

a0 + a1 (x − a)+ a2 (x − a)2 + ...+ an (x − a)n + ... = ∑an (x − a)n , (5.1)

n=0

составленный из степенных функций (коэффициенты ai , i = 1,2,... -

действительные числа), называется степенным рядом. Именно такой вид функциональных рядов мы и будем рассматривать. Если a = 0, степенной ряд приобретает вид

a + a x + a		x2 + a x3	+...+ a	∞
a + a x + a		x2 + a x3	+...+ a	xn +... = ∑a	xn .	(5.2)
0 1	2	3	n	n

n=0

Заметим, что в точке x = 0 степенной ряд (5.2) всегда сходится.

Для нахождения области сходимости степенного ряда используется теорема Абеля. Если степенной ряд (5.2) сходится при x = x0 ≠ 0, то он

сходится, и притом абсолютно, для всех значений

x, удовлетворяющих

неравенству −

< x <

. Если же степенной ряд (5.2) расходится при

x = x0 ≠ 0, то он расходится и для всех значений x таких, что

Из

теоремы

Абеля

вытекает,

что всякая

точка

сходимости

∞

степенного ряда

∑an xn

расположена не дальше от точки

x = 0, чем

n=0

всякая

точка

его

расходимости.

Поэтому существует

интервал

− R < x < R, для всех точек которого степенной ряд (5.2) сходится, а для всех x: x > R – расходится.

Интервал (− R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда (5.2), а число R - радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости (т.е. при x = −R и x = R) ряд может как сходиться,

так и расходиться. Поэтому				концевые			точки интервала сходимости
(x = ±R)	исследуются отдельно.
Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из
		an		R = lim	1
формул	R = lim		или		1			при условии, что входящие в



	n→∞	an+1		n→∞ n		an

них пределы существуют.

Интервал сходимости рядов вида (5.1) симметричен относительно точки x = a и описывается неравенствами a − R < x < a + R.

∞ n2 xn

Найдем, например, область сходимости степенного ряда ∑ .

n=1 2n

Выпишем коэффициенты

и a

= (n +1)2

. Тогда

n+1

2n+1

n2 2n+1

R = lim

= lim

= 2lim

n→∞

an+1

n→∞ 2n (n +1)2

n→∞ n +1

				2				2
		1				1
		1			=2	1			= 2.
=2lim
=2lim		+ 1
n→∞	1	+ 1				+	1
			n		1
			n		1
							∞

Следовательно, ряд сходится, если x (− 2, 2). Осталось исследовать ряд

в концевых точках	x = 2 и	x = −2.
		∞	n2 2n	∞
При x = 2	степенной	ряд принимает вид ∑		= ∑n2 . Это
При x = 2	степенной	ряд принимает вид ∑	2n	= ∑n2 . Это
		n=1	2n	n=1

числовой знакоположительный ряд. Он расходится, т.к. не выполняется


необходимое условие сходимости (lima	n	= limn2 = ∞ ≠ 0).
n→∞		n→∞

При x = −2 степенной ряд принимает вид ∑∞			n2 (− 2)n			= ∑∞ (−1)n n2 .

		n=1			2n	n=1
Это числовой знакочередующийся ряд. Так как lima				n	= limn2 = ∞ ≠ 0, то
		n→∞			n→∞

∞ n2 xn

ряд расходится. Таким образом, область сходимости ряда ∑

n=1 2n

совпадает с его интервалом сходимости: x (− 2, 2).

∞
Для степенного ряда ∑nn xn выпишем коэффициент an = nn .
n=1
Радиус сходимости найдем по другой формуле: R = lim	1	= lim 1 = 0.
n→∞ n	an	n→∞ n

∞
Получили, что ряд ∑nn xn сходится только в одной точке x = 0. Она и
n=1
является его областью сходимости.
∞		n(x − 2)n
Исследуем далее степенной ряд ∑							, который относится к
Исследуем далее степенной ряд ∑				2n			, который относится к
n=1				2n
виду (5.1). Выпишем коэффициенты	a			=	n	и		a	=	n +1	, найдем
виду (5.1). Выпишем коэффициенты	a			=	2n	и		a	=		, найдем
			n		2n			n+1		2n+1

радиус сходимости

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023503.64 Кб04753.pdf
#
21.11.2023503.9 Кб04754.pdf
#
21.11.2023504.23 Кб04755.pdf
#
21.11.2023504.25 Кб04756.pdf
#
21.11.2023504.28 Кб04757.pdf
#
21.11.2023504.63 Кб14758.pdf
#
21.11.2023504.73 Кб04759.pdf
#
21.11.2023122.83 Кб0476.pdf
#
21.11.2023504.82 Кб04760.pdf
#
21.11.2023504.86 Кб14761.pdf
#
21.11.2023505 Кб04762.pdf