3963
.pdf
|
|
sin3 |
x |
|
1 |
|
sin 2x |
|
|
Итак, |
y = − |
|
|
+ |
|
x − |
|
- |
частное решение. |
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
III Уравнение вида F (y, y′, y′′)= 0 , или y′′ = f ( у, у′) .
Для понижения порядка уравнения введём новую функцию P = P( y) ,
полагая y′ = P( y) . Тогда y¢¢ = |
dP |
× |
dy |
= P |
dP |
= P × P¢ . Теперь данное уравнение |
|
|
|
||||
|
dy dx |
|
dy |
сведется к уравнению первого порядка
F (y, P, P′)=0.
Общим решением этого дифференциального уравнения I порядка будет функция P( y) = ϕ( y, C1 ) . Заменяя функцию P( y) на y′, получаем y′ =ϕ(y,C1 ). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, интегрируя которое, получаем общий интеграл данного уравнения:
∫ϕ( ydy,C1 ) = x + C2 .
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
y¢¢y3 +1 = 0 при начальных условиях: y(0) =1, y′(0) = 0 . Решение. Это уравнение не содержит явно аргумента х. Сделаем замену
y′ = P( y) . Тогда y¢¢ = dP × P . Данное уравнение преобразуется в уравнение dy
первого порядка |
с разделяющимися переменными |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
P |
dP |
× y 3 = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
P2 |
|
1 |
|
|
|||||
Разделяя переменные и интегрируя, получим: |
|
= |
|
+ С , |
|||||||||||||
2 |
|
2 y2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Так как P = y′, то |
dy |
= ± |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
откуда P = ± |
1 |
+ 2С . |
+ 2С . |
||||||||||||||
|
|
y2 |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
y 2 |
1 |
|
|
|
|
dx |
1 |
|
Прежде чем интегрировать это уравнение целесообразно найти значение
постоянной С1: 0 = ± 1+ 2С1 , откуда С1 = − 1 . Подставляя это значение С1 в
2
последнее уравнение, разделяя в нем переменные и интегрируя, получим
∫1ydy− y2 = ±x + С2 .
30
Далее − |
1 − y 2 = ± x + С2 . Находим значение С2 при x = 0 , y = 1, С2 = 0 . |
||||||||
Получаем искомый частный интеграл |
|
|
|
|
|
||||
|
− |
|
|
= ± x |
или x2 + y2 =1. |
||||
|
|
1 − y 2 |
|||||||
Частным |
решением, |
удовлетворяющим |
заданным начальным условиям |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) =1 и |
′ |
|
|
|
y = + |
1 − x |
2 |
. |
|
y (0) = 0 будет функция |
|
Задание №6
Решить задачу Коши:
6.01 |
y |
′′′ |
= sin x , |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y(0) = y (0) = y (0) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6.02 |
y ′′′ |
= |
1 |
, |
|
|
|
|
y(1) = |
3 |
|
; |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
4 |
|
y (1) = y (1) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.03 |
y |
′′′ |
= cos x , |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y(0) = y (0) = 0; |
y (0) = 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6.04 |
y |
′′′ |
= sin |
2 |
x , |
y(0) = 0; |
|
′ |
= |
1 |
; |
|
|
′′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
(0) |
8 |
|
y |
(0) = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
6.05 |
y |
= ln x , |
y(1) = − |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
= 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
y (1) = |
|
|
y (1) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
′′′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
||
6.06 |
|
= x2 |
|
, |
|
y(1) = 0; |
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
y (1) |
|
|
|
y (1) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||
6.07 |
y |
′′′ |
= cos |
2 |
x , |
y(0) = 0; |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
′′ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
y (0) = |
8 |
|
y (0) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.08 |
y |
′′′ |
= x sin x , |
y(0) = 2; |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y (0) = y (0) = 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6.09 |
y |
′′′ |
= x cos x , |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y(0) = y (0) = 0 |
|
|
y (0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6.10 |
y |
′′′ |
= sin |
2 |
2x , |
y(0) = 0; |
y |
′ |
= |
1 |
; |
|
′′ |
= 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(0) |
32 |
y (0) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6.11 |
y |
′′′ |
= e |
2x |
|
, |
|
y(0) = |
1 |
; |
|
|
′ |
= |
1 |
; |
|
|
′′ |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
y |
(0) |
4 |
|
y |
(0) = |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
′′′ |
= cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
′′ |
|
|
|
|
|||||||
6.12 |
y |
|
|
2x , |
y(0) = 0; |
y |
= − |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(0) |
32 |
y (0) = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
′′′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
1 |
|
|
|||||
6.13 |
y |
|
= x3 |
|
, |
|
y(1) = 0; y (1) = |
2 |
|
; y (1) = − |
2 |
|
|
31
6.14y′′′ = sin2 3x ,
6.15y′′′ = xe2x ,
6.16y′′′ = cos2 3x ,
6.17 y′′′ = |
1 |
, |
|
x4 |
|||
|
|
6.18y′′′ = sin2 4x ,
6.19y′′′ = e−4 x ,
6.20y′′ = tg2 x ,
6.21y′′ = ctg2 x ,
6.22y′′′ = cos2 4x ,
6.23y′′′ = sin 2 x ,
2
6.24 y′′′ = cos2 x ,
2
6.25y′′′ = e−2 x ,
6.26y′′′ = sin 2 x ,
3
6.27 y′′′ = cos2 x ,
3
6.28y′′′ = e−3x ,
6.29y′′′ = sin 2 x ,
4
6.30 y′′′ = cos2 x ,
4
y(0) = 0; y′(0) = 1 ; y′′(0) = 0 72
y(0) = − 3 ; y′(0) = − 1 ; y′′(0) = − 1
16 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|||||
y(0) = 0; y′(0) = − |
1 |
|
; y′′(0) = 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|||||
y(1) = − |
1 |
; y′(1) = |
1 |
; y′′(1) = − |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6 |
|
|
6 |
|
3 |
|
|
|||||||||
y(0) = 0; y′(0) = |
|
1 |
|
|
; y′′(0) = 0 |
|
|
|||||||||
128 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y(0) = − |
1 |
; y′(0) = |
|
1 |
; y′′(0) = − |
1 |
||||||||||
|
16 |
|
||||||||||||||
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
y(0) = y′(0) = 0
y(π ) = y′(π ) = 0 2 2
y(0) = 0; y′(0) = − |
1 |
|
; y′′(0) = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y(0) = 0; y′(0) = |
1 |
; y′′(0) = 0 |
||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = 0; y′(0) = − |
1 |
|
; y′′(0) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(0) = − |
1 |
; y′(0) = |
1 |
; y′′(0) = − |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
y(0) = 0; |
y′(0) = |
9 |
; |
|
y′′(0) = 0 |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y(0) = 0; y′(0) = − |
9 |
; |
|
y′′(0) = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(0) = − |
1 |
; y′(0) = |
1 |
; |
y′′(0) = − |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
9 |
|
||||||||||||||||||||||
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
y(0) = 0; |
y′(0) = 2; |
y′′(0) = 0 |
||||||||||||||||||||||
y(0) = 0; y′(0) = −2; |
y′′(0) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание №7
Решить задачу Коши:
7.01 |
xy′′ + xy′ = y′ , |
y(1) = 0; |
|
y′(1) = 1 |
|
|
|||||||
7.02 |
x2 y′′ = (y′)2 , |
y(1) = 2; |
y′(1) = 2 |
|
|||||||||
7.03 |
x3 y′′ + x2 y′ = 1, |
y(1) = y′(1) = 0 |
|
|
|||||||||
7.04 |
y′′ + y′ tg x = sin 2x |
y(0) = 1; |
y′(0) = 0 |
|
|||||||||
7.05 |
xy′′ − y′ = x2ex , |
y(1) = y′(1) = 0 |
|
|
|||||||||
7.06 |
y′′ + 2x(y′)2 = 0 , |
y(0) = 2; |
y′(0) = 9 |
|
|||||||||
7.07 |
y′′x ln x = y′ , |
y(e) = 2; |
y′(e) = 4 |
|
|||||||||
7.08 |
y′′ − y′ctg x = sin 2x , |
π |
|
= |
π |
; |
π |
|
= 0 |
||||
y |
|
2 |
y′ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
7.09 |
y′′(ex + 1)+ y′ = 0 , |
y(0) = 3; |
y′(0) = 2 |
|
|||||||||
7.10 |
y′′ + y′ = xy′′ , |
y(0) = 2; |
y′(0) = −1 |
||||||||||
7.11 |
xy′′ − 2 y′ = − |
2 |
, |
|
y(1) = 0; |
y′(1) = 0 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.12 |
xy′′ = y′ + x sin |
y′ |
, |
y(1) = π − 1; |
y′(1) = π |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
||
7.13 |
x2 y′′ + xy′ =1, |
y(1) = 0; |
|
y′(1) = 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
7.14 |
(1 − x2 )y′′ + xy′ = 2 , |
y(0) = 0; |
|
y′(0) = 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7.15 |
xy′′ − y′ = x , |
|
|
|
y(1) = 0; |
|
y′(1) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7.16 |
xy′′ − y′ = x3 , |
|
|
|
y(1) = 0; |
y′(1) = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.17 |
(x − 3)y′′ + y′ = 0 , |
y(4) = 0; |
|
y′(4) = 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7.18 |
(1 + x2 )y′′ + xy′ = 0 , |
y(0) = y′(0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
y′ |
|
|
|
2 x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.19 |
y′′ − |
|
|
|
= xe |
|
|
, |
|
y |
|
|
= y′ |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.20 |
x4 y′′ + x3 y′ = 4 , |
|
y(1) = 1; y′(1) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
|||||
7.21 |
tg xy′′ − y′ + |
|
|
|
= 0 , |
y |
|
|
= 0; |
|
y′ |
|
|
= |
|
|
||||||||||||
sin x |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
7.22 |
(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = x3 , |
y(0) = y′(0) = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7.23 |
(1 + x2 )y′′ + 2xy′ = 12x3 , |
y(0) = 0; |
|
y′(0) = 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7.24 |
y′′ + |
|
|
2x |
y′ |
= 2x , |
y(0) = 0; |
y′(0) = |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.25 |
xy′′ + |
y′ = |
|
|
|
, |
|
y(1) = 4; |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
y (1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.26 |
(x + 1)y′′ + y′ = x + 1, |
y(0) = 0; |
y′(0) = |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
||||||||
7.27 |
y′′tg 5x = 5y′, |
|
|
|
y |
|
|
= 0; |
|
|
y′ |
|
|
|
=1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
10 |
|
|
|
|
||||||||
7.28 |
(1 + sin x)y′′ = y′cos x , |
y(0) = 0; |
|
y′(0) = 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7.29 |
y′′ tg x = y′ + 1, |
|
|
π |
= 0; |
|
|
|
π |
= 0 |
||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
y′ |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.30 tg x × y′′ = 2 y′ , |
π |
|
= |
π |
π |
|
= 1 |
||
y |
2 |
|
4 |
; y′ |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Задание №8
Решить задачу Коши:
8.01 |
y′′ = 128 y3 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 8 |
||
8.02 |
y′′y3 = −64, |
y(0) = 4; |
y′(0) = 2 |
||
8.03 |
y′′ + 8sin y cos3 y = 0 , |
y(0) = 0; |
y′(0) = 2 |
||
8.04 |
yy′′ − (y′)2 = y′y2 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 2 |
||
8.05 |
y(y − 1)y′′ = (y′)2 , |
y(0) = y′(0) = 2 |
|||
8.06 |
(y + 2)(y + 3)y′′ = (y′)2 , |
y(0) = −1; |
y′(0) = 1 |
||
8.07 |
(y − 4)(y − 5)y′′ = (y′)2 , |
y(6) = 6; |
y′(6) = 1 |
||
8.08 |
2(y′)2 = y′′y , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 1 |
||
8.09 |
y′′ = (y′)2 tg y , |
y(0) = π ; |
y′(0) = 1 |
||
|
|
4 |
|
|
|
8.10 |
y′′sin y = (y′)2 , |
y(0) = π ; |
y′(0) = 1 |
||
|
|
3 |
|
|
|
8.11 |
yy′′ + 1 = (y′)2 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = |
|
|
10 |
|||||
8.12 |
(1 + y)y′′ = (y′)2 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 2 |
||
|
|
35 |
|
|
|
8.13 |
y3 y′′ + 9 = 0 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 3 |
||
8.14 |
y′′ + 2 y(y′)3 = 0 , |
y(0) = 0; |
y′(0) = −3 |
||
8.15 |
y′′ tg y = 2(y′)2 , |
y(0) = π ; |
y′(0) = 1 |
||
|
|
2 |
|
|
|
8.16 |
(y′)2 + 2yy′′ = 0 , |
y(0) = y′(0) = 1 |
|||
8.17 |
y2 y′′ = (y′)3 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 2 |
||
8.18 |
2(y′)2 = ( y − 1) y′′ , |
y(0) = 2; |
y′(0) = 1 |
||
8.19 |
yy′′ + (y′)2 = 0 , |
y(0) = y′(0) = 1 |
|||
8.20 |
y′′sin y = 2(y′)2 , |
y(0) = π ; |
y′(0) = 1 |
||
|
|
2 |
|
|
|
8.21 |
y3 y′′ = y4 − 16 , |
y(0) = 2 |
|
|
|
2; y′(0) = 2 |
|||||
8.22 |
yy′′ − (y′)2 = y 2 ln y , |
y(0) = y′(0) = 1 |
|||
8.23 |
y′′ + 50sin y cos3 y = 0 , |
y(0) = 0; |
y′(0) = 5 |
||
8.24 |
y′′ + y = b , |
y(0) = 26; |
y′(0) = 0 |
||
8.25 |
y′′ctg y = 2(y′)2 , |
y(0) = 0; |
y′(0) = 1 |
||
8.26 |
yy′′ + y = (y′)2 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 2 |
||
8.27 |
y′′ = 72 y3 , |
y(2) = 1; |
y′(2) = 6 |
||
8.28 |
2 yy′′ = y 2 + (y′)2 , |
y(0) = 1; |
y′(0) = 0 |
||
8.29 |
y′′ = 50sin3 y cos y , |
y(1) = π ; |
y′(1) = 5 |
||
|
|
2 |
|
|
|
36
8.30 y4 − y3 y′′ =1, |
y(0) = |
|
|
2 |
|
2; y′(0) = |
|||||
2 |
|||||
|
|
|
|
Литература
1. Важдаев, В.П. 64 лекции по математике.Книга 2/ В.П .Важдаев, М.М .
Коган , М.И. Лиогонький , Л.А. Протасова– Н. Новгород,: ННГАСУ, 2012г.-284с.
2.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я Кожевникова. — М.: Высшая школа, 1980. —365 c.
3.Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического
анализа/Г.Н.Берман - М.: Наука, 2004г. - 416 с.
4.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2/Н.С. Пискунов. — М.: Наука, 1970. — 310 c.
37
Оглавление |
|
§1. Основные понятия............................................................................................... |
3 |
§2. Задачи на составление дифференциальных уравнений .................................. |
4 |
Задание №1 .................................................................................................................. |
8 |
§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Типы уравнений и |
|
методы их решений................................................................................................... |
10 |
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными............................................. |
10 |
Задание №2 ................................................................................................................ |
12 |
3.2. Однородные дифференциальные уравнения .............................................. |
14 |
Задание №3 ................................................................................................................ |
17 |
3.3. Линейные уравнения первого порядка........................................................ |
19 |
Задание №4 ................................................................................................................ |
21 |
3.4. Уравнение Бернулли...................................................................................... |
23 |
Задание №5 ................................................................................................................ |
25 |
§4. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие |
|
понижение порядка................................................................................................... |
27 |
Задание №6 ................................................................................................................ |
31 |
Задание №7 ................................................................................................................ |
33 |
Задание №8 ................................................................................................................ |
35 |
Литература ................................................................................................................. |
37 |
38
Опалева Галина Павловна Сенниковская Людмила Семеновна
Дифференциальные уравнения первого и высших порядков
часть VI
Учебно-методическое пособие по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине
«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01_Строительство, профиль Строительство инженерных,
гидротехнических и природоохранных сооружений
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru
39