3928

§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Типы уравнений и методы их решений.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

F (x, y, y ′) = 0 .

Если y′ можно явно выразить через оставшиеся переменные, то уравнение записывается в форме Коши

y′ = f (x, y) .

Для уравнения I порядка общим решением будет функция

y =ϕ(x,C),

где С – произвольная постоянная.

Частным решением дифференциального уравнения I порядка называется любая функция y = ϕ(x,C0 ) , полученная из общего решения y =ϕ(x,C) при конкретном значении С = С0 . Это конкретное значение

С = С0 получается после подстановки в общее решение начальных условий, а

именно: при x = x0 функция у должна быть равна заданному значению y0 .

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Если в дифференциальном уравнении

dy = f (x, y) dx

правая часть может быть представлена в виде произведения функций

f (x, y) = f (x) × f ( y) ,

то такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными.

Проделаем операцию разделения переменных, записывая y¢ = dy .

Справа и слева от знака равенства стоят дифференциалы некоторых функций, которые отличаются только постоянным слагаемым.

Интегрируя обе части

Сюда следует добавить также решение y = 0, которое мы потеряли при делении уравнения на y 2 . Такое решение называется особым, оно удовлетворяет дифференциальному уравнению, но не может быть получено из общего решения.

Аналогично строится общее решение и для уравнения, записанного в

дифференциальной форме

P1 (x)Q1 ( y)dx + P2 (x)Q2 ( y)dy = 0 .

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения xdx + ydy = 0 при начальных условиях y(0) = 2 .

Решение. Это уравнение в дифференциальной форме. Перенесем первое слагаемое в правую часть: ydy = -xdx. Получим уравнение с разделёнными

3.2. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение y′ = f (x, y) называется однородным,

если его правая часть f (x, y) есть однородная функция, удовлетворяющая

условию f (tx,ty) = f (x, y) для любых t, т.е. при умножении ее аргументов на одно и то же число значение функции не изменяется.

Однородное уравнение преобразуется к уравнению с

разделяющимися переменными при помощи подстановки y = u или, что то x

же самое, y = u × x , где u = u(x) - новая неизвестная функция.

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

(x2 - y2 )dx + 2xydy = 0 при начальных условиях y(1) = 1.

Решение. Представим уравнение в форме Коши, выразив y′

y¢ = y 2 - x 2 . 2xy

Получим уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x :

u ′ x + u = u 2 − 1 ,

2u

xu ′ = u 2 − 1 − u ,

2u

14

x du = − u 2 + 1 , dx 2u

Интегрируя последнее равенство, получим общее решение преобразованного уравнения:

уравнения.

Решим задачу Коши. Подставим начальные условия в общее решение: 1 = С −1, отсюда С = 2, и частный интеграл будет иметь вид

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

Решение. Разрешим данное уравнение относительно производной

u′x + u = u(1 + lnu),

u′x = u ln u .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

du x = u lnu , dx

15

Возвращаясь к исходной переменной, получим

Найдём частное решение при данных начальных условиях:

2

Таким образом

-1 x

y = xe 2 - частное решение.

дифференциальной форме:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ,

где функции P(x, y) и Q(x, y) - однородные функции одинакового измерения,

т.е.

P(tx, ty) = t k P(x, y) ;

Q(tx,ty) = t k P(x, y) .

16

3.3. Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение I порядка называется линейным, если

виде произведения двух функций u(x) и v(x), т.е. с помощью подстановки y = u(x) ×v(x).

Уравнение вида

x′ + P(y)× x = Q(y)

также является линейным относительно функции x( y) и ее производной

Подберём функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим дифференциальное уравнение

dx

Общее решение данного уравнения есть

19