3709

§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Типы уравнений и методы их решений.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

F (x, y, y′) = 0 .

Если y′ можно явно выразить через оставшиеся переменные, то уравнение записывается в форме Коши

y′ = f (x, y) .

Для уравнения I порядка общим решением будет функция y = ϕ(x,C) ,

где С – произвольная постоянная.

Частным решением дифференциального уравнения I порядка

получается после подстановки в общее решение начальных условий, а именно: при x = x0 функция у должна быть равна заданному значению y0 .

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Если в дифференциальном уравнении

dy = f (x, y) dx

правая часть может быть представлена в виде произведения функций

f (x, y) = f (x) × f ( y) ,

то такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными.

Проделаем операцию разделения переменных, записывая y¢ = dy .

Справа и слева от знака равенства стоят дифференциалы некоторых функций, которые отличаются только постоянным слагаемым.

Интегрируя обе части

удовлетворяет дифференциальному уравнению, но не может быть получено из общего решения.

Аналогично строится общее решение и для уравнения, записанного в

дифференциальной форме

P1 (x)Q1 ( y)dx + P2 (x)Q2 ( y)dy = 0 .

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения xdx + ydy = 0 при начальных условиях y(0) = 2 .

Решение. Это уравнение в дифференциальной форме. Перенесем первое слагаемое в правую часть: ydy = -xdx . Получим уравнение с разделёнными

3.2. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение y′ = f (x, y) называется однородным, если

его правая часть f (x, y) есть однородная функция, удовлетворяющая условию f (tx,ty) = f (x, y) для любых t, т.е. при умножении ее аргументов на одно и то же число значение функции не изменяется.

Однородное уравнение преобразуется к уравнению с разделяющимися

переменными при помощи подстановки y = u или, что то же самое, y = u × x , x

где u = u(x) - новая неизвестная функция.

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

(x2 − y 2 )dx + 2xydy = 0 при начальных условиях y(1) = 1.

Решение. Представим уравнение в форме Коши, выразив y′

подставим в уравнение функцию y = u × x и ее производную y′ = u′ × x + u .

Получим уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x :

u¢ x + u = u 2 -1 , 2u

xu¢ = u 2 -1 - u , 2u

14

уравнения.

Решим задачу Коши. Подставим начальные условия в общее решение: 1 = С − 1, отсюда С = 2 , и частный интеграл будет иметь вид

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

Решение. Разрешим данное уравнение относительно производной

u′x = u ln u .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

du x = u ln u , dx

15

Возвращаясь к исходной переменной, получим

Найдём частное решение при данных начальных условиях:

2

Таким образом

-1 x

y = xe 2 - частное решение.

Замечание. Однородное уравнение часто задаётся в дифференциальной форме:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ,

где функции P(x, y) и Q(x, y) - однородные функции одинакового измерения, т.е.

P(tx, ty) = t k P(x, y) ;

Q(tx,ty) = t k P(x, y) .

16

3.3. Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение I порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y(x) и ее производной y′ . Его можно

записать в виде

y′ + P(x)× y = Q(x),

где P(x) и Q(y) - заданные функции. Решение этого уравнения ищется в виде произведения двух функций u(x) и v(x), т.е. с помощью подстановки

y = u(x) × v(x) .

Уравнение вида

x′ + P(y)× x = Q(y)

также является линейным относительно функции x( y) и ее производной x′ .

Его решение будем искать в виде x = u( y) × v( y) .

Подберём функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим дифференциальное уравнение

v′ + 2xv = 0 .

Это уравнение с разделяющимися переменными относительно v и x :

Общее решение данного уравнения есть