3511

Рис. 24.

Возьмем произвольную точку M на окружности. Треугольник OMN прямоугольный. Получаем уравнение окружности в виде ρ = 2R cosϕ .

4.Покажем, что уравнение ρ = 2a sinϕ и полярных координатах

определяет окружность радиуса a . Подставим выражения для ϕ и ρ через

декартовым координатам здесь довольно громоздкий и приводит к алгебраическому уравнению высокой степени. Поэтому посмотрим эту кривую, исходя из качественных соображений.

свойствам функции ρ = a sin 3ϕ , см. рис. 22, видно, что полярный радиус

При π £ ϕ £ 2π правая часть уравнения ρ = a sin 3ϕ отрицательна, для этих

3 3

значений ρ точек кривой нет. Для остальных значений кривая получается

31

при повороте на угол 2π n (n = 1,2) части кривой, расположенной между

3

лучами ϕ = 0 и ϕ = 2 π , рис. 24.

− a

Рис. 25.

Задание 3.

Построить кривые в полярной системе координат.

3.01. ρ = 4sin 2ϕ 3.02. ρ = 2(1 + sinϕ ) 3.03. ρ = 3cos3ϕ 3.04. ρ = 2sin 2 2ϕ 3.05. ρ = 3cos2 2ϕ 3.06. ρ = 4cos 2ϕ 3.07. ρ = 3(1 − cosϕ )

3.08. ρ = 2(cosϕ + sinϕ ) 3.09. ρ = 6(sinϕ − cosϕ )

3.10. ρ = 4cos2 ϕ

3.13. ρ = 3(1 − sinϕ )

32

3.20. ρ = 2 − sin 3ϕ 3.21. ρ = 3 + 2cos 2ϕ 3.22. ρ = 4 − 2sin 3ϕ 3.23. ρ 2 = 4cos 2ϕ 3.24. ρ = 2(1 + 2cosϕ ) 3.25. ρ 2 × sin 2ϕ = 4 3.26. ρ × cosϕ = 2

3.27.ρ = 2 - 2cosϕ

3.28.ρ =1 + cos 2ϕ

3.29.ρ = 2 + cosϕ

3.30.ρ = 3 - sin 2ϕ1

§9. Поверхности второго порядка

1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой, пересекающей заданную линию и параллельной заданному направлению.

Заданная линия называется направляющей, а совокупность параллельных прямых – образующими.

Уравнение F (x, y) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси oz и направляющей – кривой F (x, y) = 0 в плоскости xoy .

Уравнение F (x, z) = 0 задает цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси oy и направляющей – кривой F (x, z) = 0 в плоскости xoz .

2.Поверхности второго порядка, заданные своими каноническими уравнениями.

z

x

35

Рис. 30.

z

y

x

Рис. 31.

Задание 4

Определить виды поверхностей и изобразить их.

4.01.

1.3x2 + 4 y 2 − z 2 = 12

2.z 2 − 2x + 4 = 0

3.x2 + 2x + y 2 = 0

4.02.

1.x2 − 3y 2 + z 2 = −6

2.2 y 2 − 4 y + x + 1 = 0

3.x2 − 2 y 2 + z 2 = 0

4.03.

1.2x2 + 4 y 2 + z = 1

2.2x2 + 4x + 3y 2 = 0

3.z + 4 + y 2 + 2 y = 0

4.04.

1. 2x2 − 4 y 2 + z 2 = 4

36

2.3y 2 + 6 y + z − 1 = 0

3.x2 + y 2 = 2 y

4.05.

1.3x2 + 4z 2 + y = 3

2.x2 + 3y 2 − z 2 = −6

3.2 y 2 + y − z + 4 = 0

4.06.

1.3x2 + 4z − 5 = 0

2.x2 + y 2 + z 2 − x = 0

3.y 2 − x2 + 2z 2 = 0

4.07.

1.x2 + 2x + y 2 + z 2 = 1

2.y 2 + 2 y + z 2 = 1

3.z + 4 − x2 + x = 0

4.08.

1.2 y + 1 + x2 = 2x

2.y 2 − x2 + 2z 2 = −4

3.2x2 + 4 y 2 + 8z 2 = 1

4.09.

1.3x − 1 + y 2 = − y

2.2x2 − 3y 2 = 16

3.z 2 − x2 + 2 y2 − 4 = 0

4.10.

1.2z + 4 + x2 = 2x

2.x2 + 2 y 2 = 1

3.2x2 + 4 y 2 + z 2 = 4

4.11.

1.2z − 3 − x2 + 4x = 0

2.x2 − 2 y 2 = 2x

3.3x2 − y 2 − z 2 = 6

4.12.

1. 2 y + 3 + z 2 − 2z = 0