Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3457

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

366.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

8. Уравнение

y 2

= -1 задает гиперболу, сопряженную к (10). Для

сопряженной гиперболы b

– действительная полуось,

a –

мнимая

полуось. Она расположена в области

³ b .(на рис.

изображена

пунктиром).

«Вырождения» гиперболы:

x 2

y 2

y x

= 0 ,

= 0 отсюда

= 0

a 2

b 2

b a

a b

или y =

x и

y = -

x –

пара пересекающихся прямых.

Пример. Точка M (6,-2

) лежит на гиперболе, уравнения асимптот

которой y = ±

x . Составить уравнение гиперболы и построить ее.

Решение. Каноническое уравнение гиперболы

y 2

=1, т.к.

асимптоты y = ±

x , то

, b =

a . Подставим последнее в уравнение

y 2

× 9 =1, далее т. M (6,-2

) лежит на

гиперболы:

4a2

8 × 9

=1,

144 - 72

=1, 72 = 4a2 , a2 =18 ,

a = 3

;

a 2

4a 2

b =

× 3

= 2

. Итак, искомое уравнение

y 2

=1.

- 3 2

3 2

- 22

гиперболе, т.е.

тогда

Рис. 7.

§ 5.Парабола. Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F , называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (не содержащей т. F ).

Пусть p – расстояние от F до директрисы. По определению пара-

болы

(11)

где точка M –

произвольная точка параболы, N –

ее проекция на дирек-

трису. Выберем систему координат так, чтобы т. F

была фокусом, а

x = − p – директрисой. 2

M(x,y)

−	p	0	F	p	,0	x


2			2

Рис. 8.

Запишем соотношение (11) в координатах:

	p	2	2			p 2
x −		+ y		=	x +

	2					2

это и есть уравнение параболы. После упрощения получим: y 2 = 2 px

Уравнение (13) называется каноническим уравнением параболы. Основные характеристики параболы:

(12)

(13)

1.Парабола (13) симметрична относительно оси ox .

2.Точка O(0,0) – вершина параболы (13).

3.Фокальный радиус точки M(x,y) параболы: FM = x + p .

Уравнение вида y2 = −2 px (14) определяет параболу, для которой x ≤ 0 , т.е. график этой параболы:

M(x,y)

	−	p		0	p	x
F			,0		2
		2

Рис. 9.
Уравнения вида	x2	= 2 py	(15)
	x2	= −2 py	(16)

задают параболы симметричные относительно оси oy :

F 0,

F 0,−

− p N

Рис. 11.

Рис. 10.

			«Вырождения» параболы:
1.	x2	= −k 2 ,	y 2 = −k 2 . Эти уравнения не определяют никакого точечно-
	го множества при k ¹ 0 .
2.	x2	= k 2 ,	y2 = k 2 , эти уравнения определяют пару параллельных пря-

мых: x = ±k и y = ±k . При k = 0 эти прямые совпадают.

Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.

Решение. Уравнение параболы, симметричной относительно оси oy : x2 = 2 py либо x2 = -2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения:

62 ¹ 2 p × (- 2), т.к. p > 0 .	62 = -2 p × (- 2)
	36 = 4 p
	p = 9

Уравнение параболы x2 = -18y , ветви вниз и F (0;−4,5)

-2

F(0;-4,5)

Рис. 12.

§ 6. Применение преобразования координат к приведению уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Значения коэффициентов A, B,C общего уравнения (1) кривой II-го порядка Ax2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 определяют, к какому типу относится кривая (эллиптическому, гиперболическому или параболическому). Так, например, если A = C и B = 0 , то кривая – окружность или ее «вырождения». В общем случае, если:

A B

1.= AC - B2 > 0 , то кривая эллиптического вида.

B C

2.A B = AC - B2 < 0 , то кривая гиперболического вида.

B C

3.A B = AC - B2 = 0 , то кривая параболического вида.

B C

С помощью преобразований параллельного переноса и поворота координатных осей общее уравнение кривой II-го порядка можно привести к каноническому виду.

Рассматриваются следующие преобразования координат: 1) параллельный перенос координатных осей:

y y′

		o′(a,b)	x′
o			x
Рис. 13.
M (x, y) –	точка с координатами в старой системе координат oxy ,
M (x′, y′) – точка с координатами в новой системе координат o′x′y′,
O′(a,b) –	начало координат новой системы с координатами в старой
системе.
x = x′ + a		формулы параллельного переноса координатных осей,
	–	формулы параллельного переноса координатных осей,
y = y′ + b
выражающие старые координаты через новые.
x′ = x − a		обратные формулы.
	–	обратные формулы.
y′ = y − b
2) Поворот координатных осей на угол α :
		y
y′		M	x′

0	x

Рис. 14.

M (x, y) – точка с координатами в старой системе координат oxy , M (x′, y′) – точка с координатами в новой системе координат o′x′y′.

x = x′ × cosα - y′ × sinαy = x¢ × sinα + y¢ × cosα

при повороте осей на угол α .

x′ = x × cosα + y × sinαy¢ = -x × sinα + y × cosα

–формулы преобразования координат т. M

–обратные формулы.

Пример 1. С помощью параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду уравнение кривой x2 + 2 y 2 − 4x + 8 y − 10 = 0 и построить ее.

Решение. AC − B2 = 2 > 0 – кривая эллиптического типа. Преобразу-

ем данное уравнение – сгруппируем полные квадраты x2 − 4x + 4 − 4 + 2(y 2 + 4 y + 4 − 4)− 10 = 0

(x - 2)2 + 2(y + 2)2 = 22

(x − 2)2

+ (y + 2)2

= 1.

Положим x − 2 = x′

эта система задает формулы параллельного пе-

y + 2 = y′

т. O1 (2,−2).

реноса

осей

координат

Получим уравнение эллипса:

x12

y12

= 11,

a =

, b =

с полуосями

11 и центром симметрии в

т. O1 (2,−2).

y′

-a

x′

-b

Рис. 15.

Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей удается в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в первой степени.

Пример 2. Преобразовать уравнение xy = m (m > 0) к простейшему

виду.

Решение: AC − B2 = −1 < 0 – кривая гиперболического типа. Повернем заданную систему координат на угол α .

Подставим в заданное уравнение формулы

x = x′× cosα - y′

× sinα

y = x¢ × sinα + y¢ × cosα

(x′cosα − y′sinα)(x′sinα + y′cosα)= m

x′2 cosα sinα − y′2 sinα cosα + x′y′(cos2 α − sin 2 α)= m

cos2 α − sin 2 α = 0 ,

cos 2α = 0 ,

2α = π ,

α = π .

Итак, при α = π

мы избавились в уравнении от слагаемого, содер-

жащего произведение x′× y′ и получили уравнение вида

x¢2 ×

- y¢2

= m

или

x′2

y′2

=1 – это уравнение гиперболы с полуосями a = b =

	y′	y
	y′	x′
		x′

- 2m

Рис. 16.

Замечание. С помощью поворота координатных осей удается избавиться от слагаемого, содержащего произведение xy .

Пример. 3. Привести к простейшему виду и построить кривую, за-

данную уравнением:		x2		+ 4x + 3y + 6 = 0 .
Решение. AC − B2					= 0 – кривая параболического типа. Сгруппируем
полный квадрат и преобразуем данное уравнение:
x2 + 4x + 4 − 4 + 3y + 6 = 0
2			2		x + 2		= x¢

(x + 2)	= -3 y	+			.Положим, что	2	= y¢	являются формулами

			3		y +
						3

параллельного переноса в т.O1			- 2,-		2		. Получим уравнение:		x′2 = -3y′ –
параллельного переноса в т.O1			- 2,-				. Получим уравнение:		x′2 = -3y′ –
				3
парабола с вершиной в т. O1		- 2,-		2
						и симметричная относительно оси
						и симметричная относительно оси
				3
oy′.
	y′					y
			-2						x
						O
	O1						−	2	x′
	O1						−
							3
				-2

Рис. 17.

		Пример 4. Построить кривую y =																				x + 3	.
		Пример 4. Построить кривую y =																					.
																					2x +1
		Решение. Перепишем уравнение 2xy - x + y - 3 = 0 , 2x + 1 ¹ 0 .
AC − B2 = −4 < 0 –														кривая гиперболического типа.
		Преобразуем данное уравнение:
								1								1		5
		2 y x +							−					x	+		−		= 0
		2 y x +						2	−					x	+	2	−	2	= 0
								2								2		2
						1								1		5
		x +					y −								=
		x +				2	y −								=	4
						2								2		4
					x +						1		= x′							5
					x +								= x′
Положим									2						. Получим x¢ × y¢ =							.
Положим									2						. Получим x¢ × y¢ =							.
					y −					1		= y′							4
					y −							= y′							4
									2
O¢	-	1	,	1		–		новое начало координат после параллельного переноса.
O¢	-		,			–		новое начало координат после параллельного переноса.
	2			2

Повернем оси координат o′x′ и o′y′ на угол 45o																			(см. пример 2).

		2				2
x′ = x′′			− y′′
x′ = x′′		2	− y′′			2

		2				2
		2				2

y′ = x′′		2		− y′′		2
		2				2
Получим уравнение (x¢¢)2 ×									1		- (y¢¢)2 ×		1	=	5	,
Получим уравнение (x¢¢)2 ×											- (y¢¢)2 ×			=		,
(x′′)2	− (y′′)2					2						2		4
				=1 –								a = b =						.
				=1 –			гипербола, где					a = b =					2,5	.
2,5		2,5
										y′		y
						y′′												x′′

						2,5
						2,5								2,5
														2,5
											O′	12							x′
												O							x′
										− 1		−							x
										− 1				2,5
						2								2,5
					−			2,5

Рис. 18.

Задание 1

1.01. Составить уравнение эллипса, имеющего общие фокусы с ги-

перболой x2 − 2 y 2	= 24 , если эксцентриситет равен			3	.
перболой x2 − 2 y 2	= 24 , если эксцентриситет равен			5	.
1.02. Найти				5
1.02. Найти	расстояние	от	центра							окружности
x2 + y 2 + 6x + 2 y − 5 = 0 до асимптот гиперболы 9x2				−16 y 2				=144 .
1.03. На параболе y 2 = 32x взяты две точки				M		1	и	M	2	, расстояния
						1			2

которых до фокуса этой параболы равны 10. Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок M1 M 2 .

1.04. Вершины эллипса, большая ось которого лежит на оси абсцисс, совпадают с вершинами равносторонней гиперболы. Составить уравнения

обеих кривых, если известно, что точка M (6, 2), лежащая на гиперболе, равноудалена от ближайших к ней фокусов эллипса и гиперболы.

1.05. Ось симметрии параболы параллельна оси ординат, а уравнение директрисы y −10 = 0 . Составить уравнение параболы, если она пересекает ось ox в точках (− 5,0) и (11,0).

1.06. Вершина параболы совпадает с одним из фокусов гиперболы 9x2 −16 y 2 =144 . Составить уравнение параболы, если известно, что ее директриса проходит через точки (− 4,−3) и (− 4,3).

1.07. Директриса параболы пересекает эллипс 9x2 + 20 y 2 = 324 в точках (− 4,3) и (4,3), а расстояние от этих точек до фокуса параболы рав-

но 25 . Составить уравнение параболы.

1.08. Равносторонняя гипербола x2 − y 2 =16 проходит через фокусы эллипса. Составить простейшее уравнение этого эллипса, если отношение

эксцентриситетов гиперболы и эллипса равно				3 .
1.09. Найти	длину	стороны	квадрата,		вписанного	в эллипс
9x2 +16 y 2 = 576 .
1.10. Найти	угол,	под	которым	из фокуса		параболы
x2 − 4x + 8 y − 20 = 0 видна большая ось эллипса x2					+ 2 y 2 =16 .

1.11.Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 16 , а фокусы отстоят от вершин на 0, 2 от ее длины.

1.12.Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение осей

которого равно 299 . Определить эксцентриситет земного меридиана.

		300
1.13. Написать уравнение окружности, проходящей через точки
(−1, 2) и (3,0), зная, что ее центр лежит на прямой x − y + 2 = 0 .
1.14. Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эл-
липсом x2	+ y 2	=1, если ее эксцентриситет равен 1, 25.

4924

1.15.На эллипсе x2 + y 2 =1 найти точку, отстоящую на расстояние

30 24

пяти единиц от его малой оси.

1.16.Прямые x = 8, x = −8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8 . Найти уравнение этого эллипса.

1.17.Эллипс проходит через точки M (3,−2) и N (− 23,1). Соста-

вить уравнение эллипса, приняв его оси за оси координат.

1.18. Составить уравнение гиперболы,	проходящей через точку
A(9,−8), если асимптоты ее заданы уравнениями			x ± 3y = 0 .
		2

1.19. Написать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4x − 3y − 4 = 0 с осью ox .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023365.96 Кб03452.pdf
#
21.11.2023365.98 Кб03453.pdf
#
21.11.2023366.12 Кб03454.pdf
#
21.11.2023366.17 Кб03455.pdf
#
21.11.2023366.19 Кб13456.pdf
#
21.11.2023366.24 Кб03457.pdf
#
21.11.2023366.42 Кб03458.pdf
#
21.11.2023366.46 Кб03459.pdf
#
21.11.2023111.24 Кб0346.pdf
#
21.11.2023366.52 Кб13460.pdf
#
21.11.2023366.52 Кб13461.pdf