Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1330

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

194.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Таким образом, подставляя найденные коэффициенты в функции формы, получаем:

N1 =1− 0,2 x − 0,15 y

N2 = 0,2 x − 0,1 y

N3 = 0,25 y

Во внутренней точке K :

N1K (xK , yK ) = 0,175

N2K (xK , yK ) = 0,45

N3K (xK , yK ) = 0,375

TK = 0,17550 + 0,4520 + 0,37535 = 30,8750С .

Изобразим графики функции формы:

Задание для самостоятельной работы:

Задан треугольный КЭ на плоскости. Известны координаты узлов и значения напряжений в них:

т.1 (0,0) Ф(1)=240 МПа

т.2 (6,0) Ф(2)=130 Мпа

т.3 (3,3) Ф(3)=170 Мпа.

а) Найти значение напряжения двумя способами в т-ке К(5,1). б) Изобразить график распределения функций формы.

Задача 3.

Для четырехугольного плоского изопарараметрического КЭ известны значения

функции напряжений в его узлах. Заданы координаты узлов двумерного конечного элемента

В глобальной системе координат:

K1 = (0,0),

K2 = (6,2) ,

K3 = (8,6) ,

K4 = (2,4) .

Напряжения в узлах конечного элемента:

Φ1 = 20МПа

Φ2 = 40МПа

Φ3 = 60МПа

Φ4 = 80МПа

Проинтегрировать функцию в объеме конечного элемента.

Координатные функции имеют вид:

x(ξ,η) = ∑Ni xi = N1x1 + N2 x2 + N3x3 + N4 x4

i=1

y(ξ,η) = ∑Ni yi = N1 y1 + N2 y2 + N3 y3 + N4 y4

i=1

Так как используется изопараметрический конечный элемент [], то вид координатных функций и функций формы один и тот же.

Для локального конечного элемента [] функции формы имеют вид:

N1 = 1 (1−ξ )(1−η)

N2 = 1 (1+ξ )(1−η )

N3 = 1 (1+ξ )(1+η )

N4 = 1 (1−ξ )(1+η )

Подставляя функции формы в выражение для координатных функций, получаем:

x(ξ,η) = 1 (1−ξ )(1−η ) 0 + 1 (1+ ξ )(1−η ) 6 + 4 4

+ 1 (1+ξ )(1+η ) 8+ 1 (1−ξ )(1+η ) 2 4 4

y(ξ,η) = 1 (1−ξ )(1−η ) 0 + 1 (1+ ξ )(1−η ) 2+ 4 4

+ 1 (1+ξ )(1+η ) 6 + 1 (1−ξ )(1+η ) 4 4 4

Находим производные от координатных функций:

∂x

∂N1

0 +

∂N2

6 +

∂N3

∂N4

∂ξ

∂x

∂N1

0 +

∂N2

6 +

∂N3

∂N4

∂η

∂y

∂N1

∂N2

∂N3

∂N4

∂ξ

∂y

∂N1

0 +

∂N2

2 +

∂N3

∂N4

∂η

Проинтегрируем, используя метод Гаусса []. Для этого сначала необходимо найти определитель матрицы Якоби.

Для заданного конечного элемента матрица Якоби имеет вид:

∂x

	[J]=	∂ξ
		∂y

		∂ξ
		∂ξ

∂x

∂η		3
		=
∂y		1


∂η

Найдем ее определитель[]:

det[J] = 3 2 −1 1= 5

Тогда

∫ΦdV = det[J]

1	1	4	4
∫ ∫		Φ(ξ,η )dξdη = det[J]∑∑αiα jΦ(ξi ,η j )
−1 −1		i=1	j=1

Φ(ξ,η ) - функция напряжений, зависящая от локальных координат.

Весовые коэффициенты для данного случая равны 1 [], то есть: α1 = α2 = α3 = α4 =1.

Известно, что точки Гаусса имеют координаты []:

1)	ξ = −				1				,η = −						1
1)	ξ = −								,η = −
	1						3				1		3
2)	ξ		=	1				,η			= −			1
		2								2	= −
				3
													3
													3
3)	ξ		=	1				,η			=		1
		3								3
				3									3


4)	ξ		= −			1			,η				=	1
		4	= −									4	=
													3
							3
							3

Функция напряжений, выраженная через локальные координаты, будет иметь вид:

Φ = 1 (1−ξ )(1−η ) 20 + 1 (1+ξ )(1−η) 40 +

		4		4
+	1	(1+ξ )(1+η ) 60 +	1	(1−ξ )(1+η )80

4		4

Тогда интеграл от заданной функции напряжений в заданном конечном элементе

находятся как:

∫ΦdV = 5	1		+	1			+	1		20	+	1		−	1			+	1		40	+
		1				1							1				1


V	4				3				3			4				3				3

	1					1								1								1				1							1
+			1	−						1−								60 +					1		+					1		−					80+


		4						3							3							4						3							3
	1					1								1								1				1							1
+			1−							1+								20 +						1	+					1		+					40+


		4						3							3							4						3							3
	1					1								1								1				1							1
+			1	+						1−								60+						1−						1−							80 +... =


		4						3							3							4						3							3
5									1								1				1					1							1
		20 1+										1+								+			1−						1−							+


4											3								3		4						3							3
				1								1									1						1
+	1−						1+									+		1+						1−							+ 40 4					+ 60 4+80 4... =1000

																					3						3
					3								3								3						3

Задание для самостоятельной работы:

Температура задана в узлах произвольного четырехугольного КЭ с координатами (0,2),(6,8),

(8,6),(0,9):

Т1=200С,Т2=500С,Т3=800С, Т4=100С .

Найти значения интеграла функции в объеме КЭ.

Лихачева Светлана Юрьевна Кожанов Дмитрий Александрович

Подписано к печати	. Формат 60х90 1/16 Бумага газетная. Печать трафаретная
Уч. изд. л	. Усл. печ. л.	Тираж 300 экз. Заказ №

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.

Полиграфический центр ННГАСУ, 603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023194.06 Кб01326.pdf
#
21.11.2023194.09 Кб11327.pdf
#
21.11.2023194.23 Кб01328.pdf
#
21.11.2023194.23 Кб01329.pdf
#
21.11.202394.14 Кб0133.pdf
#
21.11.2023194.28 Кб01330.pdf
#
21.11.2023194.32 Кб01331.pdf
#
21.11.2023194.58 Кб01332.pdf
#
21.11.2023194.67 Кб01333.pdf
#
21.11.2023194.74 Кб11334.pdf
#
21.11.2023194.77 Кб01335.pdf