Статистика

Соответственно при исследовании признака при использовании повторно-

го отбора:

При использовании бесповторного отбора объем генеральной совокупности при отборе каждой единицы в выборочную будет уменьшаться.

Стандартная ошибка при исследовании признака при использовании повторного отбора рассчитывается по формуле:

где N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки. Стандартная ошибка при исследовании доли при бесповторном отборе:

Пример 6.1

Планируется 25% собственно – случайное выборочное обследование населения района. Определите, на сколько процентов ошибка такой выборки при бесповторном отборе будет меньше ошибки повторной выборки.

Решение. По условию задачи объем выборки связан с объемом генеральной совокупности: n = 0,25∙N.

Согласно формулам (6.4) и (6.6):

n

да следует, что ошибка такой выборки при бесповторном отборе будет меньше ошибки повторной выборки на 13 %.

Расчет стандартной (средней) ошибки необходим для установления возможных значений генеральной средней и генеральной доли:

71

Отношение ошибки конкретной выборки к средней квадратической ошибке называется нормированным отклонением и обозначается:

Вероятность результата можно повысить, если повысить стандартную ошибку выборки в t раз. Кратность ошибки t называют коэффициентом дове-

рия.

Вероятность появления случайной ошибки выборки, при большом n, подчиняется закону нормального распределения, и при заданной вероятности суждения по таблице функции Лапласа, всегда можно найти кратность ошибки

(табл. 6.1).

При приближении вероятности к 1, t увеличивается.

Статистическая ошибка используется для установления предела отклонений характеристик выборки от характеристик генеральной совокупности, при определенном уровне вероятностей:

wв −∆ ≤ w ≤ wв +∆

Пример 6.2

В результате выборочного обследования покупателей супермаркета (соб- ственно-случайная повторная выборка) получено следующее распределение по размеру сделанных покупок:

72

1) Среднее значение стоимости покупок найдем по формуле средней

Величину стандартной ошибки для собственно-случайного повторного отбора найдем по формуле (6.4):

Из таблицы 6.1 определяем коэффициент доверия t при вероятности данного суждения Р(t) = 0,997: t = 3.

Тогда предельная ошибка выборки (6.11): = t ∙ µх = 3∙ 6,05 = 18,14 руб. → Границы среднего размера покупки:

~x −∆ ≤ x ≤ ~x +∆

222-18,14 = 203,86 руб. ≤ x ≤ 240,14 руб.= 222+18,14.

2) Для определения границы удельного веса покупок на сумму до 200 руб. по расчетной таблице найдем численность доли данных покупок:

nд = 17+ 58 = 75. Тогда выборочная доля wв = nnд = 20075 = 0,375. Дисперсия доли: σw2 = wв∙( 1- wв) = 0,375∙( 1- 0,375) =0,234 →

Величину стандартной ошибки собственно-случайного повторного отбора для доли найдем по формуле (6.5):

Предельная ошибка выборки: = t ∙ µw = 3∙0,034 = 0,1 → Границы удельного веса покупок на сумму до 200 руб.:

wв −∆ ≤ w ≤ wв +∆

0,375-0,1 = 0,27 ≤ w ≤ 0,48 = 0,375+0,1 или 27% ≤ w ≤ 48 %

Пример 6.3

Из партии готовой продукции с целью проверки ее соответствия технологическим требованиям произведена 10% собственно-случайная бесповторная выборка, которая дала следующие результаты:

и более с вероятностью 0,997 не должна превышать 8%?

Решение. Для решения задачи необходимо определить границы удельного веса изделий с весом 51 г и более. По данным таблицы найдем численность до-

73

ли данных изделий: nд = 23+12 = 35. Тогда выборочная доля wв = nnд = 50035 =

0,07.

Дисперсия доли: σw2 = wв∙( 1- wв) = 0,07∙( 1- 0,7) = 0,065 → Величину

стандартной ошибки собственно-случайного бесповторного отбора для доли найдем по формуле (6.7):

Из таблицы 6.1 определяем коэффициент доверия t при вероятности данного суждения Р(t) = 0,997: t = 3.

Тогда предельная ошибка выборки: = t ∙ µw = 3∙0,01 = 0,03 → Границы удельного веса изделий с весом 51 г и более:

wв −∆ ≤ w ≤ wв +∆

0,07-0,03 = 0,04 ≤ w ≤ 0,1 = 0,07+0,03 или 4% ≤ w ≤ 10 % → Принять всю партию изделий при заданных условиях нельзя, т.к. доля изделий весом 51 г и более может составлять 10%, что больше 8%.

При определении необходимой численности выборки надо задать уровень точности, величину предельной ошибки и величину дисперсии. Необходимая

При этом t зависит от вероятности, с которой гарантируется результат исследования, предельная ошибка устанавливается нормативами, а σB2 берется

или из результатов предыдущих исследований, или по результатам малой выборки, для которой установлено, что 5 ≤ n ≤ 30.

Если исследуется доля, то:

При неизвестном значении доли ее принимают wв=0,5, при этом

σw2 = max = 0,25.

Вслучае бесповторного отбора порядок определения величины n аналогичен и, соответственно, при исследовании признака:

Пример 6.4

Сколько покупателей супермаркета необходимо охватить в процессе выборочного наблюдения, чтобы с вероятностью 0,997 определить границы сред-

74

него размера покупки с предельной ошибкой 15 руб.? Для получения информации о вариации размера покупок воспользуйтесь данными примера 6.2.

Решение. Из примера 6.2 для решения задачи возьмем значение дисперсии: σ 2в = 7316. По условию задачи: = 15 руб.; Р(t) = 0,997 → t = 3. Тогда

объем выборки: n = t2∆σ2 в2 = 293.

Пример 6.5

Определите, сколько телефонных звонков необходимо обследовать оператору мобильной связи в порядке собственно-случайной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 установить долю разговоров продолжительностью свыше 10 мин. Допустимая величина предельной ошибки 3%.

Решение. По условию задачи: = 3%; Р(t) = 0,954 → t = 2. Т.к. из условия задачи нельзя определить долю разговоров продолжительностью свыше 10

мин., то ее принимают w= 0,5. Тогда объем выборки: n = t 2 wв (1− wв )= 1112.

∆2

Способы отбора единиц из генеральной совокупности:

1)индивидуальный;

2)групповой (группы или серии);

3)комбинированный (осуществляется комбинацией индивидуального

игруппового отбора).

Процедура отбора единиц из генеральной совокупности может быть организована как случайный, механический, типический, серийный и комбинированный отбор.

1. Собственно-случайная выборка.

Предполагают, что генеральная совокупность разделена на единицы отбора, и в случайном порядке отбирается необходимое число единиц в выборочную совокупность. При этом отбор может быть повторным или бесповторным.

2. Механический отбор.

Механический отбор – отбор единиц из общего списка генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора.

Недостатком данного метода является то, что не всегда обеспечивается случайность отбора, и полученная выборка может оказаться смещенной.

Стандартная ошибка определяется по формуле стандартной ошибки для случайного бесповторного отбора. В ряде случаев, когда объем выборки не велик, а генеральная совокупность имеет большой объем, можно использовать формулы для повторного отбора.

3. Типический отбор.

Используется в том случае, когда генеральную совокупность можно разбить на несколько типических групп. Из каждой группы отбор производится собственно-случайным или механическим способом. Отбор единиц может осуществляться пропорционально объему типических групп или пропорционально внутригрупповой дифференциации признака.

75

При расчете статистической ошибки такой выборки в качестве показателя вариации используют показатель средней из внутригрупповой дисперсий.

При исследовании признака стандартная ошибка будет рассчитываться: - при бесповторном отборе:

Пример 6.6

Для выявления затрат времени на обработку деталей рабочими разной квалификации на предприятии произведена 10% бесповторная типическая выборка пропорционально численности выделенных групп. Результаты обследования представлены следующим образом:

Из таблицы 6.1 определяем коэффициент доверия t при вероятности данного суждения Р(t) = 0,954: t = 2.

76

Предельная ошибка выборки: = t ∙ µх = 2∙0,29 = 0,57 мин →

Пределы, в которых находятся средние затраты времени на обработку де-

талей рабочими: 14-0,57= 13,43 мин ≤ ~x ≤ 14,57 мин = 14+0,57. 4. Серийный (гнездовой) отбор.

Организуется в том случае, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии с определенным равным количеством порций (единиц совокупности) в каждой группе.

Серийный отбор заключается в том, что случайным образом отбираются отдельные группы, серии, гнезда. Внутри каждой отобранной группы обследованию подвергаются все единицы.

При оценке стандартной или средней ошибки такой выборки используются следующие формулы:

При бесповторном исследовании признака:

Пример 6.7

С целью прогнозирования урожая пшеницы в хозяйстве произведена 10% серийная выборка, в которую попали три участка. В результате обследования установлено, что урожайность пшеницы на участках составила 20,25 и 21 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться средняя урожайность пшеницы в хозяйстве.

Решение. Расчет задачи представим в табличном виде:

По условию задачи: r = 3; процент выборки = 10% → Число серий в генеральной совокупности: R = 03,1 = 30. Используя данные таблицы, находим:

77

Из таблицы 6.1 определяем коэффициент доверия t при вероятности данного суждения Р(t) = 0,954: t = 2.

Предельная ошибка выборки: = t ∙ µх = 2∙1,18 = 2,36 ц/га. →

Пределы, в которых будет находиться средняя урожайность пшеницы в хо-

зяйстве: 22-2,36= 19,64 ц/га. ≤ ~x ≤ 24,36 ц/га. = 22+2,36. 5. Комбинированный отбор.

Он основан на комбинации ранее рассмотренных способов отбора, например, можно комбинировать типическую и серийную выборки или серийный и собственно-случайный отборы. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.

6.2.Тестовые задания по теме

1.Выборка, заключающаяся в отборе единиц из общего списка единиц генеральной совокупности через равные интервалы в соответствии с установленным процентом отбора, называется …

а) типической б) механической

в) случайной бесповторной г) случайной повторной

2.В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выборочные средние по рай-

онам составили соответственно 14,5 ц/га, 16 ц/га, 15,5 ц/га, 15 ц/га и 14 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы урожайности во всей области.

а) 14,3 ц/га ≤ ~x ≤ 15,7 ц/га б) 14,9 ц/га ≤ ~x ≤ 16,2 ц/га в) 13,3 ц/га ≤ ~x ≤ 16,7 ц/га г) 13,9 ц/га ≤ ~x ≤ 17,1 ц/га

3. Для использования выборочной совокупности для дальнейшего анализа развития социально-экономического явления необходимо, чтобы разница между средним значением генеральной совокупности и средним значением выборочной совокупности была не больше __________ ошибки выборки.

а) индивидуальной

78

б) генеральной в) средней г) предельной

4. Для определения среднего возраста мужчин, вступивших в брак, в районе была произведена 5% бесповторная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп.

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться средний возраст мужчин, вступающих в брак.

а) 25 лет ≤ ~x ≤ 26 лет б) 24,8 лет ≤ ~x ≤ 26,2 лет в) 24,5 лет ≤ ~x ≤ 25,5 лет г) 24 лет ≤ ~x ≤ 26,4 лет

5. Для получения предельной ошибки выборки необходимо _______ умножить на среднюю ошибку выборки.

а) n б) N в) t г) p

6. Если сплошному обследованию подвергаются случайно отобранные группы единиц, то выборка называется …

а) случайной б) серийной в) типической

г) механической

7. Как изменится необходимый объем собственно-случайной повторной выборки, если уровень вероятности, с которым требуется получить результат, увели-

чить с 0,683 до 0,954?

а) увеличится в 4 раза б) уменьшится в 4 раза в) увеличится в 2,25 раз г) уменьшится в 2,25 раз

8. К способам отбора единиц в выборочную совокупность относят способы … а) аналитический б) типический в) серийный

79

г) альтернативный д) комбинированный

9. На основе 3% собственно-случайной бесповторной выборки получены следующие данные о расходах населения на оплату жилищно-коммунальных услуг:

Определить доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,997 заключена доля домохозяйств, расходующих на оплату жилищно-коммунальных услуг 2200 руб. в месяц и более.

а) 2,1% ≤ w ≤ 4,2 %

б) 3,5% ≤ w ≤ 8,6 % в) 2,8% ≤ w ≤ 6,3 % г) 4,3% ≤ w ≤ 8,2 %

__________ отборе.

а) предельная, бесповторном б) предельная, повторном в) средняя, бесповторном г) средняя, повторном

11. При случайном отборе средняя ошибка выборки определяется по формуле...

а) µх = σn2

б) ∆х = tσn2

12. Предельная и средняя ошибки выборки равны при соответствующем уровне…

а) численности выборочной совокупности б) численности генеральной совокупности в) вероятности г) вариации признака

80