TR_Ryady
.PDF5. Исследовать ряд на сходимость с помощью признака Даламбера
5:1:
5:3:
5:5:
5:7:
5:9:
5:11:
5:13:
5:15:
5:17:
5:19:
X1 n3
n=1 3n
X1 (2n)!
n=1 (n!)2
X1 5n + 3
2n
n=1
X1 n2 + n + 4
n!
n=1
X1 4n
n=1 (n!)2
X1 (2n + 1)!
n=1 (3n + 4)3n X1 3n(n + 1)!
(2n)!
n=1
X1 n! 1 n=1 (2n)! ¢ tg 5n
X1 n!3n
n=1 nn
X1 4 ¢ 7 ¢ 10 ¢ ¢ ¢ (3n + 4) n=1 2 ¢ 6 ¢ 10 ¢ ¢ ¢ (4n + 2)
5:2:
5:4:
5:6:
5:8:
5:10:
5:12:
5:14:
5:16:
5:18:
5:20:
1 |
1 |
5 |
X |
|
|
n=1 n! ¢ arctg n X1 n + 1
n=1 2n(n ¡ 1)!
X1 1 ¢ 3 ¢ 5 ¢ ¢ ¢ (2n ¡ 1)
3n ¢ n!
n=1
X1 n10
n=1 (n + 1)!
X1 ¼ n! ¢ sin 2n
n=1
1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 ¢ 4 ¢ 7 ¢ ¢ ¢ (3n ¡ 2) |
|||||||||||
n=1 |
7 |
¢ |
9 |
¢ |
11 |
¢ ¢ ¢ |
(2n + 5) |
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (3n + 2)! |
|
|
||||||||||
n=1 |
10n ¢ n2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
1 |
n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
¢ sin |
|
|
|
|||
n=1 |
|
n! |
|
|
|
3n |
|
|||||
1 |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
¢ |
2n |
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать ряд на сходимость с помощью радикального признака Коши
6:1: |
n=1 |
2n³n + 1 |
´ |
n2 |
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6:3: |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
(ln n)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6:5: |
1 |
|
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6:7: |
³10nn+ 5 |
´ |
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
n2 |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6:9: |
n=1 |
³n |
´ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6:11: |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
(2n + 1)n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6:13: |
³n + 2 |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|||
6:15: |
n=1 |
2¡n³ |
|
n |
|
|
|
n2 |
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6:17: |
1 |
|
|
n ¡ 1 n2+4n+5 |
|
||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6:19: |
n=1 |
³ |
n + 1 |
|
´ |
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
³ |
5n ¡ 3´ ³6´ |
|
||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
6n + 1 |
|
|
n |
|
5 |
2n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
6:2:
6:4:
6:6:
6:8:
6:10:
6:12:
6:14:
6:16:
6:18:
6:20:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 arcsinn ³ |
n + 1 |
|
´ |
||||||||||
n=1 |
3n+1³n + 3 |
´ |
n2 |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
n + 2 |
|
|
|||||||
X |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2n ¡ 1 |
´ |
n |
|
|
|
|
||||||
1 |
|
4n + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
3n sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
2n + 1 |
´ |
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
n2¡n |
|
|||||||||||
1 |
|
2n ¡ 1 |
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
³n2 |
+ 6 |
´ |
n3 |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
n2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 sin2n ³ |
3n |
´ |
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
³ |
3n ¡ 1 |
´ |
n2 |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (1 + 3 + |
5 + ¢ ¢ ¢ + (2n ¡ 1))n |
|||||||
n=1 |
³1 + n |
´ |
n2 |
¢ 4n |
||||
1 |
1 |
|
1 |
|
||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Исследовать ряд на сходимость
ñпомощью интегрального признака
7:1: |
1 |
|
|
en |
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
1 + e2n |
|
|
|
|
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7:3: |
1 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
1 + n6 |
|
|
|
|
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7:5: |
X |
p3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=2 n |
|
ln n |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
3n2 + 4n |
|
|
|
|
||||||
7:7: |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n3 + 2n2 + 5 |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||
7:9: |
1 |
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7:11: |
1 |
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
n6 + 9 |
|
|
|
|
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7:13: |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
n2 |
¢ sin n |
|
|
|
|
|||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7:15: |
1 |
p |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
´ |
|
7:17: |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
n=1 |
n2 |
³2 + cos n |
|||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7:19: |
1 |
|
|
6n2 + 10 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
(n3 + 5n |
|
|
|
2)3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
X p |
|
|
|
|
|
|
¡ |
7:2:
7:4:
7:6:
7:8:
7:10:
7:12:
7:14:
7:16:
7:18:
7:20:
X1 1
n=1 25n2 + 1
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X arctg(3n) |
||||||||
n=1 |
1 + 9n2 |
|
|
|||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
4n2 + 1 |
|
|
|
||||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
X |
|
|
¢ cos |
|
|
|
|
|
n=1 |
n2 |
n |
|
|
||||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
9n2 + 16 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4n + 7 |
|||||
X |
|
|
||||||
n=1 |
2n2 + 7n ¡ 3 |
|
||||||
1 |
|
1 |
|
|||||
X |
|
|
n=1 (n + 1) ln3 (n + 1)
X1 p 4
n=1 3 2n ¡ 1
X1 arctg n
n=1 2 + 2n2
X1 n12 ¢ e1=n
n=1
8.Исследовать ряд на сходимость
ñпомощью признака Лейбница
8:1:
X1 (¡1)nn
n=1 n3 + 2
8:3:
X1 (¡1)n ln2 n
n
n=1
8:5: |
1 |
|
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 n ln 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
||||||||
8:7: |
X |
(¡1)n ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
n3 + 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8:9: |
1 |
|
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
¢ |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8:11: |
(¡1)n n4 |
¡ |
2n2 + 5 |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8:13: |
1 |
( 1)n |
2n ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n=1 |
¡ |
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8:15: |
1 |
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8:17: |
X |
|
(¡1)p(n3 |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8:19: |
(¡1)n ¢ ln |
µ1 + n2 ¶ |
||||||||||||||||||
n=1 |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8:2:
8:4:
8:6:
8:8:
8:10:
8:12:
8:14:
8:16:
8:18:
8:20:
1 |
|
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
X |
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n=1 |
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n3 |
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|||
1 |
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|
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1 |
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|||||
X |
(¡1)n ¢ tg |
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|
|
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|
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||||||||
n=1 |
n |
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|
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||
1 |
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n3 |
|
|
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|||||
X |
(¡1)n |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||
3n2 |
¡ |
1 |
|
|
|
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|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(¡1)n ¢ ln µ1 + n¶ |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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1 |
|
(¡1)n |
|
|
|
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|||||
X |
|
np |
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|||
n=1 |
n |
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|
3 |
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|
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|||||
1 |
|
|
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|
|
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|
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|
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|||
X |
(¡1)n sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
n=1 |
n + 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
³ ¡ 5 |
´ |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
n |
|
|
|
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|
|
|
|||
X |
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||
n=1 |
n2 + 4n + 3 |
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
(¡1)n ¢ sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
(¡1)n³1 ¡ cos pn´ |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
9. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимости
9:1: |
1 |
|
|
|
|
|
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|
3n + 1 |
|
n2 |
|||||||||
n=1(¡1)n+1³3n + 2 |
´ |
|
|||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
9:3: |
X |
(¡1)n ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
n3 + 2n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3n + 1 5n+2 |
||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9:5: |
n=1(¡1)n³ |
3n ¡ 2 |
´ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 3 |
|
|
|
|||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9:7: |
(¡1)n ¢ n2 + 2n |
|
¡ |
1 |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9:9: |
|
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
X |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
n=2 n ln n |
|
|
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|
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|
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|
|
|||||||||||
|
X |
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9:11: |
|
|
(¡1) p |
(n + 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9:13: |
(¡1)n n3 + n |
¡ |
1 |
|
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9:15: |
|
|
(¡1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
X |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 |
|
n2 + 4n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n n22n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9:17: |
|
(¡1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
3n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9:19: |
1 |
(¡n)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 (2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9:2:
9:4:
9:6:
9:8:
9:10:
9:12:
9:14:
9:16:
9:18:
9:20:
1 |
|
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
p |
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
(¡1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=2 n ln n |
|
|
3 n |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1(¡1)n+1³ |
n |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
(¡1)n ¢ |
n4 + 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(¡1)n+1 ¢ ln µ1 + n¶ |
||||||||||||||||||
n=1 |
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
(¡1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=2 |
|
(ln n)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
(¡1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=3 |
|
n ln 2n |
|
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|||||||
n=1 |
(¡1)n³2n ¡ 1 |
n |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
n arctg n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(¡1) |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(¡1)n³n2 |
+ 6´ |
|
|
|
|
|||||||||||||
n=1 |
n3 |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
n2 |
+ 5 |
|
||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0.001?
10:1:
10:3:
10:5:
10:7:
10:9:
10:11:
10:13:
10:15:
10:17:
10:19:
X1 (¡1)n¡2
n3
n=1
X1 (¡1)n+1
n=1 np2n
X1 (¡1)n+1
n=1 n2pn
X1 (¡1)n+4 n=1 5n + 2 X1 (¡1)n+14
n=1 4n + 1 X1 (¡1)n¡7
n=1 n2 + 5n
X1 (¡1)n¡4
n=1 n3 + n
X1 (¡1)n¡6
n=1 n2 + 4n + 5 X1 (¡1)n¡2
n=1 n2pn
X1 (¡1)n¡1
n=1 pn3 + 8
10:2: |
1 |
(¡1)n+3 |
|
|
|
|||||
X |
||||||||||
|
n |
¢ |
2n |
|||||||
|
n=1 |
|
||||||||
10:4: |
(¡1)n+5 |
|||||||||
1 |
||||||||||
|
X |
np |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
10:6: |
n=1 |
n |
|
|
|
|||||
1 |
(¡1)n¡1 |
|||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10:8: |
n=2 |
n ln n |
||||||||
1 |
(¡1)n+6 |
|||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n2 + 4 |
|
|
|
|||||
10:10: |
1 |
(¡1)n+7 |
||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n2 + 5 |
|
|
|
|||||
|
X |
|
¡ |
|
|
|
|
|
||
10:12: |
1 |
(¡1)n+5 |
||||||||
|
n=1 |
n2 |
|
|
2n + 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10:14: |
1 |
(¡1)n+3 |
|
|
||||||
n3 + 2n2 |
||||||||||
|
n=1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10:16: |
1 |
(¡1)n+8 |
||||||||
n=1 |
n2 + 6n + 10 |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10:18: |
1 |
(¡1)n+3 |
|
|||||||
n=1 np3 n + 4 |
||||||||||
|
||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10:20: |
1 |
(¡1)n+9 |
|
|||||||
n=1 |
pn3 + n |
|||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
; (¡1; +1) |
||||||||
11:1: n=1 |
n2en2x2 |
||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
cos nx |
|
|
|
|
|
|
|||
11:3: n=1 |
n4 + 1 |
; (¡1; +1) |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
; [0; +1) |
|
11:5: |
|
|
22n + (n + 1)x |
||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
arctg nx |
|||||||||
11:7: n=1 |
x4 + np3 |
n |
; (¡1; +1) |
||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
x |
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11:9: n=1 |
n2 |
¢ sin |
n |
; (¡1; +1) |
|||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
sin2 nx |
; [0; +1) |
|
||||||||
11:11: n=1 |
n4 + x |
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
11:13: n=1 n3 + enx ; (¡1; +1)
11:2:
11:4:
11:6:
11:8:
11:10:
11:12:
11:14:
X1 xn
n=1 n3n ; [¡2; 2]
X1 x2n; (¡0; 2; 0; 75)
n=1
1 |
(¼ ¡ x) cos2 nx; [0; ¼] |
|||||||||||
X |
|
p5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
n7 + 1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(x + 1) sin2 nx |
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
np |
n + 1 |
|
|
; [¡3; 0] |
|||||
1 |
xn |
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
; [¡1; 1] |
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
n2 |
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
(2x)n |
|
|
|
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
np |
n + x |
; [0; 0; 5] |
|||||||||
1 |
(x ¡ 1)n |
; [ |
¡ |
1; 3] |
||||||||
|
||||||||||||
n=1 |
(3n + 1)3n |
|
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
||
1 |
sin2 2nx |
|
|
11:15: |
p3 |
n4 + x2 |
; (¡1; +1) |
n=1 |
|
|
|
1 e¡n2x2 |
|
||
11:17: n=1 |
1 + n2 ; (¡1; +1) |
||
X |
|
11:19: X1 2¡n cos ¼nx; (¡1; +1)
n=1
X |
(x + 2)n cos2 nx |
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
||||
11:16: |
p |
n3 + x4 |
|
|
; [¡3; ¡1] |
||||
n=1 |
(n + 2)3(2x)2n |
1 1 |
|||||||
1 |
|||||||||
X |
|
|
|
; [¡ |
|
|
|
|
|
11:18: n=1 |
x2 + 3n + 4 |
4 |
; |
4 |
] |
||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11:20: n=1 (n + x)2 ; [0; +1)
12. Найти область сходимости функционального ряда
12:1:
12:3:
12:5:
12:7:
12:9:
12:11:
12:13:
12:15:
12:17:
12:19:
X1 1
n=1 n2(x + 1)n
X1 n2e¡nx2
n=1
X1 2nx
n=1 nx
X1 tgn x
n=1 n2
X1 ³3 ¡ x2 ´n
n
n=1
X1 ³n3 ln(1 + nx)´n
n=1
X1 arctgn x
n=1 |
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n2 |
¢ ³ |
2x ¡ 3 |
´ |
n |
|
||||
n=1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(5 ¡ x2)n |
|
|
|
|
|||||
n=1 |
³2 |
´ |
³en |
¡ 1´ |
|
|||||
n=1 |
n |
|||||||||
1 |
|
n |
n |
|
x |
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12:2:
12:4:
12:6:
12:8:
12:10:
12:12:
12:14:
12:16:
12:18:
12:20:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
e¡nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
¢ lnn (x2 + 2) |
|
||||||||
n=1 |
|
n + 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(x |
2 |
¡ 6x + 12) |
n |
|
||||||||||
X |
|
|
|
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
4n(n2 + 1) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3n |
tg2n x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
n |
|
|
|
|
|
||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
n(x2 ¡ 5x + 10)n |
|
|
||||||||||||
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
n=1 |
³ n + x´ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n + 2 |
|
x2 ¡ 5x + 6 n |
|||||||||
n=1 r |
|
n x2 |
+ 5x + 6 |
´ |
|||||||||||
X |
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n(x + 2)n
X1 1
n=1 nx
13. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала
13:1:
X1 (¡1)nxn
n=1 2n + 1
X1
13:3: (¡2)nx2n
n=1
X1
13:5: (3x)2n
n=1
13:7:
X1 x2n
n=1 3n
X1 x2n¡1
13:9:
n=1 (2n ¡ 1)!
13:11:
X1 n2x2n¡1
n=1 (n + 2)!
13:2:
13:4:
13:6:
13:8:
13:10:
13:12:
1 |
|
(n + 1)5x2n |
|||||||||
n=1 |
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xnxn |
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5nxn |
|
|
|
|
|
||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
X n!x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
nn |
|
|
|
|
´ |
xn |
|||
n=1 |
³ |
2n + 1 |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
X (¡1) x |
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
n2 + 1 |
|
|
|
|
X |
|
¡ |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
nx3n |
|
1 |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13:13: |
n=1 (4n |
|
1)3 |
|
13:14: |
n=1 |
2np3 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||
13:15: |
1 |
(¡1)nx2n |
13:16: |
1 |
|
(¡1)n(3x)n |
||||||||||||
X |
X |
|
||||||||||||||||
|
(4n |
¡ |
1)2n |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
13:17: |
(¡1)nx2n |
13:18: |
|
1 + 1 n2xn |
||||||||||||||
1 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
³ |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
n=1 |
3n(n + 1)1;5 |
|
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
||||||||
|
1 |
nn+1x2n |
|
1 |
|
n ¼ 1 n |
||||||||||||
13:19: |
X |
|
|
|
|
|
13:20: |
X |
tg ( |
|
|
|
+ |
|
|
)x |
||
n=1 |
n! |
|
|
|
n=1 |
4 |
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах интервала
14:1:
14:3:
14:5:
14:7:
14:9:
14:11:
14:13:
14:15:
14:17:
14:19:
X1 (x ¡ 1)n
n=1 npn
X1 2n³x + 3´n
3
n=1
X1 (x + 5)n
3n
n=1
X1 (¡1)n(x ¡ 3)n
n=1 |
|
|
|
|
(n + 1)5n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
³ |
x ¡ 1 |
´ |
n |
||||||||||||
n=1 p3 n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
X n (x ¡ 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
(n4 + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
||||
X |
|
(¡1) (x + 3) |
|
|||||||||||||||
n=1 |
³ |
|
(3n ¡ 1)2n |
|||||||||||||||
n=1 |
|
3n + 2 |
´ |
n(x + 2)n |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
2n ¡ 1 |
|
|||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(¡1)n(x + 6)n |
|||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 (n + 3) ln(n + 3) |
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s |
n4 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
X |
|
|
|
|
|
(x + 2)n |
||||||||||||
n=1 |
n3 + 4n |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14:2:
14:4:
14:6:
14:8:
14:10:
14:12:
14:14:
14:16:
14:18:
14:20:
X1 (x ¡ 1)n
n=1 n ¢ 9n
X1 (x ¡ 5)2n+1
3n + 8
n=1
X1 (x ¡ 7)2n¡1
n=1 (2n2 ¡ 5n)4n X1 (¡1)n+1(x ¡ 2)2n
2n
n=1
X1 n3(x ¡ 2)2n¡1
(n + 3)!
n=1
X1 ³3n ¡ 1´n(x + 1)2n 2n
n=1
X1 3n(n3 + 2)(x ¡ 1)2n
n=1
X1 n3(x + 4)2n+1
(n + 1)!
n=1
X1 (n ¡ 2)3(x + 3)2n
2n + 3
n=1
X1 (x ¡ 2)2n
n=1 3n + 2n