КР_мат_ан_2_курс( у меня 27 вар)

1. Представить

двойной интеграл f x; y dx dy в

виде повторных с внешним

D

интегрированием по

x и по y , если область интегрирования

D задана следующими линиями:

2.

Вычислить массу пластинки

D ,

ограниченной

кривыми:

x 2;

y 0; y2

x

если

2

поверхностная плотность пластинки 4x 6y2 .

3.

Вычислить тройной интеграл:

dx dy dz

, где V :

x

y

z

1; x 0;

y 0; z 0 .

5

6

16

V

x

y

z

4

1

6

4

16

4.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

следующими

поверхностями:

x2 y2 4y; z 4 x2 ; z 0 .

5.

Вычислить

момент

инерции

однородного

тела

V ,

заданного

поверхностями:

x2 y2

z2 ; y2 z2

9; x 0 относительно оси OX .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода: x2

xy dl ,

где

- ломаная

ABC ,

A 2;1 ; B 6;1 ; C 4; 1 .

7.

Вычислить

криволинейный

интеграл

второго

рода

по

формуле

Грина:

x y 2 dx x2 y2 dy ,

где - верхняя половина окружности x2

y2

9 .

8.

Найти угол между

градиентами

скалярных

полей u xyz

и v x2

9y2 6z2 в

точке

1

1

M 1;

;

.

3

6

9.

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S : 6x y 4z dS , где

S

S - часть плоскости P : 3x 3y z 3 , отсеченная координатными плоскостями.

10.

Вычислить

поток

векторного

поля

a x 2z i y 3z j z k

через внешнюю

поверхность пирамиды, образованную плоскостью

P : 3x 2y 2z 6

и

координатными

плоскостями.

1

0

0

ln y

1. Изменить порядок интегрирования: dy

f x; y dx dy

f x; y dx .

0

y

1

1

2.

Вычислить

тройной

интеграл:

63 1 2

dx dy dz ,

где

y

V

поверхностями: x2 y2

3z; x2 y2

4; z 0 .

5.

Вычислить

массу

тела

V ,

ограниченного

поверхностями:

x2 y2 z2 16; x2 y2

9z2 ; x 0; y 0 , если поверхностная плотность тела 5z .

6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

2 ydl , где - первая арка циклоиды

x 2

t sin t ;

y 2

1 cos t .

x2

Найти угол между градиентами скалярных полей u

6

2

3 3

8.

и

v

в точке

y2 z3

x

y

z

2

2

3

M

2; 2;

.

2

9. Найти поверхностный интеграл первого рода по поверхности S :

3x 2 y 6z dS , где S -

S

часть плоскости P : 2x y 2z 2 , отсеченная координатными плоскостями.

10. Проверить, что данное векторное поле a является потенциальным,

соленоидальным или

гармоническим: a x y i y z j 2 x z k .

1.

Вычислить площадь области D , заданной указанными линиями:

y

x; y 2 x;

x 4 .

2.

Вычислить

массу

пластинки

D ,

заданной ограничивающими

ее

кривыми:

x2 y2 1; x2

y2 9; x 0; y 0 , если поверхностная плотность пластинки

5x 2 y

.

x2 y2

3.

Вычислить

объем

тела

V ,

заданного

указанными

поверхностями:

y 6 3x; y 3x; z 0; z x 3 .

4.

Вычислить

тройной

интеграл

в сферических

координатах:

z dx dy dz

,

где

x

2

y

2

z

2

V

V : 4 x2 y2 z2 9; y 0; y 3 x; z 0 .

5.

Вычислить

момент

инерции

тела

V ,

заданного

следующими

поверхностями:

x2 y2 z2 ; y2 z2

4; x 0

относительно оси OX .

6.

Вычислить массу дуги : y ln x;

3 x

15 , если заданная плотность 2x2 .

Найти работу силы F xy x i xy j

7.

при перемещении вдоль линии

: y 2 x

от

точки

до точки B

.

A 1; 2

4; 4

8.

Найти

производную

скалярного

поля

u x2 y y2 z 3z

в

точке

M1 1; 2; 1

по

направлению l M1M2 , где

M2 13; 5;0 .

9.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

a :

a x z i z j 2x y k

по

контуру

треугольника, образованного пересечением плоскости

P : 3x 2y z 6

с

координатными

плоскостями.

10. Найти поток векторного поля

a : a 2z x i x 2y j 3z k

через

внешнюю

поверхность пирамиды, образованную плоскостью

P : x 4y 2z 8

и

координатными

плоскостями.

1.

Вычислить двойной интеграл: 4xy 16x3 y3 dxdy , где D : x 1; y x3 ; y 3

.

x

D

2.

Вычислить тройной интеграл: 1 2x3 dx dy dz , где V : y 9x; y 0; x 1; z 0; z

.

xy

V

3.

Вычислить

массу пластинки D , заданной ограничивающими

ее кривыми:

x2 y2 9; x2 y2

16; x 0; y 0 если поверхностная плотность пластинки

2x 5y

.

x2 y2

6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

dl

, где

- отрезок прямой,

x2

y2 4

соединяющий точки O 0; 0 и A 1; 2 .

7.

Вычислить

криволинейный

интеграл второго

рода

по

формуле

Грина:

x2

y2

dx

x2 y2

dy , где - контур треугольника ABC ,

A

0;0

; B 1;0

; C

0;1 .

1

8. Найти угол между градиентами скалярных полей u

и v

4 2

2

1

в точке

x2 yz

x

9 y

3 z

1

1

M

2;

;

.

3

6

9. Вычислить поверхность интеграл первого рода по поверхности S : 2x 3y z dS , где S -

S

часть плоскости P : x 2y z 2 , отсеченная координатными плоскостями.

10.

Найти

поток

векторного поля

a : a x z i z j 2x y k

через

внешнюю

поверхность пирамиды, образованную

плоскостью

P : 2x 2y z 4

и

координатными

плоскостями.

4

sin x

2

cos x

1. Изменить порядок интегрирования: dx

f x; y dy dx

f

x; y dy .

0

0

0

4

2.

Вычислить

площадь

области

D ,

заданной

указанными

кривыми:

x2 y2 6y 0; x2 y2 8y 0; y x; x 0 .

3.

Вычислить

объем

тела

V ,

заданного

следующими

поверхностями:

4.

Вычислить

массу

тела

V ,

ограниченного

поверхностями:

x2 y2 z2 4; x2 y2

z2 ; x 0; y 0; z 0 , если поверхностная плотность тела 6z .

5.

Вычислить момент инерции однородного тела V , заданного следующими поверхностями:

V : x y2 z2 ; y2 z2

1; x 0 относительно оси OX .

6. Вычислить массу дуги

x 3 cos t t sin t

0 t

1

при плотности t .

:

3

y 3 sin t t cos t

7.

Показать, что данное дифференциальное выражение:

x y

dx

y x

dy

является полным

xy

y2

дифференциалом некоторой функции u u x; y . Найти эту функцию.

M 1; 3; 4

8.

Найти производную скалярного поля u x3

y2 z2 в точке

по направлению

l j k .

9.

Вычислить поток

векторного поля

a :

a 3x y i x z j y k

через внешнюю

поверхность пирамиды,

образованную

плоскостью P : x 2y z 2 и

координатными

1

x2

2

2 x2

1. Изменить порядок интегрирования: dx

f x; y dy dx

f x; y dy .

0

0

1

0

поверхностная плотность пластинки

7

x2

6 y .

2

4. Вычислить тройной интеграл

в

сферических координатах:

x dx dy dz

, где

V

x2 y2 z2

поверхностями: z 2 x2 y2 ;

x2 y2

9; z 0 .

3

6. Вычислить массу дуги

x 10 cos

t;

0

t

при заданной плотности

2 cos

2

t .

:

y 10sin3 t;

2

7. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по формуле Грина:

x y dx y x dy

y x2 ;

, где

:

y

x.

x

8.

Найти угол между градиентами скалярных полей: u

и v

6

6

2

в точке

yz2

2x

2 y

3z

1

1

1

M

;

;

.

2

2

3

S

S - часть плоскости P : 2x y z 2 ,

отсеченная координатными плоскостями.

10. Найти поток векторного поля

a x y i 3y j y z k через внешнюю поверхность

1.

Вычислить

площадь

области

D ,

заданной

указанными

линиями:

2.

Вычислить массу

пластинки

D , заданной ограничивающими

ее кривыми:

x2 y2

1; x2 y2 25; x 0; y 0 , если поверхностная плотность пластинки

x 5y

.

x2 y2

3.

Вычислить

тройной

интеграл:

3x2 y2 dx dy dz ,

где

V :

V

4.

Вычислить координаты центра масс однородного тела V , заданного указанными

поверхностями: y 3 x2 z2 ; x2 z2 36; y 0 .

5.

Вычислить момент инерции однородного тела

V :

y2 z2 x2 ;

y2 z2 1; x 0

относительно оси OX .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

dl

, где

- отрезок прямой от

x 2 y 5

точки A 0; 2 до точки B 1; 0 .

6xy