Krylov_N_N__red_Nachertatelnaya_geometria

полотна до прямых М М ' и A//V' предусматривает размещение кюветов (см. профиль выемки).

Далее возникает задача на построение плоскости заданного уклона 1:1,5 и прохо-

Решение такой задачи описано в § 78. Здесь же подчеркнем особенности нахождения точек, принадлежащих линии

нулевых работ.

Первые две из них определяются пересечением границ насыпей с бровками земляного полотна, вторая пара найдена

изображены те горизонтали откосов, с помощью которых построены крайние отрезки ломаных линий пересечения земли и откосов.

Эти отрезки и позволяют найти точки линии нулевых работ. Так, пересечение

проектирования уклоном дорог пренебрегают, если / < 4 0 0 /оо. В этом случае уклон дороги принимают равным нулю и горизонтали откосов проводят параллельно бровкам.

1. В чем сущность метода проекций с числовыми отметками и какова область его применения?

2.Что называют заложением и интервалом прямой?

3.Проекции прямых а и 6 параллельны, их уклоны равны. Необходимы или достаточны приведенные условия для утверждения: a|j6?

4.Что называется масштабом падения плоскости?

5.Как построить линию пересечения двух плоскостей, масштабы падения которых параллельны, но уклоны не равны?

6.Построить план крыши здания, вид сверху которого имеет П-образную форму, число скатов равно числу сторон заданного контура и все скаты имеют одинаковый уклон.

7.Что представляет собой поверхность полотна дороги на кривой с уклоном?

8.При каком условии бровка полотна дороги является горизонталью откоса насыпи той же дороги?

9.Как построить проекции горизонталей поверхности одинакового ската?

Г Л А В А 15

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕНЕЙ

$ 84. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Для того чтобы плоскому чертежу придать большую выразительность, сделать двумерное изображение наглядным, прибегают к построению теней. Особенно широко используются тени при оформлении архитектурных проектов (зданий и других сооружений).

Основная задача теории теней заключа-

ется в определении контуров с о б с т в е н -

При построении теней обычно полагают, что свет распространяется прямолинейно.

от объекта на незначительное расстояние. Лучи света при этом образуют связку прямых.

В том же случае, когда источник света удален в бесконечность и световые лучи параллельны друг другу, освещение называется с о л н е ч н ы м .

Чаще всего построение теней осуществляется при параллельных световых лучах. При этом за направление лучей света обычно принимают направление одной из диагоналей куба, две грани которого совмещены с плоскостями проекций (рис. 400 и 401). Проекциями Каждой диагонали такого куба являются соответствующие диагонали квадратов, т. е. каждая из проекций светового луча составляет с осью х угол 45°.

§ 85. ТЕНЬ ТОЧКИ

Пусть задана точка А и направление световых лучей (рис. 402). Один из лучей s на своем пути встретит точку А и будет ею задержан. Там, где этот луч при своем продолжении пересечет плоскость

5

Рис. 402

(поверхность), расположена падающая тень заданной точки на этой плоскости.

Поставим перед собой более конкретную задачу. Предположим, надо определить тень точки на плоскости проекций. Пусть точка А расположена в первом октанте; направление световых лучей задано (рис. 403). Там, где световой луч, проходящий через точку А, пересечет плоскость проекций, будет расположена тень заданной точки. Иными словами, в рассматриваемом случае тенью точки является след

кости проекций, которую световой луч встречает раньше. Так, на рис. 403, плоскость П, пересекается лучом в точке А„, раньше, чем плоскость ГЬ. Точка Ап[ для луча является горизонтальным следом, а для точки А, через которую проходит этот луч,— тенью ее на плоскость П|. Анало-

реальна потому, что луч в рассматриваемом примере пересекает плоскость П, раньше чем П2. Условимся обозначения мнимых теней заключать в круглые скобки. На рис. 404 показано построение тени точки на эпюре.

Очевидно, что реальные тени могут быть у точек, расположенных только в первом' октанте.

§ 86. ТЕНЬ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Чтобы построить тень прямой линии на какую-либо плоскость или плоскость проекций, нужно определить тени двух ее точек. Тенью прямой будет прямая линия, соединяющая эти точки (рис. 405). Прямую АаВа можно вместе с тем рассматривать как след лучевой плоскости, которая проходит через данную прямую АВ.

Процесс построения тени отрезка прямой на две плоскости проекций рекомендуется вести в такой последовательности.

1. Строят тень отрезка на одну из плоскостей проекций, предполагая, что второй не существует. Так, в примерах, данных на рис. 406 и 407, сначала построена тень отрезка на плоскость П|.

2.Если построенная тень пересекает

ось х, то в этой точке тень п р е л о м и т с я и с одной плоскости проекций перейдет на другую.

Точка преломления тени в рассматриваемом примере обозначена через Кх• Установив, какая из двух теней крайних точек отрезка мнимая, определяют ее действительную тень на второй плоскости проекций.

В эту точку и будет направлена прело-

3. Если отрезок прямой расположен в различных октантах, то прежде всего необходимо выделить ту его часть, которая расположена в первом октанте. Для этой

цели приходится определить следы данного отрезка.

Рассмотрим построение тени от прямых частного положения. Пусть перпендикулярная к плоскости П] прямая АВ пе-

точки А на ту же плоскость П> является точка АпСоединив эти точки (Вп , и ЛП1), получим тень прямой АВ на плоскости П|. Она совпадает с горизонтальной проекцией Светового луча (световые лучи, проходящие через прямую АВ, образуют горизонтально проецирующую плоскость, которая пересекает П, по прямой, совпадающей с горизонтальной проекцией светового луча).

Аналогично строим тень от прямой CD, перпендикулярной плоскости Пг (рис. 408,6). Ее тень совпадает с фронтальной проекцией луча.

Нетрудно доказать, что тень от отрезка прямой, параллельного плоскости, равна и параллельна самому отрезку

димо построить тени всех ее сторон. Тень периметра треугольника на плоскость ос будет в общем случае также треугольни-

Контур этой падающей тени можно рассматривать как сечение лучевой призмы (ребра которой представляют собой све-

Построение тени треугольника на две плоскости проекций необходимо вести в той же последовательности, что была рекомендована для построения тени прямой (см. § 86). Так, на рис. 410 и 411 прежде всего построена падающая тень треугольника на плоскость П( в предположении, что плоскости Пг нет.

Реальной будет та часть тени, которая расположена на переднем поле плоскости П|. Затем строится тень треугольника на плоскость П2, для чего в приводимом примере достаточно определить тень вершины В на плоскость П2. Соединив Вт с точками преломления теней сторон АВ и ВС, заканчивают построение.

Исследуя взаимное расположение световых лучей относительно плоскости данной фигуры, определяют освещенность проекций этой фигуры. Пример определения собственной тени треугольника ABC

Рис. 409

приведен на рис. 412. Прежде всего через точку D , лежащую внутри контура треугольника, проводят световой луч DE. Далее устанавливают относительное распо-

щего луча, направленного перпендикулярно плоскости Пг и проходящего через точку пересечения фронтальных проекций АВ

кзрителю, стоящему перед треугольником

иплоскостью П2, будет в собственной тени. Вот почему на рис. 412 фронтальная проекция треугольника тонирована.

Проецирующий луч, перпендикулярный плоскости Г1| и проходящий через точку пересечения горизонтальных проекций АВ и DE, позволяет заключить, что видимая сверху горизонтальная проекция треугольника будет освещенной.

Рис. 410

§ 88. МЕТОД ОБРАТНЫХ ЛУЧЕЙ

Метод обратных лучей успешно приме-

Прежде всего строят тени заданных геометрических фигур на одну из плоскостей проекций и определяют точки пересечения теней. Через отмеченные точки проводят луч, направление которого противоположно световым лучам. Каждый из обратных лучей, пересекая данные геометрические фигуры, определяет нужные для построения тени точки.

Покажем применение этого метода на примере построения тени прямой на плоскость треугольника. На рис. 413 построены падающие тени треугольника ABC и

ны ВС, проведен обратный луч, пересекающий указанные прямые соответственно в точках К и К'-

Точка К' представляет собой тень точки К прямой DE на прямую ВС. Искомая же тень определяется точками К' и Е, вторая из которых является пересечением прямой DE с треугольником.

Решение этой задачи на эпюре приведено на рис. 414 и 415. В первом случае тень прямой DE на плоскость треугольника по-

строена методом обратного луча, а во втором — с помощью двух точек Е и D', в которых с плоскостью треугольника пересекаются соответственно данная прямая

определения указанных точек. Так как точка D' оказалась за контуром треугольника, то часть тени прямой находится на плоскости треугольника, а часть — на плоскости проекций.

Сопоставление двух решений позволяет заключить, что в первом случае отпадает необходимость определить точку пересечения светового луча, который проходит через точку D, с плоскостью треугольника. Преимущества метода обратного луча становятся более ощутимыми при построении теней от многогранника на многогранник и определении собственных теней тел, ограниченных кривыми поверхностями.

ГЛАВА 16 ТЕНИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

§ 8 9 . ТЕНИ МНОГОГРАННИКОВ

Пусть некоторый многогранник SABC освещен связкой параллельных лучей (рис. 416). Требуется построить падающую и собственную тени данного тетраэдра. Для этой цели через каждую его вершину проводим световые лучи параллельно заданному направлению и находим точки их пересечения с одной из плоскостей проекций, например с П|. Так будут найдены тени вершин тетраэдра на плоскость II). Соединив их друг с другом, получим тень проволочного каркаса многогранника. Но нам задан не «каркас» многогранника, а непрозрачное тело, тенью которого должна быть некоторая фигура. В рассматриваемом примере контуром падающей тени будет треугольник (ЛщБц^щ) . Этот треугольник представляет собой сечение лучевой призмы плоскостью Hi. Так как часть тени оказалась на задней полуплоскости П|, то пришлось дополнительно определить тень вершины S на

ство точек, общих для поверхности лучевой призмы и данного многогранника, образует замкнутый контур, отделяющий ос-

ке К контура собственной тени соответ-

раэдра от теневых, т. е. контуром собст-

ной, так как она обращена к источнику