LAI1

11

49. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при n=3 выстрелах равна Р=0,875. Найти р - вероятность попадания при одном выстреле.

50. Вероятность попадания при одном выстреле в мишень у любого из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый может сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятности получения приза для каждого из стрелков и вероятность того, что приз будет вручен стрелкам. Какова вероятность того, что приз останется у организаторов соревнования по стрельбе?

§3. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Вусловии задачи описывается комплекс условий и действия экспериментатора, при которых может произойти случайное событие. Процесс решения некоторых задач можно разделить на два этапа, определяемых описанием проводимого эксперимента. На первом этапе рассматриваются условия эксперимента или предварительные действия экспериментатора. Реализация каждого из этих условий или действий

записывается как предположение или гипотеза Н i , i=1,2,...,n. Гипотезы являются попарно несовместными событиями и каждая из них обязательно реализуется. Р(Н i ) - вероятность реализации i-той гипотезы. На втором этапе рассматривается возможность наступления случайного события А при реализации гипотезы Н i . Эта возмож-

ность оценивается условной вероятностью Р( AH i ) . Вероятность того, что случайное событие А произойдет вычисляется по формуле полной вероятности Р(А)=

вероятности их Р(Н i ) называются доопытными. Пусть опыт проведен и событие А произошло, но экспериментатор не знает с какой из гипотез оно наступило. Формула

ятность гипотезы Н i . Формула Байеса позволяет переоценить возможность реализации гипотезы Н i с учетом информации о том, что событие А произошло.

ПРИМЕР 1. В первой урне находятся два белых и восемь черных шаров, во второй урне - четыре белых и шесть черных, в третьей урне - шесть белых и четыре черных шара. Экспериментатор из наудачу выбранной урны извлекает один шар. Определить вероятность того, что этот шар будет белым.

Из описания испытания в условии задачи следует, что сначала экспериментатор выбирает урну из которой будет проводить извлечение, а затем из выбранной урны наудачу извлекает шар. Случайное событие А - появился шар белого цвета. Так как извлечение проводится из одной выбранной урны, то возможны три гипотезы. Пусть

Н i - экспериментатор выбрал для извлечения i-тую урну (i=1,2,3). Так как выбор любой урны равновозможен, то Р(Н i )= 13 . Если экспериментатор наудачу выберет

12

первую урну, то вероятность извлечения из нее белого щара равна Р( A H1 )= 0,2.

Аналогично, Р( A H 2 )= 0,4 и Р( A H 3 )= 0,6. По формуле полной вероятности получаем:

ПРИМЕР 2. Из одной из трех урн, составы которых описаны в предыдущем примере, экспериментатор извлек шар, оказавшийся белым. Какова вероятность того, что извлечение проводилось из третьей урны?

Из условия задачи видно, что экспериментатор, достав шар белого цвета, не может знать: из какой урны он проводил извлечения. По формуле Байеса получаем:

До появления белого шара вероятность случайного выбора третьей урны была равна Р(Н 3 ) = 13 . Увидев, что извлеченный шар имеет белый цвет, мы, зная составы

урн, естественно можем утверждать, что скорее всего извлечение проводили из третьей урны, так как в ней больше чем в других белых шаров. Это утверждение под-

крепляется увеличившимся значением вероятности гипотезы Н 3 : Р( H 3 A) = 12 . Для

вой урне белых шаров меньше, чем в других урнах.

51.В первой урне находится 20 шаров, из которых - 15 белых, а во второй урне находится 18 шаров, из которых - 10 белых. Из первой урны наудачу перекладываются два шара во вторую, а затем из второй урны наудачу извлекаются два шара. Определить вероятность того, что оба извлеченных шара будут белыми.

52.Три станка-автомата разной производительности выпускают детали одного наименования. Все детали ссыпаются в один ящик и поступают на сборку. Детали, изготовленные первым, вторым и третьим станками составляют, соответственно, 25%, 35% и 40% от общего количества деталей. Бракованные детали в продукции первого станка составляют 2%, в продукции второго станка - 3%, а в продукции третьего станка - 5%. Сборщик из ящика наудачу берет одну деталь. Какова вероятность того, что взятая деталь - доброкачественная?

53.В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Стрелок поражает мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом с вероятностью равной 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что

13

мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

54.В первой урне содержится 10 шаров, из них - 8 белых, во второй урне - 20 шаров, из них - 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару и поместили их в третью пустую урну. Затем из третьей урны наудачу взяли один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белого цвета?

55.В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар, после чего из сосуда наудачу извлекают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если все предположения о первоначальном составе шаров по цвету равновероятны.

56.Банковские документы трех типов поступают на обработку в вычислительный центр в количествах, которые относятся как 3:2:5. Вероятности безошибочного перенесения содержания документа в оперативную память ЭВМ равны соответственно 0,9; 0,95; 0,9. Проверяется качество перенесения содержания наудачу взятого документа. Определить вероятность того, что оператор не сделал ошибку.

57.Из первой урны, содержащей два белых и три черных шара, переложили один шар во вторую урну, которая содержала шесть белых и четыре черных шара. Затем из второй урны переложили обратно один шар в первую урну. Какова вероятность того, что составы урн после этих перекладываний не изменились?

58.После перекладываний шаров из урны в урну, описанных в предыдущей задаче 57, стало известно, что составы шаров в урнах не изменились. Какого цвета шары вероятнее всего перекладывались?

59.Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе мимо бензоколонки, относится к числу проезжающих легковых автомашин как 2:3. Вероятность того, что грузовая автомашина остановится у бензоколон-

ки для заправки равна p1 = 13 , а для легковой автомашины эта вероятность равна p2 = 23 . К бензоколонке для заправки подъехала автомашина. Найти вероятность того, что это: а) грузовая автомашина; б) легковая автомашина.

60. Два станка-автомата производят одинаковые детали, которые поступают на сборочный конвейер. Производительность первого станка вдвое больше производительности второго. Первый станок производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй - 90%. Наудачу взя-

14

тая сборщиком деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь была изготовлена на первом станке.

61.На сборку поступают детали, среди которых 90% - доброкачественных. Перед сборкой детали проходят контроль, который в силу своего несовершенства 5% доброкачественных деталей может признать бракованными, и 3% бракованных деталей может признать доброкачественными. а) Деталь, прошедшая контроль, признана доброкачественной. Определить вероятность того, что контроль не ошибся. б) Деталь , прошедшая контроль, признана бракованной. Определить вероятность того, что контроль не ошибся.

62.Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудием соот-

ветственно равны: p1 = 04,; p2 = 03,; p3 = 025,.

63.Три охотника одновременно выстрелили в дикого кабана. В результате кабан оказался убитым одной пулей. Определить вероятности того, что кабан был убит : а) первым; б) вторым; в) третьим охотником, если вероятности попадания в цель для них соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.

64.Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.

65.Имеется три партии деталей по 20 штук в каждой. Количества стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях равны соответственно 20, 15, 10. Из наугад выбранной партии извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Какова вероятность того, что эта деталь была извлечена из третьей партии? Эту деталь возвращают обратно и снова из этой же партии наудачу извлекают деталь, которая так же оказалась стандартной. Какова вероятность того, что детали извлечены из третьей партии?

§4. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли.

15

Рассмотрим ПРИМЕР. В урне находится 6 белых 4 черных шара. Наудачу производятся четыре извлечения по одному шару. Определить вероятность того, что появятся три белых и один черный шар.

Решая задачу, введем случайные события: А - три извлеченных шара имеют белый цвет и один шар - черный цвет; В i - i-тый извлеченный шар имеет белый цвет, где i

= 1, 2, 3, 4.Событие А является суммой четырех комбинаций событий Bi и Bi :

A = (B1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 ) (B1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 ) (B1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 ) (B1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 ) Все слагаемые - несовместные события, поэтому вероятность суммы событий рав-

на сумме вероятностей событий-слагаемых. Описание процедуры проведения опыта в условии примера не содержит указания на способ извлечения шаров. Если каждый извлеченный шар не возвращается в урну перед следующим извлечением, то событи-

я-сомножители Bi и Bi будут зависимыми событиями и, например,: Р(

B1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 ) = 610 59 4 8 4 7 , а Р( B1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 ) = 610 49 58 4 7 . То есть, например,

вероятность появления белого шара при третьем извлечении ( события B3 ) зависит

от цвета шаров появившихся при первом и втором извлечениях.

Если же извлекаемые шары после фиксации их цвета каждый раз возвращаются

610 410 610 610 . Здесь мы видим, что вероятности появлений белого и черного шаров при любом номере извлечения одинаковы: Р( Bi )= 610 , Р( Bi )= 410 , не зависят от исходов

предыдущих извлечений и не влияют на исходы последующих извлечений.

Серия из n одинаковых испытаний, в каждом из которых с постоянной вероятностью p появляется либо событие А, либо с постоянной вероятностью q - ему противоположное событие называется повторными независимыми испытаниями или испытаниями по схеме Бернулли. Очевидно, что рассмотренные выше извлечения четырех шаров с возвращениями каждый раз взятого шара обратно являются повтор-

ными независимыми испытаниями, так как мы видим, что p=Р(А)= 610 , q=1- p=Р( A) = 410 и не зависят от номера испытания.

Обычно при проведении повторных независимых испытаний экспериментатора интересуют два вопроса:

1)Какова вероятность того, что при проведении n раз повторных независимых испытаний событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности)?

2)Какова вероятность события В - при проведении n раз повторных независимых

испытаний число наступлений события А будет не менее, чем m1 , но и не более, чем

m 2 ?

Обозначим через A k - случайное событие - проведении серии повторных независимых испытаний событие А произошло k раз. Ответ на первый вопрос дает формула Бернулли: Р n (Ak ) = C nk pk qn− k . Наступление события В означает выполнение нера-

венства m1 ≤ k ≤m 2 , и ответом на второй вопрос будет:

Значит, решение примера в случае возвратной выборки четырех шаров получим с помощью формулы Бернулли: Р 4 (A3 ) = C43 p3 q1 = 3(610)3 (410)1 = 03456,.

16

66.Монету наудачу подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а)два раза; б) менее двух раз; в) не менее двух раз; г) более двух раз.

67.Найти вероятность того, что случайное событие А появится: а) пять раз; б) не менее пяти раз в шести одинаковых независимых испытаниях, если вероятность появления случайного события А в одном испытании равна р=0,4.

68.Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна р=0,7. Стрелок делает десять выстрелов. Определить вероятность того, что у него будет: а) пять попаданий; б) более пяти попаданий; в) хотя бы одно попадание; г) хотя бы один промах.

69.В семье восемь детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) половина мальчиков; б) более половины мальчиков; в) менее половины мальчиков; г) не менее трех, но и не более пяти мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

70. Два равносильных шахматиста играют матч из нескольких партий. Что вероятнее для любого из них: выиграть две партии из четырех или - три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются) ?

71.Монета бросается: а) пять раз; б) нечетное число раз. Чему равна вероятность четного числа появлений «герба»?

72.Монета бросается: а) шесть раз; б) четное число раз. Чему равна вероятность нечетного числа появлений «герба»?

73.Два баскетболиста бросают по четыре раза мяч в корзину. Вероятность попадания при одном броске у первого баскетболиста равна р

1 = 0,7, у второго баскетболиста - р2 = 06, . Определить вероятность того, что у них будет равное число попаданий.

74.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле у первого

стрелка равна р1 = 04, , а у второго - р2 = 03, . Стрелки делают по три выстрела. Выигрывает приз тот, у которого будет больше попаданий. Определить вероятности выигрыша приза для каждого из стрелков. Какова вероятность того, что приз не будет вручен?

75.Проводится четыре независимых испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью 0,7. Если событие А

17

произошло менее двух раз, то некоторое событие В наступает с вероятностью 0,1. Если событие А произошло два раза, то событие В наступает с вероятностью 0,5, и, наконец, если событие А произошло более двух раз, то событие В наступает с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что событие В произойдет.

§ 5. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Для большого числа повторных независимых испытаний n при вычислении веро-

возникают значительные арифметические трудности. Преодолеть их позволяют локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа, которые используют тот факт,

аппроксимирует биномиальное распределение.

Локальная теорема. Если вероятность появления события в единичном испытании р удовлетворяет неравенству 0<р<1, то для k таких, что k − np = ο ((npq)23 ) будет

Это приближенное неравенство будет тем точнее, чем больше будет n. Интегральная теорема. Если вероятность появления события в единичном испыта-

нии р удовлетворяет неравенству 0<р<1, то будет справедливо приближенное равенство:

- функция Лапласа. Таблицы значений функции Лапласа для значений x от 0 до 5 даются в Приложении. Функция Лапласа - нечетная, то есть: Φ(−x)=−Φ(x) и для значений аргумента x больших пяти принимают Φ(x)=0,5.

76.Некоторое событие А в каждом из 243 повторных независимых испытаний происходит с вероятностью р=0,25. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) 60 раз; б) 65 раз; в) 70 раз.

77.Найти вероятность того, что событие А наступит: а) 1440 раз; б) 1464 раза; в) 1392 раза в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

78.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятности того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 75 раз; б) не менее 75 раз.

18

79.Производится 2400 испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с вероятностью р=0,6. Определить вероятность того, что число наступлений события А будет заключено в пределах: а) от 1404 до 1476; б) от 1440 до1512; в) от 1476 до 1548.

80.Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что: а) среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков; б) среди

500новорожденных окажется 250 мальчиков.

81.Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что:

а) среди 100 новорожденных мальчиков будет не менее 50, но и не более 52;

б) среди 500 новорожденных мальчиков будет не менее 250, но и не более 260;

в) среди 1000 новорожденных мальчиков будет не менее 500, но и не более 520.

82.Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее, чем 320 раз; б) более 320 раз; в) не менее, чем

200раз; г) не менее, чем 296 раз, но и не более, чем 344 раза.

83.В страховой компании застраховано на некоторый период времени

10000 лиц одинакового возраста и одной социальной группы. В среднем вероятность смерти каждого застрахованного лица в течение этого периода равна р=0,006. Каждое лицо при заключении договора о страховании вносит 15 рублей и, в случае его смерти до истечения срока страхования, его родственники получают от страховой компании 1000 рублей. Определить вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) прибыль страховой компании составит не менее 50

000рублей; в) прибыль страховой компании составит не менее 75 000 рублей.

84.Всхожесть семян составляет 80%. Сколько семян нужно посеять, чтобы с уверенностью не менее, чем 0,9 можно было ожидать, что получится не менее, чем 80 ростков?

85.Для выполнения плана нужно сделать 150 доброкачественных изделий. Вероятность того, что из заготовки получится доброкачественное изделие равна 0,9. Сколько нужно взять заготовок, чтобы с вероятностью не менее, чем 0,98 обеспечить выполнение плана?