Абанин, Калиниченко. Целые функции

òàê êàê (tzk0 +(1−t)zk00) D (k N) в силу выпуклости D. Следовательно,

D выпукло в C. B

Åñëè G произвольное множество комплексной плоскости C, то по нему можно определить некоторое выпуклое множество F , его содержа- щее. Именно, пусть BG класс всех выпуклых множеств комплексной плоскости, содержащих G. Ясно, что этот класс не пуст, так как он со-

держит, по крайней мере, всю плоскость C.

\

F BG

содержащих данное множество G C называется выпуклой оболочкой множества G и обозначается через conv G. Замыкание выпуклой оболочки conv G называется замкнутой выпуклой оболочкой множества G

и обозначается через conv G.

Лемма 20.5. Если G C, то conv G есть множество всех выпуклых комбинаций точек из G.

C Согласно лемме 20.1 conv G есть выпуклое в C множество. Так как conv G содержит G, то по лемме 20.3 оно должно содержать и все точки вида

z = λ1z1 + λ2z2 + . . . + λmzm ,

Xm

ãäå zi G, λi > 0 (i = 1, 2, . . . , m) è λi = 1. Другими словами, conv G

i=1

содержит все выпуклые комбинации точек из G. Нетрудно убедиться, что множество точек такого вида само выпукло в C. Èòàê, conv G содержит множество точек вида (20.1), а, с другой стороны, по определению само должно в нем содержаться. Лемма доказана. B

Лемма 20.6. Выпуклая оболочка множества G C является наименьшим выпуклым множеством в C, содержащим G.

C Согласно лемме 20.1 conv G выпуклое в C множество. Предположим, что conv G не является наименьшим выпуклым множеством из BG. Тогда существуют множество F1 BG и точка z0 conv G такие,

вает лемму. B

Лемма 20.7. Пусть G замкнутое выпуклое множество точек комплексной плоскости и z0 не принадлежит G. Тогда существует прямая l, по отношению к которой множество G и точка z0 лежат в различных полуплоскоскостях.

C Положим d = inf |z0 − z|, òî åñòü d расстояние от множества G

z G

до точки z0. По условию z0 не принадлежит G. Поэтому, учитывая еще замкнутость G, заключаем, что d > 0. Кроме того, существует точка ξ0 G, для которой |z0 − ξ0| = d. Проведем через точку ξ0 прямую l0 перпендикулярно отрезку [z0, ξ0]. В полуплоскости, где лежит точка z0, нет точек множества G.

pz0ppz l0

@

@ξ0

Действительно, допустив существование такой точки z, мы, ввиду выпуклости множества G, должны отнести к нему и весь отрезок [ξ0, z]. Однако, расстояние от z0 до этого отрезка сторого меньше d (перпендикуляр короче наклонной), что противоречит определению числа d. Чтобы закончить доказательство, нужно еще немного сдвинуть прямую l0 параллельно самой себе в направлении точки z0. B

Все ли выпуклые множества из BG следует рассматривать при изу- чении замкнутой выпуклой облочки множeства G? Ответ на этот вопрос дает следующая лемма.

Лемма 20.8. Замыкание выпуклой оболочки множества G C совпадает с пересечением всех замкнутых полуплоскостей Π, содержащих

Π BG

жащая G. Тогда DG conv G è DG замкнуто. Предположим, что DG не совпадает с conv G. Тогда существует точка z0 DG такая, что z0 íå принадлежит conv G. Отсюда, согласно лемме 20.7, существует прямая l

такая, что conv G è z0 лежат в разных полуплоскостях относительно l .

pz0 l

Π1

Пусть Π1 замкнутая полуплоскость, границей которой является l, ñî-

держащая conv G (а значит и G), и не содержащая точку z0. Поскольку Π1 DG, òî z0 Π1. Полученное противоречие доказывает лемму. B

Лемма 20.8 позволяет в ряде случаев упростить отыскание выпуклых оболочек множеств. Рассмотрим

Пример 11. Найти выпуклую оболочку следующих множеств:

a) G = {z0} (z0 C);

á) G = {z1, z2} , z1 , z2 C;

â) G = {z1, z2, . . . , zn0 }, zi C (i = 1, . . . , n0).

CИмеем

a)conv G = {z0};

á) conv G = {z C : z = tz1 + (1 − t)z2 , t [0, 1]}, то есть выпук-

лая оболочка множества, сосотоящего из двух точек комплексной плоскости, совпадает с прямолинейным отрезком, соединяющим их. Этот факт следует из того, что каждая полуплоскость, содержащая

точки z1 è z2, содержит и отрезок, их соединяющий;

â) conv G совпадает с наименьшим выпуклым многоугольником, содержащим G, вершины которого принадлежат G. B

Упражнение 13.

1.Пусть Q выпуклый компакт и KR = {z : |z| < R}. Докажите, ÷òî Q + KR выпуклая ограниченная область (открытое множество).

2.Пусть Q выпуклый компакт. Докажите, что для любой точки

z C \ Q справедливо равенство ρ(z, ∂Q) = ρ(z, Q), ãäå

ρ(z, X) = inf{|z − z0| : z0 X} −

расстояние от точки z до произвольного множества X комплексной плоскости.

3.Докажите, что арифметическая сумма выпуклых компактов есть выпуклый компакт.

4.Докажите, что граница любого выпуклого компакта является спрямляемой выпуклой кривой.

21. Опорная функция множества

Определение 21.1. Пусть G произвольное непустое подмножество комплексной плоскости C. Функция

kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) : z G (ϕ [0, 2π]) (21.1)

äåì ëó÷ {z : arg z = ϕ} и из точки z0 опустим на него перпендикуляр. Найдем удаление точки M основания этого перпендикуляра от на- чала координат O. При этом удаление считается положительным, если M лежит на {z : arg z = ϕ}, и отрицательным, если M лежит на про-

âñåõ z0 G. Поскольку |z0| cos(θ − ϕ) = Re(|z0|ei(θ−ϕ)) = Re(z0e−iϕ) , òî OM = Re(z0e−iϕ). Следовательно, kG(ϕ) это наибольшее (с учетом знака) удаление от начала координат прямых, перпендикулярных лучу {z : arg z = ϕ} и проходящих хотя бы через одну точку множества G.

Заметим, что для любого подмножества G комплексной плоскости его опорная функция kG принимает значения из промежутка (−∞; +∞].

Определение 21.2. Åñëè kG(ϕ) R при некотором ϕ, то прямую lϕ, задаваемую уравнением

опорной полуплоскостью множества G в направлении ϕ.

Заметим, что опорная прямая lϕ множества G в направлении ϕ (в слу- чае существования) перпендикулярна лучу {z : arg z = ϕ} (покажите) и

удалена от начала координат на величину kG(ϕ) (с учетом знака). Определение 21.3. Пусть kG(ϕ) R при некотором ϕ. Åñëè ñóùå-

ствует такая точка zϕ G, ÷òî

то ее называют точкой опоры множества G в направлении ϕ. Функция Re(ze−iϕ) гармонична на C и, тем более, непрерывна на G.

Поэтому, если G компакт, то для любого ϕ значение kG(ϕ) есть число и при этом существует zϕ G, для которого kG(ϕ) = Re zϕe−iϕ . Кроме

того, согласно принципу максимума гармонической функции точка zϕ обязана принадлежать ∂G.

Следует отметить, что произвольное множество G может иметь в данном направлении несколько точек опоры. При этом, если G выпукло,

то множество его точек опоры в любом направлении является отрезком (возможно, вырожденным, то есть точкой).

Пример 12. Найти опорную функцию следующих множеств:

a) G = {z0}, z0 C;

á) G = {z C : |z| 6 R0} (R0 > 0);

â) G = {z C : z = iy , |y| 6 a} (a > 0 ); ã) G = {−ia, ia} (a R\{0}).

C

a) Пусть z0 = |z0|eiϕ0 . Тогда для любого ϕ [0, 2π]

kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) = Re |z0|ei(ϕ0−ϕ) = |z0| cos(ϕ − ϕ0) .

z G

б) Пусть z = reiθ. Тогда для любого ϕ [0, 2π]

Заметим, что если G1 = {z C : |z| < R0}, òî kG1 (ϕ) = R0 ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], òî åñòü kG(ϕ) = kint G(ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].

в) При любом ϕ [0, 2π]

kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) = sup Re(iye−iϕ) = sup (y sin ϕ) =

z G z G z G

г) В данном случае, при любом ϕ [0, 2π]

kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) = sup{−a sin ϕ , a sin ϕ} = a| sin ϕ| . B

z G

Отметим два полезных соотношения. Согласно примеру 12а)

Далее, пусть α1 , α2 R , z1 , z2 C. Имеем

k{α1z1+α2z2}(ϕ) = Re (α1z1 + α2z2)e−iϕ = α1 Re z1e−iϕ +α2 Re z2e−iϕ =

Установим некоторые свойства опорных функций множеств относительно основных теоретико-множественных операций.

Лемма 21.1. Если G1 G2 C, òî

kG1 (ϕ) 6 kG2 (ϕ), ϕ [0, 2π] .

C В самом деле, из вложения G1 G2 следует, что

kG1 (ϕ) = sup Re(ze−iϕ) 6 sup Re(ze−iϕ) = kG2 (ϕ)

z G1 z G2

ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]. B

требуемое.

Замечание. Лемма 21.2 точна в том смысле, что существуют мно- жества G1 è G2 такие, что в (21.7) имеет место строгое неравенство.

min {kG1 (ϕ), kG2 (ϕ)} = min {a| cos ϕ|, b| sin ϕ|} > 0

ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].

Лемма 21.3. Пусть G1 è G2 произвольные подмножества комплексной плоскости C. Тогда

kG1 S G2 (ϕ) = max {kG1 (ϕ), kG2 (ϕ)} , ϕ [0, 2π] .

= max {kG1 (ϕ), kG2 (ϕ)} .

Лемма доказана. B

Следствие. Если Gi (i = 1, 2, . . . , n) произвольные подмножества

[n

â C è G := Gi, òî kG(ϕ) = max kGi (ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].

16i6n

i=1

Заметим (см. примеры 12в) и 12г)), что опорная функция множества, состоящего из двух точек −ia è ia, ãäå a R\{0}, совпадает с опорной

функцией выпуклой оболочки этого множества, которая является отрезком, соединяющим точки −ia è ia. Этот факт имеет место и в общем

случае. Именно, справедлива

Лемма 21.4. Опорные функции множества G C и его выпуклой оболочки conv G совпадают.

C Поскольку всегда G conv G, то при любом ϕ [0, 2π]

C другой стороны, если z conv G, то согласно лемме 20.5 найдутся точки z1, z2 G и число t [0, 1] такие, что

z = tz1 + (1 − t)z2 ,

то есть найдется отрезок, содержащий точку z, с концами в точках z1 è z2 (возможно, что z1 = z2). Отсюда по формуле (21.6)

k{z}(ϕ) = tk{z1}(ϕ) + (1 − t)k{z2}(ϕ) , ϕ [0, 2π] ,

z convG имеем

k{z}(ϕ) 6 tsup k{z1}(ϕ)+(1−t) sup k{z2}(ϕ) = (t+1−t)kG(ϕ) = kG(ϕ) , ϕ [0, 2π] .

z conv G

Учитывая предыдущее, получаем, что при всех ϕ [0, 2π] kG(ϕ) = kconv G(ϕ) . B

88 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Отметим, что замечание к примеру 12б) носит более общий характер. Именно, справедлива

Лемма 21.5. Опорная функция любого множества G C совпадает с опорной функцией его замыкания G.

C Доказательство проведите самостоятельно. B

Изучим степень изменения опорной функции при малых ½возмущениях“ множества.

Определение 21.3. Пусть G C. Назовем ε -расширением ножества G объединение всех открытых кругов радиуса ε > 0 с центрами в точках, принадлежащих G. Будем обозначать его через Gε .

Лемма 21.6. Пусть G C и Gε его ε -расширение, kG(ϕ) è kGε (ϕ) опорные функции множеств G и Gε, соответственно. Тогда

kGε (ϕ) 6 kG(ϕ) + ε , ϕ [0, 2π] .

C Пусть ζ Gε. Согласно определению этого множества существует точка z G такая, что |z − ζ| < ε .

Из (21.6) следует, что

k{ζ}(ϕ) = k{z}(ϕ) + k{ζ−z}(ϕ) , ϕ [0, 2π] .

Отсюда, поскольку всегда k{z}(ϕ) 6 |z| ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], òî k{ζ}(ϕ) 6 k{z}(ϕ) + |ζ − z| < k{z}(ϕ) + ε , ϕ [0, 2π] ,

и, тем более, k{ζ}(ϕ) < sup k{z}(ϕ) + ε = kG(ϕ) + ε ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].

z G

Следовательно, kGε(ϕ) = sup k{ζ}(ϕ) 6 kG(ϕ)+ε ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]. B

G

плексной плоскости. Однако, как это вытекает из лемм 21.4 и 21.5, с точки зрения использования опорных функций, имеет смысл ограни- читься замкнутыми выпуклыми множествами. При этом, как будет ясно из дальнейшего, для замкнутых выпуклых множеств опорная функция является характеристикой, обладающей дополнительными полезными свойствами. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые из этих свойств в случае выпуклых компактов.

22. Свойства опорной функции выпуклого компакта

Âданном параграфе мы будем рассматривать ограниченные замкнутые выпуклые множества в C, то есть выпуклые компакты.

Лемма 22.1. Если G1 è G2 выпуклые компакты в C, то kG1+G2 (ϕ) = kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ) (ϕ [0, 2π]) .

C Зафиксируем ϕ [0, 2π]. Åñëè z1 G1, z2 G2, òî

Re (z1 + z2)e−iϕ = Re(z1e−iϕ) + Re(z2e−iϕ) 6 kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ) .

Поэтому при всех z G1 + G2

Re ze−iϕ 6 kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ) .

Далее, поскольку kGi (ϕ) числа (i = 1, 2), то из определения опорной функции следует, что

Таким образом, ε > 0 zϕ = zϕ(1) + zϕ(2) : zϕ (G1 + G2) è

Re zϕe−iϕ

Следовательно, по характеристическому свойству точной верхней грани множества

òî åñòü kG1+G2 (ϕ) = kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ). B

Лемма 22.2. Пусть G1 è G2 выпуклые компакты в C. Для того чтобы G1 G2, необходимо и достаточно, чтобы их опорные функции kG1 (ϕ) è kG2 (ϕ), соответственно, удовлетворяли неравенству

kG1 (ϕ) 6 kG2 (ϕ) , ϕ [0, 2π] .

C Необходимость следует непосредственно из определения опорной

функции.

Для доказательства достаточности можно, не ограничивая общности, предположить, что начало координат является точкой множества G2 . Предположим, вопреки доказываемому, что существует точка z0 G1, которая не принадлежит G2. Проведем прямую l, разделяющую точку z0 и компакт G2 (существование такой прямой установлено в лемме 20.7). Запишем уравнения прямой l в нормальном виде:

x cos θ + y sin θ − p = 0 ,