Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Фарковка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

2.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

б) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения: yîí yîî y÷í .

1. Найдем общее решение однородного уравнения y y 0. Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного

дифференциального уравнения:				k 2 1 0.Найдем корни				этого квадратного
уравнения:	k i. Так	как в		случае D < 0 общее решение линейного
однородного	дифференциального				второго		порядка	с	постоянными
коэффициентами имеет		вид y	îî	e x (C sin x C		2	cos x) ,	то	общее решение
					1

исходного уравнения будет иметь вид: yîî C1 sin x C2 cos x( 0, 1) . 2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения

y y sin 2x . Так как f(x) =		sin 2x ,	то частное			решение данного
дифференциального уравнения имеет вид:
y			0,	2, t	0, l		0) .
	÷í = y = Asin 2x B cos 2x (

Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

y 2Acos 2x 2B sin 2x;

y 4Asin 2x 4B cos 2x;

4Asin 2x 4B cos 2x Asin 2x B cos 2x sin 2x;

Приведя подобные слагаемые в левой части уравнения, получим:

3Asin 2x 3B cos 2x sin 2x .

Откуда B 0;	A	1	.

		3

Тогда y÷í = y = 13 sin 2x .

3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид: y C1 sin x C2 cos x 13 sin 2x.

в) Общее решение данного линейного постоянными коэффициентами найдем, соответствующего однородного уравнения неоднородного уравнения: yîí yîî y÷í .

1. Найдем общее решение однородного

уравнения	второго	порядка с
как сумму	общего	решения
и частного	решения	исходного
уравнения y y 0.		Для этого

составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного


дифференциального	уравнения: k 2 k 0. Найдем корни				этого	квадратного
уравнения: k1 0,k2	1. Так как в случае D >		0	общее решение линейного
однородного дифференциального		второго		порядка	с	постоянными

коэффициентами имеет вид y		îî	C ek1x C			ek2 x ,	то общее решение исходного
		îî	1		2
уравнения будет иметь вид: y	îî		C e0 x	C	e1 x C C			ex .
	îî		1	2		1	2

2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения

y y x 2 .

Так как f(x) =

x 2 ,

то

частное

решение данного

дифференциального уравнения имеет вид:

÷í = y = (Ax

0, t

1, l

1) .

B)x

(

Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных

коэффициентов.

y 2Ax B;

y 2A. Подставляя в исходное уравнение y/ , y//

, получаем:

2A – 2Ax – B = x + 2. Приравнивая коэффициенты при

x1 и

x0 , получим:

x1 :

– 2Ax =

x0 :

2A – B =

Откуда находим: A =

, B = – 3.

Тогда частное решение имеет вид: y÷í = y 12 x2 3x.

3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

y C C

e x

3x.

îí

г) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с

постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения

соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного

неоднородного уравнения:

yîí

yîî

y÷í .

1. Найдем общее решение однородного уравнения y 7 y 6y 0. Для этого

составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного

дифференциального

уравнения:

k 2 7k 6 0.

Найдем

корни этого

квадратного уравнения: k1 1,k2 6.

Так как в случае D > 0 общее решение

линейного однородного дифференциального

второго порядка с постоянными

коэффициентами имеет вид y

îî

C ek1x C

ek2 x ,

то общее решение исходного

уравнения будет иметь вид: y

îî

C ex

e6 x .

2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения

y 7 y 6y (x 2)ex . Так как f(x) =

(x 2)ex , то частное решение данного

дифференциального уравнения имеет вид:

÷í = y = e

(Ax

Bx)

0, t

1, l

1) .

B)x

(

Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных

коэффициентов.

y ex (Ax 2 Bx) ex (2Ax B);

y ex ( Ax 2 Bx) ex (2Ax B) ex (2Ax B) 2Ae x

= ex ( Ax2 Bx 4Ax 2A 2B) . Подставляя в исходное уравнение

y, y/ , y// ,

получаем:

ex ( Ax2 Bx 4Ax 2A 2B) - 7

(ex ( Ax2 Bx) ex (2Ax B)) +

+ 6 ex ( Ax2 Bx) = (x 2)ex . Вынесем e x в левой части уравнения за скобки,

разделим обе части уравнения на e x и уравняем коэффициенты при x2 , x1 и

x0 . Тогда получим: x2 : A - 7A + 6A = 0,

x1 : B + 4A – 7B – 14A + 6B = 1, x0 : 2A + 2B – 7B = – 2.

После упрощений получаем: x2 : 0 = 0,

x1 : – 10A = 1, откуда A = - 0,1.

x0 : 2A – 5B = – 2. Подставляя вместо A = - 0,1, получим B = 0,36. Таким образом, частное решение имеет вид: y÷í = y ex ( 0,1x2 0,36x).

3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид: y C1ex C2e6 x ex ( 0,1x2 0,36x).

8. Тема 7. Ряды.

Краткие теоретические сведения

Выражение un u1 u2 u3 ... un .... называется рядом.

n 1

Слагаемые u1, u2 , u3 ,...un ... называются членами ряда, un - общий член ряда.

Ряд называется числовым, если все его члены являются числами. Ряд называется функциональным, если все его члены – функции.

Сумма конечного числа первых n членов ряда называется n–й частичной

суммой ряда: Sn u1 u2 ...un ui .

i 1

Если

существует

конечный

предел

S lim Sn

последовательности

частичных

сумм

ряда,

то ряд

называется сходящимся,

а число S

n 1

называется суммой ряда.

Если

lim Sn

не

существует

или

равен бесконечности,

то

ряд

un называется расходящимся.

n 1

Необходимый

признак

сходимости

числового

ряда:

Если

ряд

un сходится, то

lim un

0 .

n 1

Следствие

(достаточный

признак расходимости числового

ряда):

Если

lim un 0

или не существует,

то числовой ряд un расходится.

n 1

Ряд 1

...

называется гармоническим.

n 1

Теорема: Гармонический ряд расходится.

Ряд un называется знакоположительным (неотрицательным), если для

n 1

любого натурального n un 0 .

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:

Первый признак сравнения: Пусть даны два знакоположительных ряда un

	n 1

и vn , и пусть для любого натурального n	выполняется условие: un vn .
n 1

Тогда, если ряд vn

- сходится,

то и ряд un сходится; а если ряд

n 1

расходится, то и ряд vn

расходится.

n 1

Второй

признак

сравнения

(предельный):

Пусть

даны

два

знакоположительных

ряда

и vn

, и пусть

существует lim

A ,

n 1

n vn

A 0, A ,

тогда

оба ряда

одновременно

сходятся

или

n 1

расходятся.

Признак

Даламбера:

Пусть

дан

знакоположительный

ряд

n 1

un 1

существует предел lim

l .

Тогда ряд

будет сходиться при l

< 1

n 1

расходиться при l > 1.

Радикальный признак Коши: Пусть дан знакоположительный ряд

n 1

l .

существует предел lim

Тогда ряд

будет сходиться при l

< 1

n 1

расходиться при l > 1.

Интегральный признак Коши: Если (x) - непрерывная положительная

функция,	убывающая	на	промежутке	[1;	+ ),	то	ряд

(1) (2) ... (n) ... (n)			и несобственный		интеграл		(x)dx
		n 1				1
одновременно сходятся или расходятся.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида

an x x0	n a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ... , где a0 , a1,...an ,... и x0

n 0

- действительные числа.

Множество значений переменной x, при которых соответствующий числовой ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда находится по следующему плану:

1. Находится радиус сходимости степенного ряда по формулам:

R lim	an		R	1

	an 1	или				.
n		или		lim n	an	.
n				lim n	an
				n

2. Записывается интервал сходимости степенного ряда: ( x0 - R; x0 + R).

3.Исследуется сходимость соответствующего числового ряда при значениях x = x0 - R; x = x0 + R.

4.С учетом проведенного исследования записывается область сходимости исходного степенного ряда.

Задания к расчетно-графической работе

Задание 7.1. Исследовать сходимость ряда.

а)

n ;

б) n3

1 ;

а)

nn!

;

б) n 1

;

n 1

n 1 3

n 1 n 1

n 1 3

n 1 2 3

2n2 3n

в)

; г)

в)

; г)

n 1

а)

;

б)

;

а)

;

б)

;

n ln n

n 1

n 2

n ln n

n 1

n 2

n 3

г)

в)

;

г)

в)

;

n 1

а)

nn! ;

б)

22n ;

а)

nn!

;

б) n2 5 ;

n 1

n 1 n

n 1 n 2

2n 1 n2

в)

;

г)

в)

;

г)

n 1

n 5

n 1

n 1 !

а)

;

б)

;

а)

;

б)

;

n2 3

n 1

3n2 1

в)

;

г)

n ln

в)

;

г)

n 1

n 2

n 1 6n 4

n 1 2 n 3

10.

а)

;

б)

;

а)

;

б)

;

n ln 2

n 1

2 n ln 4

n 1

n 2

в)

г)

;

в)

;

г)

n 1

Задание 7.2. Найти область сходимости степенного ряда.

1.		x 7	n		6.		x 10		n
	а)			;		а)		n ;
	а)	n!		;		а)	2	n ;
	n 1	n!				n 1	2

	б) n! x 9 n .					б) n! x 4 n .
	n 1					n 1

x 9

x 6

а)

;

а)

;

n 1

б) n! x 2 n .

б) n! x 9 n .

n 1

x 5

x 4

а)

;

а)

;

n 1

б) n! x 4 n .

б) n! x 6 n .

n 1

x 4

x 10

а)

;

а)

;

n 1

б) n! x 6 n .

б) n! x 7 n .

n 1

x 2

10.

x 6

а)

;

а)

;

n 1

б) n! x 10 n .

n 1

Пример выполнения заданий по теме 7

Задание 7.1.

Исследовать сходимость ряда.

б)

а)

;

в)

;

г)

;

ln n

n 1

n 2

n 1

е)

ж)

з)

n 1

д)

;

n ln

n 1

n 2

n 1

Решение.

										1
а) Так как		1	1	для любого натурального n, а ряд						1		сходится, как ряд
		1	1								n
											n
	n2n		2n					n 1		2
						1			1
геометрической прогрессии с q =						1	< 1, то и ряд		1			тоже сходится по
геометрической прогрессии с q =						2	< 1, то и ряд		n			тоже сходится по
						2		n 1	n2
первому признаку сходимости знакоположительных рядов.
												n
б) При n > 1		ln n < n, поэтому			1		1	. Гармонический ряд					1	расходится,
					1		1

					ln n		n					1 n

поэтому

первому

n
1 .
2	ln n

	n
по свойствам числовых рядов расходиштся и ряд		1	. Тогда по

	2 n
признаку сравнения знакоположительных рядов	расходится и ряд

в)

данного

ряда

общий

член

; un 1

n 1

Найдем

2n 1

un 1

(n 1)2n

n 1

lim

1 . Тогда по признаку Даламбера ряд

2n 1 n

сходится.

г) Воспользуемся признаком Даламбера.

(n 1)n

(n 1)

n 1

(n 1)

. Тогда lim

un 1

lim

n 1

1)!

n!(n 1)

n un

	(n 1)n	n 1		n
= lim		lim
	nn
n		n	n

		n!
	1 n
lim 1		e > 1, то есть по признаку Даламбера

n	n

ряд расходится.

2n2 1

д) У данного ряда

. Применим радикальный признак Коши и

2n2

lim

1. Значит, исходный ряд сходится.

найдем lim n un

n 3n2

е) Применим необходимый признак сходимости:

1 n

lim un

lim 1

e 0 , поэтому данный ряд расходится.

ж) Исследуем сходимость ряда

с помощью интегрального признака

n ln

n 2

1
Коши. Рассмотрим функцию (x)		,
	x ln3 x
непрерывной, положительной и убывающей.

Исследуем сходимость несобственного интеграла Найдем сначала

ln b

t ln x, dt

ln 2,t

ln b

x ln 3 x

ln 2

(ln b) 2

(ln 2)

2 ln 2 b

2 ln 2 2

t 3

при			x 2	она				является
dx			b		dx
dx			lim		dx			.

x ln	3	x		x ln		3
x ln		x	2	x ln			x
			b
t 3dt t 2					\|lnln b2
ln b

ln 2	2

b	dx				1			1				1			1
Вычислим lim	dx			lim(	1			1			) 0	1			1			.

	x ln	3	x		2ln	2			2	2		2ln	2			2	2
2	x ln		x	b	2ln		b 2ln			2		2ln		2 2ln			2
b				b

Таким образом, несобственный интеграл

сходится, значит и ряд

x ln 3 x

сходится.

n 2

n ln

з)

У данного ряда

общий член ряда

Составим

n 1 n5 3

n5 3

вспомогательный

ряд

с vn

Ряд

является рядом

Дирихле

, который при

= 3 > 1 сходится. Найдем

lim

n vn

3 n

n n

n5 n3

lim

= 1. Так как 1 0

1 , то по второму

5 3

n n5 3

(предельному) признаку сходимости рядов ряды

ведут

n 1

себя

одинаково,

а так как

ряд

сходится,

то

ряд

также

n 1

сходится.

Задание 7.2.

а) n! x 3 n ;

n 1

Найти область сходимости степенного ряда.

	x 8			x 5		n
	n					n
б)		;	в)		n .
б)	n!	;	в)	3	n .
n 1	n!		n 1	3

Решение.

а) Радиус сходимости данного степенного ряда R найдем по формуле

R = lim

n 1

Так как a

= n!, a = (n +1)!, то R = lim

lim

= 0.

(n 1)!

n 1

n (n 1)

n n 1

Поэтому область сходимости данного степенного ряда будет состоять из одного числа: x {-3}.

б) Так как

, то R = lim

= lim

n 1

(n 1)!

n 1

(n 1)!

= lim(n 1)

lim

= . Поэтому

область сходимости

степенного ряда

n n!

будет множество всех действительных чисел: x (- : + ).

x (2: 8).

x 5

в) 1.

У данного степенного ряда

a n

, a n 1 =

n 1

Найдем

радиус

сходимости

данного

степенного

ряда:

lim

n 1

lim

3n 3

= 3.

3n 3

Найдем

интервал

сходимости

данного

степенного

ряда:

x 5

3 3 x 5 3 3 5 x 3 5 2 x 8 .

Таким

образом,

интервал сходимости данного ряда (2; 8).

3. Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала.

8 5 n

а) При

x = 8 получим

числовой ряд

= 1 . Так как

n 1

lim un lim1

1 0, то по необходимому признаку сходимости числовых

рядов получившийся числовой ряд расходится, поэтому число x = 8

не входит в

область сходимости степенного ряда.

2 5 n

( 3)n

( 1)n 3n

б) При

2 получим числовой ряд

n 1

lim( 1)n

= ( 1)n . Так как lim un

0 (данный передел не существует), то по

n 1

необходимому признаку сходимости числовых рядов получившийся числовой ряд расходится, поэтому число x = 2 не входит в область сходимости степенного ряда.

4. Таким образом, область сходимости данного степенного ряда

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.11.2019176.64 Кб0Учет в банках.doc
#
13.02.201526.72 Кб14Учимся философствовать.docx
#
06.11.2019148.48 Кб10учить!.doc
#
15.11.201946.56 Кб0УЧР.docx
#
24.08.201984.48 Кб1Учредит. договор.doc
#
13.02.20152.09 Mб51Фарковка.pdf
#
13.02.201574.24 Кб10Фармбизнес на болезнях.doc
#
11.03.2016319.33 Кб5ФГОС .pdf
#
13.02.2015214.02 Кб6ФГОС 230400.doc
#
11.03.2016211.46 Кб23ФГОС 39.03.02 Социальная работа.doc
#
11.03.201668.66 Кб64ФГОС ДО.doc