Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

kp1engineering

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2015

Размер:

988.26 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

где	– приращение угла поворота за промежуток времени t .
	10. Угловое ускорение равно первой производной угловой скоро-
сти по времени t

		d ω	.
			.
		dt
11. Кинематическое уравнение равномерного вращения относи-
тельно оси z
	0		zt ,
где – угол поворота в момент времени t;				0 – начальное значение угла
поворота (угол поворота в момент времени t				= 0); z – проекция вектора
угловой скорости на ось z.
При равномерном вращении	z	= const,		z = 0.
Равномерное вращательное	движение			характеризуется периодом

вращения Т, то есть промежутком времени, за которое точка (тело) совершает один полный оборот:

T	2π	.

	ωz

Количество оборотов, совершаемых точкой (телом) при равномерном вращении в единицу времени, называют частотой вращения

n	1		z	.

	T	2

12. Кинематическое уравнение равнопеременного движения относительно оси z

					zt 2
		0	0zt			,
		0	0zt	2		,
				2
где	0z	– проекция вектора угловой скорости на ось z в момент времени
t = 0;	z	– проекция вектора углового ускорения на ось z.
	При равнопеременном вращении			z = const и угловая скорость точки
(тела) определяется уравнением

z 0 z zt .

13.Связь между линейными и угловыми величинами выражается формулами:

υ Rω ;

a R ; an

2 R ,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

14. Среднее значение функции y f t за промежуток времени от t1 до t2 определяется выражением

	1		t	2
< у > =	1			ydt .

	t2	t1 t
				1
Пример 1. Точка движется		по		прямой согласно уравнению

x 6t 0,125 t 3 . Определить среднюю путевую скорость < υ > точки в интервале времени от t1 = 2 c до t2 = 6 c.

Дано: x 6t 0,125 t 3 ; t

2 c; t

6 c .

Найти: < υ >.

Решение. Найдем координаты точки в моменты времени t1 и t2:

0,125 t 3

0,125

11 м ;

6t2

0,125 t23

0,125

9 м .

Проекция вектора скорости на ось x изменяется с течением времени

по закону

υx

0,125 t 3

0,375t 2 .

Найдем значения υx

в моменты времени t1 и t2:

0,375 t 2

0,375

4,5 м/с;

υ2 x

0,375 t22

0,375

7,5 м/с.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что направление движения точки изменяется на противоположное, так как в момент времени t1 = 2 c точка движется в сторону положительного направления оси x (положительное значение υх ), а в момент времени t2 – в противоположном направлении (отрицательное значение υх ). Момент времени t0, когда точка изменяет направление движения, найдем из условия

υx 6 0,375 t02		0 .
Тогда

t0	6	4c .

	0,375
	0,375

Отрицательное значение корня не удовлетворяет условию задачи, поэтому принимаем t0 = 4 c.

Найдем координату точки в момент времени t0:

x0 6t0 0,125 t03 6 4 0,125 43 16 м .

Найдем среднюю путевую скорость

< υ >	S x0	x1	x0 x2		.

	t	t2	t1
Произведем вычисления
< υ >	16 11 16 9			м/с 3м/с.
	6	2

Ответ: < υ >=3 м/с.

Пример 2. Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее ско-

рость зависит от пройденного пути S по закону υ

S , где

– постоян-

ная. Найти угол

между вектором полного ускорения и вектором скоро-

сти в зависимости от S.

Дано: R – радиус окружно-

сти, по которой движется точка;

− зависимость

скорости

от пройденного пути;

– посто-

янная.

Найти:

= f (S).

Решение: Из рисунка 1 вид-

но, что

arctg

(1)

где an , a

– нормальная и танген-

циальная

составляющие

ускоре-

Рис.1

ния.

Нормальная составляющая ускорения равна an

υ2

α 2 S

Тангенциальная составляющая ускорения

dυ

αυ

α2

α S

Подставляя

значения

an и

уравнение

(1),

получим

arctg 2S R .

Анализ размерности показывает, что 2S R величина безразмерная, и убеждает в правдоподобности ответа.

Ответ: arctg 2S R .

Пример 3. Вентилятор вращается с частотой n0 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 оборотов. Какое время t прошло с момента выключения до полной его остановки?

Дано: n0 900 мин 1 15 с 1 ; N = 75.

Найти: t.

Решение: Пусть вентилятор вращается относительно оси z (рис. 2). Так как движение является равнозамедленным, то вектор углового ускоре-

ния направлен противоположно вектору угловой скорости уравнение движения относительно оси z

		zt 2
0	0zt		.
		2

Проекция вектора угловой скорости на ось z изменяется с течением времени по закону

z		0z		zt .
В момент остановки				z	0	, поэтому
				z
			0 z	,
	z		t	,
	z

где t – время движения вентилятора после выключения до остановки.

Подставим это выражение в уравнение (1), учитывая, что 0 :

. Запишем

(1)

0zt

Так как

2 N ; 0 z

2 n0 , то

2 2 N

Рис. 2

2 n0

Выполним проверку размерности

t	N	1		c .

	n0		c 1

Произведем вычисления

t	2	75	10 c .

	15
	15

Ответ: t = 10 c.

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью υ:

p m υ .

2. Второй закон Ньютона

Fd p , dt

где F – результирующая всех сил, действующих на материальную точку. Учитывая, что масса в классической механике есть величина посто-

янная, второй закон Ньютона можно записать так:

F m	d υ	m a ,
	dt

где a − ускорение, которое приобретает материальная точка массой m под

действием силы F .

3. Сила трения скольжения

Fтр N ,

где − коэффициент трения; N – сила нормального давления.

4. Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы с течением времени не изменяется

	n
p	mi υi const,
	i 1

где mi ,υi – масса и скорость i-го тела.

Пример 4. Груз массой 80 кг находится на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 17 . Горизонтально направленная сила вызывает движение груза по плоскости вверх с ускорением 0,20 м/с2. Найти величину этой силы, если коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен 0,25.

Дано: m = 80 кг; = 17 ; а = 0, 20 м/с2; = 0,25; g = 9,81 м/с2.

Найти: F.

Решение. Изобразим рисунок и укажем все силы, действующие на

груз.

На груз действуют 4 силы: m g – сила тяжести; F – горизонтально

направленная сила; Fтр – сила трения скольжения; N – сила нормальной

реакции опоры.

Рассмотрим движение груза в декартовой системе координат. Ось x проведем по направлению движения груза параллельно наклонной плоскости, а ось y – перпендикулярно к ней. Укажем направление вектора уско-

рения a . Запишем уравнение второго закона Ньютона для груза в векторной форме

N m g Fтр F m a .

Запишем это уравнение в проекциях на ось y:

N mg cos Fsin 0 .

Тогда N		mg cos		Fsin	.	Сила
трения	скольжения			пропорцио-
нальна силе нормальной реакции
опоры, поэтому
Fтр	N	mg cos		Fsin .
Запишем			уравнение		(1) в
проекциях на ось x:
Fcos α		Fтр	mg sin α		ma .
Подставляя выражение для Fтр ,
получим:
Fcos α	μ mg cos α			μ Fsin α		mg sin α ma .

Fтр

α m g

Тогда

F	m μg cos α	g sin α a	.

	cosα	μ sin α

(1)

a x

Рис.3

Сделаем подстановку числовых значений

F	80 0,25 9,81 cos17o	9,81	sin17o	0,20	4,9 10	2 Н.
	cos17o 0,25 sin		17o

Ответ: F = 4,9∙102 Н.

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1. Момент инерции материальной точки массой m относительно произвольной оси

I mr 2 ,

где r – расстояние от точки до оси.

2. Момент инерции механической системы, состоящей из n материальных точек, относительно произвольной оси равен сумме произведений масс этих точек на квадраты их расстояний ri до рассматриваемой оси

I Σ mi ri2 ,

i 1

где mi – масса i-ой материальной точки.

3. Момент инерции тела массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) полого тонкостенного цилиндра (обруча) относительно оси цилиндра (для обруча относительно оси, перпендикулярной его плоскости)

I mR 2 ,

где R – радиус цилиндра (обруча);

б) сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

I	1	mR2	,
	2

где R – радиус цилиндра (диска);

в) однородного шара радиусом R

I	2	mR2	;
	5

г) однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему:

I		1	ml 2 ,
	12

где l – длина стержня.

4. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями

I I0 md 2 .

5. Моментом силы F относительно некоторой точки O называют

векторную величину М , которая определяется выражением:

M [ r F ] ,

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы;

[ r F ] – векторное произведение векторов r и F .

Вектор M перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы r и F . Направление вектора M определяют

по правилу правого винта: вектор M направлен в сторону поступательного движения острия правого винта, головка которого вращается по кратчайшему пути от первого множителя ко второму.

Векторы, перпендикулярные плоскости рисунка, изображают кружком с крестиком, если вектор направлен от нас за плоскость рисунка, и кружком с точкой в его центре, если вектор направлен на нас от плоскости рисунка. В соот-

ветствии с этим правилом вектор M изображен на рис. 4 кружком с вписанным в него крестиком.

М	r sin α

Рис.4

Числовое значение вектора M равно

M rF sin α ,

где – угол между направлениями векторов r и F .

6. Моментом силы F относительно оси z называют параллельную этой оси составляющую момента силы относительно точки О (лежащей на оси)

M z r F z .

7. Момент импульса материальной точки относительно точки О

(рис. 5)

L = r p = m r υ ,

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в ту точку пространства, где находится материальная точка массой m;

p m υ – импульс точки.

Числовое значение момента импульса

L r p sin α ,

где – угол между векторами r и p .

8. Моментом импульса относительно оси z называют составляющую

O rsin

L z	по этой оси момента импульса	L от-	Рис. 5
носительно точки О, лежащей на оси:
	L z =	r p	z .
	9. Проекция вектора момента импульса твердого тела (материальной
точки) на ось z
	Lz	I z ω z ,
где	z – проекция вектора угловой скорости на ось z; I z – момент инерции
тела относительно оси z.
	10. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
относительно неподвижной оси

			M	z		d Lz	.
			M				.
						dt
						dt
		Учитывая, что Lz	I z ω z , уравнение динамики вращательного дви-
жения можно записать так:
			M z			I z z ,
где	z	– проекция вектора углового ускорения на ось вращения.
		Уравнения для твердого тела справедливы и для системы тел, если
считать, что момент			импульса		системы тел (материальных точек)
		n						n
L z	Σ L i z , а сумма моментов всех внешних сил M z							Σ M i z .
	i	1						i 1

11. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой механической системы с течением времени не изменяется

	n	n
L z	Σ L i z	Σ Ii z i z const .
	i 1	i 1

Пример 5. Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием силы натяжения невесомой нерастяжимой нити, к концам которой подвешены грузы массами m1 = 0,3 кг и m2 = 0,7кг. Опреде-

лить силы натяжения нити по обе стороны блока.

Дано: m = 0,4кг; m1 = 0,3 кг; m2 = 0,7кг; g = 9,81 м/с2.

Найти: Т1; Т2 .

Решение. Изобразим рисунок и укажем силы, действующие на грузы и блок. На каждый из грузов действуют две

силы: сила тяжести

m g и сила натяже-

ния нити T . Так как m1 < m2 , то первый

груз будет подниматься вверх, а второй –

Т2

опускаться вниз.

Диск будет вращаться

по часовой стрелке.

Из

условия

нерастяжимости

нити

следует,

что

грузы

будут

двигаться с

одинаковым ускорением a. Запишем ура-

внение второго закона Ньютона для пер-

вого и второго грузов в векторной форме

m g T m a ;

g T m

a .

m1 g

m2 g

Запишем эти уравнения в проекци-

ях на ось y

Рис.6

m1g T1

m1a ; m2 g T2

m2a .

Тогда

(1)

Со стороны нити на диск действуют силы натяжения T1

и T2 . Вра-

щающий момент, создаваемый этими силами относительно оси z, проходящей через центр диска и направленной перпендикулярно плоскости рисунка от нас:

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.2019183.81 Кб2kontr_Nasledovanie_zemelnogo_uchastka.doc
#
05.09.20191.17 Mб8Kontr_rab_3_ITPKh.doc
#
17.09.2019173.57 Кб15kOOOOOOOc_33_RGR_DEREVEDENIE (1).doc
#
13.02.20152.59 Mб26Korostovtsev.pdf
#
11.03.201672.19 Кб19Korrektsionnaya_ritmika (1).doc
#
13.02.2015988.26 Кб22kp1engineering.pdf
#
13.02.2015545.27 Кб23kp2engineering.pdf
#
11.03.2016471.55 Кб44kr1.doc
#
11.03.2016269.31 Кб21kr2.doc
#
13.02.20151.44 Mб8KR2_Antona.docx
#
11.03.2016133.63 Кб30KR3.doc