08 ЛДУ 2

При выполнении условий (17)

i 1

Последнее соотношение является тождеством на отрезке [a,b] , поскольку по предположению функции yi x , i 1, n являются решением линейного однородного уравнения

(14).

Таким образом, при выполнении условий (17) функция y(x) , определяемая

формулой (16), является решением линейного неоднородного дифференциального уравнения (13).

Определитель матрицы коэффициентов системы (17) является вронскианом W y1, y2 , , yn , и, следовательно, отличен от нуля на отрезке [a,b] , поскольку

y1, y2 , , yn – фундаментальная система решений однородного уравнения (14). Поэто-

где Ci , i 1, n – произвольные постоянные. Подставляя (19) в (16), находим общее решение уравнения (13).

В частности, для уравнения второго порядка

y a1 (x) y a2 (x) y f (x)

система (17) имеет вид

Решая ее по формулам Крамера, имеем

11