AaG IH3 35 1363 Vladimirov
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра алгоритмической математики
ОТЧЕТ по индивидуальному домашнему заданию № 3
по дисциплине «Алгебра и геометрия»
ТЕМА: СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, МНОГОЧЛЕНЫ И ДРОБНО-
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Студент гр. 1363 |
|
Владимиров П.А. |
|
Преподаватель |
|
Абросимов И.К. |
|
|
|||
|
|
|
|
Санкт-Петербург
2021
ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
Рисунок 1 — Вариант задач ИДЗ
Таблица 1. Ответы к задачам
№Ответ
1= 5,
{= 4,
= −2,= −4.
2 |
1 + 9 = 1, |
|
{−1 + 2 = −1, |
|
−1 − 1 = −3. |
3.
4(x + 1) ∙ (x − 2) ∙ (x − (− 12 + √215 )) ∙ (x − (− 12 − √215 )).
5− 3 + +57 + 2 5−1.
627 − +14 + ( +14 )2.
721 + +12 + ( +12 )2.
8 |
− 2 + |
5 |
|
|
. |
||
|
2−2 −9 |
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЗ
Задача №1.
Решить систему уравнений.
Дано:
2 − 9 − 5 − 3 = −4,
− 5 + − 3 = −5,
{− 2 − 4 + = 1, 3 − 9 − 9 = −3.
Решение:
Перепишем данную систему в матрицу;
|
|
|
|
|
|
|
−3 −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,1(−2) |
|
|||||||||
|
|
2 |
−9 |
−5 |
|
|
|
|
1 |
−5 |
1 |
|
−3 −5 |
3,1(−1) |
|
||||||||||||||||||
|
( |
1 |
−5 |
1 |
|
|
−3 |
| |
−5 |
1,2 |
|
2 |
−9 |
−5 |
|
−3 −4 |
4,1(−3) |
|
|||||||||||||||
|
1 |
−2 |
−4 |
|
|
1 |
|
1 |
) ~ |
( |
−2 |
−4 |
|
1 |
| |
1 |
) |
~ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
−9 |
−9 |
|
|
0 |
|
|
−3 |
|
|
3 |
−9 |
−9 |
|
0 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
−5 |
1 |
−3 −5 3,2(−3) 1 |
|
−5 |
1 |
|
−3 −5 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,2(−6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~ (0 1 −7 3 |
| |
|
|
|
|
(0 1 −7 3 |
| |
|
|
6 |
3( |
|
) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
6 ) |
~ |
|
|
|
) ~16 |
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
3 |
−5 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
16 |
|
−5 |
|
−12 |
|
|
||||||||||
0 |
|
6 |
−12 |
9 |
|
|
12 |
|
|
|
0 |
|
0 |
30 |
|
−9 −24 |
|
|
|||||||||||||||
1 |
−5 |
1 |
−3 |
|
|
−5 |
|
|
|
1 |
−5 |
1 |
|
−3 −5 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
−7 |
|
3 |
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
1 |
−7 |
3 |
|
|
|
6 |
|
4,3(−30) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
~ 0 0 1 − |
|
5 |
| |
− |
3 |
~ |
|
|
0 0 1 − |
|− |
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
16 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
(0 |
|
0 |
30 |
−9 −24) |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
Ранг обычной матрицы равен рангу расширенной матрицы, значит решение есть;
Выполним обратный ход метода Гаусса;
|
1 |
−5 |
|
1 |
|
|
−3 −5 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
3,4(5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
−7 |
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
4(3) |
1 |
−5 |
1 |
|
−3 −5 |
2,4(−3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
3(16) |
0 |
1 |
−7 |
3 |
|
6 |
1,4(3) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
− |
|
|
|− |
|
|
~ |
|
(0 |
0 |
16 |
|
−5|−12) |
~ |
||||||||
|
|
|
|
16 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
−4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(0 |
0 |
|
0 |
|
|
8 |
|
|
− 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 −17 |
|
|
2,3( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
−5 |
1 |
|
|
|
16 |
|
1 |
−5 |
0 |
0 −15 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1,2(5) |
|
||||||||||||||||||||
0 |
1 |
−7 |
|
0 |
|
|
18 |
|
|
|
1,3(− |
|
) |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
4 |
|
|
||||||
|
| |
|
|
) |
16 |
( |
| |
) |
|
|||||||||||||||||||
~ ( |
0 |
16 |
|
|
−32 |
~ |
|
|
|
|
0 |
0 |
16 |
0 |
|
~ |
|
|||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−32 |
|
|
||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
−4 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ (0 |
1 |
0 |
0| |
4 |
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
0 |
16 |
0 |
−32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
0 |
1 |
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем матрицу в систему;
1 = 5,
1 = 4, {16 = −32, 1 = −4;
= 5,
{= 4,
= −2,= −4.
= 5,
Ответ: { = 4,= −2,
= −4.
Задача №2.
Решить систему уравнений.
Дано:
3 + 8 − 3 + 8 = −4,
+ 5 − 2 − 3 = −2,
{+ 3 − + 2 = −1, 2 + 9 − 3 − 3 = −2.
Решение:
Перепишем данную систему в матрицу;
|
3 |
8 |
−3 |
8 |
|
−4 |
|
1 |
5 |
−2 |
−3 −2 |
|
||
( |
1 |
5 |
−2 |
−3 −2 |
1,2 |
3 |
8 |
−3 |
8 |
| |
−4 |
) |
||
1 |
3 |
−1 |
2 |
| |
−1 |
) ~ ( |
1 |
3 |
−1 |
2 |
−1 |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
9 |
−3 |
−3 −2 |
|
2 |
9 |
−3 |
−3 −2 |
|
2,1(−3)3,1(−1)
4,1(−2)
~
1 |
5 |
−2 |
−3 −2 |
|
|
1 |
5 |
−2 |
−3 −2 |
|
3,2(−2) |
||||||
0 |
−7 |
3 |
17 |
| |
2 |
|
2,4 |
0 |
−1 |
1 |
3 |
| |
2 |
) |
4,2(−7) |
||
~ ( |
−2 |
1 |
5 |
1 |
) ~ |
( |
−2 |
1 |
5 |
1 |
|
~ |
|||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
−1 |
1 |
3 |
|
2 |
|
|
0 |
−7 |
3 |
17 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
5 |
−2 |
−3 −2 |
|
|
1 |
5 |
−2 |
|
−3 −2 |
|||||||
0 |
−1 |
1 |
3 |
| |
2 |
|
4,3(−4) |
0 |
−1 |
1 |
|
3 |
| |
2 |
); |
||
~ ( |
0 |
−1 |
−1 |
−3 |
) |
~ |
( |
0 |
−1 |
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
0 |
|
−1 |
−3 |
||||||||||
0 |
0 |
−4 |
−4 −12 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
Ранг обычной матрицы равен рангу расширенной матрицы, значит
решение есть;
Выполним обратный ход метода Гаусса;
|
|
1 |
5 |
−2 |
−3 −2 |
|
2,3(1) |
|
1 |
5 |
0 |
−1 |
4 |
|
|||
|
( |
0 |
−1 |
1 |
3 |
| |
2 |
) |
1,3(−2) |
0 |
−1 |
0 |
2 |
| |
−1 |
1,2(5) |
|
|
0 |
0 |
−1 |
−1 |
−3 |
~ |
( |
0 |
0 |
−1 |
|
) |
~ |
||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
−3 |
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
0 |
9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ (0 |
−1 |
0 |
2 |
|−1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
0 |
−1 |
−1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем матрицу в систему;
1 + 9 = 1, {−1 + 2 = −1, −1 − 1 = −3;
1 + 9 = 1, Ответ: {−1 + 2 = −1,
−1 − 1 = −3.
Задача №3.
Решить систему уравнений.
Дано:
3 + 8 − 8 + 2 = 1,
+ 3 − 3 + = 1,
{3 + 7 − 8 = −2, 2 + 7 − 8 + 2 = 2.
Решение:
Перепишем данную систему в матрицу;
|
|
3 |
8 |
−8 |
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
−3 |
1 |
1 |
|
|
2,1(−3) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3,1(−3) |
|
||||||||||||
|
( |
1 |
3 |
−3 |
1 |
| |
1 |
|
) |
1,2 |
3 |
8 |
−8 |
2 |
1 |
|
) |
4,1(−2) |
|
||
|
3 |
7 |
−8 |
|
|
|
~ ( |
3 |
7 |
−8 |
| |
|
|
|
~ |
|
|
||||
|
|
0 −2 |
|
|
0 −2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
7 |
−8 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
7 |
−8 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
−3 |
1 |
|
1 3,2(−2) |
1 |
3 |
−3 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
0 |
−1 |
|
1 |
−1 −2 |
) |
4,2(1) |
0 |
−1 |
1 |
|
−1 |
−2 |
) |
4,3(−1) |
|||||||
~ ( |
−2 |
|
1 |
| |
|
~ |
( |
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
| |
|
~ |
|||||
0 |
|
−3 −5 |
|
|
|
|
|
−1 −1 |
|
|
|||||||||||
0 |
|
1 |
|
−2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
−1 |
|
−1 −2 |
|
|
|||
1 |
|
3 |
|
−3 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ (0 |
−1 |
|
1 |
−1|−2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
0 |
|
−1 |
−1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ранг обычной матрицы не равен рангу расширенной матрицы, значит
решений нет.
Ответ:
Задача №4.
Разложить многочлен на множители.
Дано:
X4 + X2 − 6X − 8.
Решение:
Найдем корень по схеме Горнера;
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
-6 |
|
|
|
|
|
-8 |
||
-1 |
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
2 |
-8 |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
( 4 |
+ 2 − 6 − 8) = 3 − 2 + 2 − 8; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим схему Горнера для поиска 2 корня; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
2 |
|
|
-8 |
||||
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
0 |
|||
|
|
( 3 |
− 2 + 2 − 8) = 2 + + 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + + 4 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D = 1 − 16 = −15 = ±√15I; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
= − |
1 |
|
+ |
√15 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 |
|
− |
√15 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
X4 + X |
2 − 6X − 8 = (x + 1) ∙ (x − 2) ∙ (x − (− |
1 |
+ |
√15 |
)) ∙ |
|||||||||||
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ (x − (− 12 − √215 )).
Ответ:(x + 1) ∙ (x − 2) ∙ (x − (− 12 + √215 )) ∙ (x − (− 12 − √215 )).
Задача №5.
Разложить на простейшие дроби.
Дано:
13 2−9 +15.
2 3+9 2−5
Решение:
13 2−9 +15 |
= |
13 2−9 +15 |
= |
|
+ |
|
+ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
2 3+9 2−5 |
( +5)(2 −1) |
|
+5 |
2 −1 |
13 2 − 9 + 15 = ( + 5)(2 − 1) + (2 − 1) + ( + 5) =
(2 + 2 + 2 ) 2 + (9 − + 5 ) − 5 ;
2 + 2 + 2 = 13, { 9 − + 5 = −9, −5 = 15;
Подставим точки в уравнение;
0 −5 = 15
|
−5 |
55 = 385 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
11 |
= |
55 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
= −3,
{= 7,= 5;
Перепишем в сумму простейших;
− 3 + +57 + 2 5−1. Ответ: − 3 + +57 + 2 5−1.
Задача №6.
Разложить дробь на простейшие.
Дано:
− 2+14 +7 . 2 3+4 2+2
Решение:
− 2+14 +7 |
= |
− 2+14 +7 |
= |
|
+ |
|
+ |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
3 |
+4 |
2 |
+2 |
2 |
|
2 |
+1 |
( +1) |
2 |
||||||
|
|
|
2 ( +1) |
|
|
|
|
|
− 2 + 14 + 7 = ( 2 + 2 + 1) + 2 ( + 1) + 2 =
= ( + 2 ) 2 + (2 + 2 + 2 ) + ;
Составим систему;
+ 2 = −1, {2 + 2 + 2 = 14,= 7;
Перепишем в матрицу;
1 |
2 |
0 −1 |
2,1(−2) |
1 |
|
2 |
0 −1 3,2(−1) 1 |
2 |
0 −1 |
|||||
3,1(−1) |
|
|||||||||||||
(2 |
2 |
2|14) ~ |
(0 |
−2 |
2|16) ~ |
(0 |
−2 |
2 |16); |
||||||
1 |
0 |
0 |
7 |
|
|
0 |
|
−2 |
0 |
8 |
|
0 |
0 |
−2 −8 |
Ранг |
обычной |
матрицы |
равен |
рангу |
расширенной, |
следовательно |
решение есть;
Обратный ход метода Гаусса;
1 |
2 |
0 −1 |
2,3(1) |
1 |
2 |
0 −1 |
1,2(1) |
1 |
0 |
0 7 |
(0 |
−2 |
2 |16) ~ (0 |
−2 |
0 | 8 ) ~ (0 |
−2 |
0 | 8 ); |
||||
0 |
0 |
−2 −8 |
|
0 |
0 |
−2 −8 |
|
0 |
0 |
−2 −8 |
= 7,
{−2 = 8, −2 = −8;
= 7,
{ = −4,= 4;
Перепишем в сумму простейших;
27 − +14 + ( +14 )2. Ответ: 27 − +14 + ( +1)4 2.