AaG IH2 35 1363 Vladimirov
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра алгоритмической математики
ОТЧЕТ по индивидуальному домашнему заданию № 2
по дисциплине «Алгебра и геометрия»
ТЕМА: МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Студент гр. 1363 |
|
Владимиров П.А. |
|
Преподаватель |
|
Абросимов И.К. |
|
|
|||
|
|
|
|
Санкт-Петербург
2021
ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
Рисунок 1 — Вариант задач ИДЗ
Таблица 1. Ответы к задачам
№ |
Ответ |
|
|
|
|
|
||
1 |
(11 |
0). |
|
|
|
|
||
|
−1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
−1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
| 0 |
−4 |
−2| = 8. |
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
(−4 |
11). |
|
|
|
|||
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
−4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|0 |
1 |
|
|
0 | = −14. |
|
|
|
|
3 |
−4 |
−2 |
|
|
|
||
5 |
| | = −21. |
|
|
|
||||
6 |
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
−1 |
|
A−1 B−1 A B = (0 1 |
1 ). |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
7 |
A−1 = |
1 |
|
7 |
7 |
0 |
|
|
|
(−10 |
2 |
−6). |
|
||||
|
42 |
|
||||||
|
|
|
|
|
9 |
15 |
18 |
|
8 |
|
|
|
4 |
−5 |
Z2 |
|
|
|
A−1 = (−5 6 |
−2). |
|
|||||
|
|
|
|
3 |
−3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЗ |
|
|
|||
|
|
|
|
Задача №1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−3 |
Вычислить произведение матриц ( |
4 |
4 |
−1) (−1 |
4 ). |
|||||
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
2 |
1 |
4 |
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 |
|
|
4 |
−3 |
|
|
|
|
|
4 −1) (−1 4 ). |
|
|
|
|
|
||||
−1 |
−1 |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Обозначим полученную матрицу, как A; Полученная матрица будет размером 2 × 2;
A1,1 = 4 4 + 4 (−1) + 1 (−1) = 16 − 4 − 1 = 11; A1,2 = 4 (−3) + 4 4 + 4 (−1) = 12 + 16 − 4 = 0; A2,1 = −1 4 + (−1) (−1) + 2 ∙ 1 = −4 + 1 + 2 = −1;
A2,2 = −1 ∙ (−3) + (−1) ∙ 4 + 2 ∙ 4 = 3 − 4 + 8 = 7;
A = (−111 07). Ответ: A = (−111 07).
|
|
|
Задача №2. |
|
|
|
−1 |
2 |
3 |
Вычислить определитель | 0 |
−4 |
−2|. |
||
|
|
0 |
0 |
2 |
Дано: |
|
|
|
|
−1 |
2 |
3 |
|
|
| 0 |
−4 |
−2|. |
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
Так как матрица приведена к верхнетреугольному виду, то определитель |
мы можем посчитать произведением элементов, стоящих на главной
диагонали; |
|
|
|
−1 |
2 |
3 |
|
| 0 |
−4 |
−2| = (−1) ∙ (−4) ∙ 2 = 8. |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
−1 |
2 |
3 |
Ответ: | 0 |
−4 |
−2| = 8. |
|
|
0 |
0 |
2 |
Задача №3.
Вычислите: 2 (−14 42) + (44 −33).
Дано:
2 (−14 42) + (44 −33).
Решение:
2 (−4 |
4) + (4 |
3 ) = (2 ∙ (−4) + 4 |
2 ∙ 4 + 3 |
) = (−4 11). |
||
1 |
2 |
4 |
−3 |
2 ∙ 1 + 4 |
2 ∙ 2 + (−3) |
6 1 |
|
−4 |
11 |
|
|
|
|
Ответ: ( 6 |
1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №4. |
|
|
|
|
4 |
−4 |
2 |
Вычислите определитель |0 |
1 |
0 |. |
|||
|
|
|
3 |
−4 |
−2 |
Дано: |
|
|
|
|
|
4 |
−4 |
2 |
|
|
|
|0 |
1 |
0 |. |
|
|
|
3 |
−4 |
−2 |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
Найдем определитель матрицы методом Саррюса; |
|||||
4 |
−4 |
2 |
|
|
|
|0 |
1 |
0 | = 4 ∙ 1 ∙ (−2) + 0 ∙ (−4) ∙ 2 + (−4) ∙ 0 ∙ 3 − 3 ∙ 1 ∙ 2 − |
|||
3 |
−4 |
−2 |
|
|
|
−(−4) ∙ 4 ∙ 0 − 0 ∙ (−4) ∙ (−2) = −8 + 0 + 0 − 6 − 0 − 0 = −14. |
|||||
|
4 |
−4 |
2 |
|
|
Ответ: |0 |
1 |
0 | = −14. |
|
|
|
|
3 |
−4 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача №5. |
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
−2 |
Вычислить определитель: | |
−1 |
−2 |
2 |
|||
1 |
−1 |
1 |
||||
|
|
|
|
−2 |
2 |
−1 |
Дано: |
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
−2 |
1 |
|
|
|
|−1 |
−2 |
2 |
−2|. |
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
2 |
|
|
|
−2 |
2 |
−1 |
−2 |
|
|
|
Решение:
Обозначим исходную матрицу, как стандартному виду с помощью метода Гаусса;
|
1 |
−2 |
−2 |
1 |
2,1(1) |
1 |
−2 |
−2 |
|
3,1(−1) |
|||||||
| |
−1 |
−2 |
2 |
−2 |
4,1(2) |
0 |
−4 |
0 |
1 |
−1 |
1 |
2 |
| ~ |
( |
1 |
3 |
|
|
|
0 |
||||||
|
−2 |
2 |
−1 |
−2 |
|
0 |
−2 |
−5 |
1 −22 |.
−2
A. Приведем матрицу к
1
−1 2,3
1 ) ~
0
|
1 |
−2 |
−2 |
1 |
3,2(4) |
|
|
1 |
−2 |
|
~ ( |
0 |
1 |
3 |
1 |
4,2(2) |
( |
0 |
1 |
||
0 |
−4 |
0 |
−1 |
) ~ |
0 |
0 |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
−2 |
−5 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
−2 |
−2 |
1 |
|
|
|
1 |
−2 |
||
0 |
1 |
3 |
1 |
) |
4,3(−12) |
( |
0 |
1 |
||
~ ( |
|
0 |
1 |
2 |
~ |
0 |
0 |
|||
0 |
|
|
|
|||||||
0 |
0 |
12 |
3 |
|
|
|
0 |
0 |
| | = −21;
| | = (−1) (−1) ∙ (−21) = −21.
Ответ: | | = −21.
−2 |
1 |
|
3 |
|
3,4 |
1) ~ |
||
12 |
3 |
|
1 |
2 |
|
−2 |
1 |
|
3 |
1 |
) = ; |
1 |
2 |
|
0 |
−21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача №6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Вычислите A−1 B−1 A B, если A = (0 |
1 |
0), B = (0 |
0 |
1). |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||
A = (0 1 0), B = (0 0 1). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[A ]i,j = Ai,j; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−1 = |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
| | = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обозначим союзную матрицу M для матрицы A; |
|
|
|
|||||||||||||||
1,1 = (−1)2 (1 |
0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)3 |
|
|
|
(0 |
0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4 |
|
|
|
(0 |
1) = 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
3 |
∙ |
|
1 |
0 |
) = −1; |
|
|
|
|
|
|
||
= (−1) |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4 |
|
|
(1 |
0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)5 |
|
|
(1 |
1) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4 |
|
|
(1 |
0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)5 |
|
|
(1 |
0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)6 |
|
|
(1 |
1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 T |
|
1 |
−1 0 |
|
|
|
|
|
|
M = (−1 |
1 0) = (0 1 0); |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−1 = (0 |
1 |
|
0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[B ]i,j = B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−1 = |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
| | = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Обозначим союзную матрицу N для матрицы B; |
|
|
|
|||||||||||||||
1,1 = (−1)2 (0 |
1) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)3 |
|
|
(0 |
1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4 |
|
|
(0 |
0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2,1 = (−1) |
3 |
|
1 |
0 |
) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∙ ( |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4 |
(0 |
0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2,2 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)5 |
(0 |
1) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2,3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)4 |
(1 |
0) = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3,1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)5 |
(0 |
0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3,2 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−1)6 |
(0 |
1) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3,3 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 T |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = (0 0 1) = (1 0 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 = (1 |
0 |
|
0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
0 |
(1) |
|
0 |
0 |
1 |
(2) |
1 |
1 |
0 |
(3) |
0 |
1 |
0 |
|
(0 1 0) ∙ (1 0 0) ∙ (0 1 0) ∙ (0 0 1) = |
||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
Выполним 1 действие, полученную матрицу обозначим, как C; |
||||||||||||||||||
C1,1 = 1 0 + (−1) 1 + 0 0 = −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
C1,2 = 1 0 + (−1) 0 + 0 1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
C1,3 = 1 1 + (−1) 0 + 0 0 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
C2,1 = 0 0 + 1 1 + 0 0 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C2,2 = 0 0 + 1 0 + 0 1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C2,3 = 0 1 + 1 0 + 0 0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C3,1 = 0 0 + 0 1 + 1 0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C3,2 = 0 0 + 0 0 + 1 1 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C3,3 = 0 1 + 0 0 + 1 0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ( 1 |
|
0 |
0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним 2 действие, полученную матрицу обозначим D;
D1,1 = −1 1 + 0 0 + 1 0 = −1;
D1,2 = −1 1 + 0 1 + 1 0 = −1;
D1,3 = −1 0 + 0 0 + 1 1 = 1;
D2,1 = 1 1 + 0 0 + 0 0 = 1;
D2,2 = 1 1 + 0 1 + 0 0 = 1;
D2,3 = 1 0 + 0 0 + 0 1 = 0;
D3,1 = 0 1 + 1 0 + 0 0 = 0;
D3,2 = 0 1 + 1 1 + 0 0 = 1;
D3,3 = 0 0 + 1 0 + 0 1 = 0;
|
−1 |
−1 |
1 |
|
= ( 1 |
1 |
0); |
||
|
0 |
1 |
0 |
|
Выполним 3 действие, полученную матрицу обозначим F; |
||||
F1,1 = −1 0 |
+ (−1) 1 + 1 0 = 1; |
|||
F1,2 = −1 1 |
+ (−1) 0 + 1 0 = −1; |
|||
F1,3 = −1 0 |
+ (−1) 1 + 1 0 = −1; |
|||
F2,1 = 1 0 + 1 0 + 0 1 = 0; |
||||
F2,2 = 1 1 + 1 0 + 0 0 = 1; |
||||
F2,3 |
= 1 0 + 1 1 + 0 0 = 1; |
|||
F3,1 |
= 0 0 + 1 0 + 0 1 = 0; |
|||
F3,2 |
= 0 1 + 1 0 + 0 0 = 0; |
|||
F3,3 |
= 0 0 + 1 1 + 0 0 = 1; |
|||
|
1 |
−1 |
|
−1 |
= (0 |
1 |
|
1 ). |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
−1 |
−1 |
Ответ: A−1 B−1 A B = (0 |
1 |
1 ). |
0 |
0 |
1 |