Добавил:

Assassins_Creed_Origins Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

Высшая математика

Файл:

ТеорДУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2023

Размер:

387.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Метод решения уравнения

Решение ЛОДУ ищут в виде функции y = ekx .

Находят корни характеристического уравнения k n + a1k n−1 +, , ,+an−1k +a n = 0 .

Каждому действительному корню k кратности r характеристического уравнения соответствует r линейно независимых частных решений ЛОДУ:

y1 = ekx , y2 = xekx ,..., yr = xr −1ekx

Каждой паре комплексных корней k =α ± iβ кратности s характеристического уравнения

соответствует 2s линейно независимых Ч.Р. ЛОДУ: eαx cos βx, xeαx cos βx,..., xs −1eαx cos βx, eαx sin βx, xeαx sin βx,..., xs −1eαx sin βx,

ОР ЛОДУ y0 = c1 y1 +c2 y2 +... + cn yn . (Если s =1, то y1 = eαx cos βx, y2 = eαx sin βx ).

§Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами

1.Правая часть f (x) − специального вида

y ( n) + a1 y ( n−1) +... + an−1 y / + an y =	f ( x)	1. Правая часть	f (x) − специального
y ( n) + a1 y ( n−1) +... + an−1 y / + an y =	f ( x)		вида
			вида
		f (x) = eαx (P (x) cos β x +Q (x) sin β x)
		m	l

Метод неопределенных коэффициентов

. Общее решение ЛНДУ получают как сумму общего решения y0 соответствующего

ЛОДУ и частного решения yн ЛНДУ: y = y0 + yн = y0 + xseαx (Uw (x) cos βx +Vw (x)sin βx) : w = max(m,l); s −кратностькорняα ± βi характеристическогого уравнения.

2. Правая часть f (x) − произвольного вида

Метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных) решения ЛНДУ

с произвольной правой частью

Теорема о сумме

Если y

−частное решение ДУ

y (n) + a

y (n−1)

+... + a

n−1

+ a

y = f

(x) ,

частных решений

1н

а y

− частное решение ДУ y(n) + a y(n−1)

+... + a

−1

y /

+ a

y = f

(x)

ЛНДУ

с одной и той же левой частью, то сумма

y1н + y2н является частным

решением уравнения y(n) + a y(n−1) +... + a

n−1

y / + a

y = f

(x) + f

(x).

§ Алгоритм решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений n – го порядка с постоянными коэффициентами

y ( n) + a1 y ( n−1) + ... + an−1 y / + an y = f ( x)

1. Найти фундаментальную систему n частных решений y1 , y2 ..., yn усечённого (f(x)=0) линейного ДУ (см. ЛОДУ).

Составить общее решение усечённого линейного ДУ: y0 = c1 y1 + c2 y2 +... + cn yn .

f ( x) = eαx ( Pm ( x) cos β x + Ql ( x) sin β x)

да

нет

Проверяемое число α ± β i −

См. метод Лагранжа (вариации

коренькратности s

произвольных постоянных).

характеристического

уравнения

(s = 0, если числа нет среди

корней характеристического

уравнения).

Общее решение

yн

= xs eαx (Uw (x)cosβx +Vw (x)sin βx) ,

ЛНДУ:

где

yн

− частное решение ЛНДУ,

y = y0 + yн

такого же вида, что и f(x), но многочлены

U w (x)

и Vw (x) имеют степень w = max(m,l) :

(x)

= A xw + A

xw−1

+ + A ,

w−1

Vw (x) = Bw xw + Bw−1 xw−1 + + B0 ,

неопределённые коэффициенты которых

Ai , Bi

(i = 0,..., n)

подлежат нахождению приравниванием

коэффициентов при одинаковых выражениях

в правой и левой частях

ЛНДУ после подстановки в него yн(x) .

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ)

§ Основные понятия. Нормальные системы

Определение	Системой	дифференциальных	уравнений	называется
системы	совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая
дифференциальных	переменная, искомые функции и их производные.
уравнений	Всегда предполагается, что число уравнений равно числу
	неизвестных функций.

Например, система двух дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид:


f (x, y, z,			dy		,		dz	) = 0,

	1			dx		dx

				dy			dz
f		(x, y, z,			,				) = 0.
	2			dx
							dx

Решение этой системы дифференциальных уравнений состоит в нахождении функций y = y(x) и z = z(x) , удовлетворяющих обоим уравнениям системы.

Определение

нормальной

системы

дифференциальных уравнений (НСДУ)

Нормальной системой дифференциальных уравнений

называется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производной:

	/	= f1 (x, y1, y2 , ..., yn );
y1		= f1 (x, y1, y2 , ..., yn );
y/		=	f (x, y	, y	2		, ..., y	n	);
	2		1		2			n
................................
y/		=	f (x, y	, y		2	,..., y	n	),
	n		1			2		n

где х – независимая переменная,

y1 (x), y2 (x), .... , yn (x) − неизвестные функции.

Определение решения системы дифференциальных уравнений

Определение частного решения системы дифференциальных уравнений

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций y1 (x), y2 (x), .... , yn (x) , удовлетворяющих

каждому уравнению этой системы.

Частным решением СДУ называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , ... , yn (x0 ) = yn0 ,

где y10 , y20 , ... , yn0 − заданные постоянные числа.

§ Метод исключения неизвестных решения НСДУ

Теорема 1 о связи дифференциального уравнения n-го порядка с нормальной СДУ

Теорема 2 о связи дифференциального уравнения n-го порядка с нормальной СДУ

Одно дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной: y(n) = f (x, y, y/ , y// ,..., y(n−1) ) ,

всегда можно свести к нормальной системе дифференциальных уравнений.

Нормальную систему дифференциальных уравнений можно привести методом исключения неизвестных к одному уравнению, порядок которого меньше или равен числу уравнений нормальной системы дифференциальных уравнений.

Алгоритм применения метода исключения неизвестных

Дифференцируем первое уравнение системы по переменной х:

y1// = ( f1 )/x + ( f1 )/y1 y1/ + ( f1 ) y2 y2/ +... +( f1 )/yn yn/ .

Производные y1/ , y2/ , ... , yn/ в правой части этого равенства заменяем их выражениями

из НСДУ.

Получим уравнение y1// = F2 (x, y1 , y2 , ... , yn )

y1/// = ( y1// )/x = (F2 )/x +(F2 )/y1 y1/ +(F2 )/y2 y2/ +... +(F2 )/yn yn/ .

Производные y1/ , y2/ , ... , yn/ в правой части этого равенства заменяем их выражениями

из НСДУ.

Получим уравнение y1/// = F3 (x, y1 , y2 , ... , yn )

…….. И так далее …….

y1(n) = Fn (x, y1 , y2 , ... , yn )

Полученные таким образом дифференциальные уравнения объединяем в систему:

y1/ = f1 (x, y1 , y2 , ... , yn ),
y//		= F	(x, y , y	2	, ... , y	n	),
	1	2	1
		= F	(x, y , y		, ... , y		),
y ///				2		n
	1	3	1
		........................
	(n)
		= Fn (x, y1 , y2 , ... , yn ).
y1

Первые n − 1 уравнений решаем относительно переменных y1 , y2 , ... , yn , выражая их через переменные x, y1 , y1/ , y1// , ... y1(n−1) .

Подставляя полученные выражения в последнее уравнение системы, придём к уравнению порядка n относительно одной неизвестной y1 .

Замечание. Порядок последнего уравнения может быть меньше n, если при его получении были использованы не все уравнения системы.

§ Метод выделения интегрируемых комбинаций

Получают из системы такие уравнения, которые можно проинтегрировать и найти первый интеграл системы. Если найдены n независимых первых интегралов НСДУ, то их совокупность дает общий интеграл этой системы.

Для выделения интегрируемых комбинаций из НСДУ её записывают в так называемой симметрической форме:

dy1

dy2

=... =

dyn

f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn )

f2 (x, y1 , y2 ,..., yn )

fn (x, y1 , y2 ,..., yn )

и используют следующее свойство равных дробей: если

=... =

=γ ,

то при любых α1 ,α2 ,...,αn имеет место соотношение

α1u1 +α2 u2 +... +αn un =γ ( ).

α1v1 +α2 v2 +... +αn vn

Значения α1 ,α2 ,...,αn подбираются таким образом, чтобы числитель в ( ) был полным дифференциалом знаменателя или же числитель и знаменатель были равны нулю.

§ Нормальная линейная однородная система n -го порядка (НЛОС).

Тип			Вид системы
системы			Вид системы
системы
Нормальная
линейная	y1/ (x) = a11 (x) y1 + a12 (x) y2 +...							+ a1n (x) yn ,
однородная
система	y2/ (x) = a21(x) y1 + a22 (x) y2 + + a2n (x) yn ,
n -го	y2/ (x) = a21(x) y1 + a22 (x) y2 + + a2n (x) yn ,
порядка	..........................................................
(НЛОС).	y/	(x) = a	(x) y	+ a	(x) y		+ + a (x) y			.
	y/	(x) = a	(x) y	+ a	(x) y	2	+ + a (x) y		n,	.
	n	n1	1	n2		2		nn	n,

Коэффициенты линейных комбинаций искомых функций зависят

от аргумента x .

Признак системы

Уравнения записаны явно относительно первых производных; правые части уравнений представляют собой линейные комбинации искомых функций.

Метод решения системы

Метод исключения неизвестных (см. НСДУ).

Фундаментальной системой решений НЛОС называется совокупность произвольных n линейно независимых решений

Y (x) = ( y(k )(x), y(k ) (x), ... , y(k ) (x)), k =1,2,..., n .
k	1	2	n

Если Yk (x), k =1,2,..., n, − фундаментальная система частных решений ЛОС,

то общее решение имеет вид

Y (x) = ∑Ck Yk (x) ,

k =1

где C1 , C2 ,...,Cn − произвольные постоянные.

§Нормальная линейная однородная система n -го порядка

спостоянными коэффициентами

Тип системы

Вид системы

Признак системы

y /

(x) = a

+ a y

+... + a

Нормальная

y2/

(x) = a21 y1 + a22 y2

+... + a2n yn ,

линейная

..........................................................

Уравнения записаны явно

однородная

y /

относительно первых

система n-го

(x) = a

+ a

+... + a

y .

порядка

производных; правые части

Коэффициенты линейных комбинаций

уравнений представляют

искомых функций постоянны.

собой линейные комбинации

постоянными

a11

a12

...

a1n

искомых функций.

коэффициента

...

ми

A =

... ...

an1

an2

...

ann

А – матрица из коэффициентов при

искомых функциях.

Метод решения системы

Матричный метод. Из характеристического уравнения det( A − λE) = 0

находят различные корни

λ1 , λ2 ,..., λs

и для каждого корня λ (с учетом его кратности) определяют соответствующее ему частное решение

Y (λ) (x) .

Общее решение имеет вид

n
Y (x) = ∑Ck Y (λk ) (x)	.
k =1	.

При этом, если а) λ −действительный корень кратности 1 (один), то

	ξ(λ)
	1
	ξ(λ)
Y (λ) (x) = Y (λ) eλx =	2	eλx ,
	...
	(λ)
	ξn

где Y (λ) − собственный вектор матрицы A , соответствующий собственному значению λ , то есть

AY (λ) = λY (λ) , Y (λ) ≠ 0

Если б) λ −комплексный корень кратности 1 (один), тогда корнем характеристического уравнения является также сопряженное с λ число λ . Вместо комплексных частных решений Y (λ) (x) и Y (λ) (x) следует взять действительные частные решения

Y1( λ) (x) = ReY (λ) (x) и Y (λ) ( x) = ImY (λ) ( x) .

Если в)	λ − корень кратности r ≥ 2 , то соответствующее этому корню решение системы
				(1)	(2)	( r)	x	r−1
			α1		+α1	x +... +α1	x
ищут	в виде вектора	Y (λ) (x) =	α2(1)		+α2(2) x +... +α2( r) x r−1				eλx	( ), коэффициенты

				(1)	(2)	( r)	x	r−1
			αn		+αn	x +... +αn	x
которого	αi( j) , i =1,..., n, j =1,..., r определяются из системы									линейных уравнений,

получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x в результате подстановки вектора ( ) в исходную систему.

План решения нормальной линейной однородной системы дифференциальных уравнений (НЛО СДУ) с постоянными коэффициентами

1.Составить характеристическое уравнение det( A −λE) = 0 ;

2.Найти собственные числа λ1 , λ2 ,..., λs и соответствующие им собственные векторы

Y1 , Y2 ,...,Ys ;

3. Составить фундаментальную систему частных решений

Y (λi )

4. Составить общее решение

Y (x) = ∑Ck Y (λk ) (x)

						ξ(λi )
						1
(x) = Y	(λ )	e	λ x	=		ξ(λi )	e	λ x	,i =1, 2,..., n;
(x) = Y	i	e	i	=		2	e	i	,i =1, 2,..., n;
i						...
						...
					ξn(λi )

k=1

5.Для решения задачи Коши использовать данные начальные условия, в соответствии с

которыми найти значения произвольных постоянных Ck , k =1, 2, ... , n ;

6. Записать частное решение, подставив в общее решение найденные значения произвольных постоянных.

Определение

нормальной

линейной

неоднородной

СДУ

Нормальной линейной неоднородной СДУ называется система ДУ называется система, где по крайней мере одна из функций fk (x) не

равна тождественно нулю ( k =1, 2, ..., n ):

(x) = a y + a y

+... + a

+ f

(x),

11 1

(x) = a

y + a

+... + a

+ f

(x),

21 1

..........................................................

y /

(x) = a

y + a

+... + a

+ f

(x).

n1 1

Замечание. В силу теорем о связи нормальных систем ДУ с линейными ДУ n – го порядка теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши, о структуре общего решения однородных и неоднородных ДУ остаются справедливыми и для нормальных систем дифференциальных уравнений.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
05.03.20211.33 Mб8Лекция-Корреляция-.pdf
#
05.03.2021788.37 Кб2математика 1 курс 2 семестр 1 лекция.pdf
#
19.02.202329.08 Mб2Ответы по билетам-1.docx
#
19.02.202323.02 Mб2Ответы по билетам.docx
#
05.03.202122.81 Mб2Райхмист. графики функций.pdf
#
19.02.2023387.58 Кб1ТеорДУ.pdf
#
19.02.20232.22 Mб3Численные методы 1.doc