6634

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

№ 6. Вычислить предел lim

№ 6. Вычислить предел lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Задача 10 (А,Б).				Установить тип точки разрыва x0 0 для функций:
А) f (x) sin	1	.	Б)			f (x) x sin	1	.
	x						x
Решение. lim sin				1		= lim sin y , такие пределы не существуют
					x
x 0						y

(бесконечное количество колебаний, ордината не устанавливается ни на каком уровне). Разрыв 2 рода.

А вот при умножении на x получается, что максимумы также уменьшаются к 0, и тогда пределы существуют.

lim	x sin	1	= 0 (произведение бесконечно-малой на ограниченную
lim	x sin	x	= 0 (произведение бесконечно-малой на ограниченную
x 0		x
является бесконечно-малой).
Ответ. А)			разрыв 2-го рода.	Б) устранимый разрыв.
Графики этих функций sin				1	и x sin	1	выглядят так:
Графики этих функций sin					и x sin		выглядят так:
				x		x

Пункт «Повторные и двойные пределы».
Пусть задана функция двух переменных		z	f (x, y) . Возьмём точку
M 0 (x0 , y0 ) на плоскости.	Можно определить			понятие предела
функции в данной точке,	аналогично	тому,	как	это вводили для
				41

обычных функций одной переменной. Число А называется пределом

функции z	f (x, y) в точке	M 0 , если для всякого 0 существует
окрестность U точки M 0 , так что если (x, y) U ,			то	f (x, y) A	.
окрестность U точки M 0 , так что если (x, y) U ,			то	f (x, y) A	.
Обозначается	lim f (x, y) -	двойной предел. Но	ведь в плоскости
	x x0
	y y0

можно приблизиться к этой точке с многих направлений. Ситуаций не две, как на числовой оси (там можно приближаться только слева или справа) а бесконечно много.

Если сначала вычислить предел по x (при этом y пока будет служить

в роли параметра) а затем по			y , то получим:
в роли параметра) а затем по			y , то получим:	lim lim	f (x, y) . А если
				y y0 x x0
наоборот, то					«повторные»
наоборот, то	lim lim	f (x, y) Это так называемые			«повторные»
	x x0 y y0

пределы.

Повторные пределы, как правило, совпадают между собой и равны двойному.

. x 2 y 2 2 в точке (1,1).

Однако, есть примеры, где это не так.

Пример 11. Доказать, что для f (x, y)		xy	двойной предел не

	x 2	y 2
существует.
						xy
Решение. Если сначала устремить x 0		то	lim lim					=
Решение. Если сначала устремить x 0		то	lim lim		2			=
				x	2	y	2
			y 0 x 0	x		y

lim

А если приближаться к точке (0,0)

по произвольной

y 0

прямой

y kx, то можно сначала всё свести к одной переменной, и

затем устремить x 0 .

Тогда

lim

x(kx)

lim

kx2

Получается, что

x 2

(kx)2

(1 k 2 )x2

1 k 2

x 0

результат зависит от того, с какой стороны приближаться к точке (0,0). Это значит, что, двигаясь к началу координат с разных

направлений, точка на поверхности стремится к разным высотам, тогда ни в какой малой окрестности не может быть выполнено

f (x, y) A , т.е. предел не существует. Таким свойством обладает

винтовая поверхность, состоящая из прямолинейных образующих, у которых направление зависит от высоты. Чтобы понять, представьте себе винтовую лестницу в узкой башне: разные ступеньки отходят от общей вертикальной прямой, но с ростом высоты меняется угол поворота.

Практика 19 Повторение.

x 2

3x 4 x2 1

Задача 1. (из Домашнего задания) Найти предел lim . x 1 5x 2

3x 4

x 2

3x 4

x 2

Решение. lim

= lim 1

5x 2

x 1

5x 2

x 1

	3x 4	5x 2	x 2		(3x 4) (5x 2)
			( x 1)( x 1)
lim 1				= lim 1

x 1	5x 2	5x 2		x 1	5x 2

x 2

( x 1)( x 1) =

(2 2 x)

x 2

5x 2

(5x 2)

( x 1)( x 1)

2 2x

( x 1)( x 1)

2 2x

2 2 x

lim 1

= lim

x 1

5x 2

(2 2 x)

x 2

(2 2x)

x 2

lim e

(5x 2) ( x 1)( x 1) = exp lim

x 1

(5x 2) (x 1)(x 1)

(x 2)

2(1 x)

(x 2)

exp lim

(x 1)

x 1 (5x 2)(x 1)

exp

7 .

Ответ. e

7 .

2 1

№ 2. (Из домашнего задания). Найти предел lim

x 2

30 x 29

x 2

50 x

x 1

Решение. lim				x 2		30 x 29			=
				x 2			50 x 49
			x 1
	1 29	=	28	=		7		. Ответ.
	1 49		48		12

lim	(x 1)( x 29)	= lim	(x 29)	=
	(x 1)( x 49)		(x 49)
x 1		x 1

127 .

Повторим ещё с помощью нескольких примеров, приведённых в конце пособия в приложении 1.

№ 3. Вычислить предел

lim (

n2 6n 1 n) .

( n2

6n 1 n)( n2 6n 1 n)

Решение. lim (

n2 6n 1 n)

= lim

( n2 6n 1 n)

= lim

(n2 6n 1 n2 )

= lim

6n 1

сократим на n.

n ( n2 6n 1 n)

lim

= lim

lim

6n 1

6 0

3 .

Ответ. 3.

1 0 0 1

№ 4. Вычислить предел

lim

3x 2

5x 6

x 2

Решение. lim x 2 3x 2 x 2 x 2 5x 6

Ответ. 1.

№ 5. Вычислить предел

=lim (x 2)( x 1) x 2 (x 2)( x 3)

lim	sin 5x	.

	x3 2x 2 x
x 0	x3 2x 2 x

= lim	x 1	=	1	1.
	x 3		1
x 2

Решение. lim

sin 5x

= lim

sin 5x

x3 2x 2 x

2x 1)

x 0

x 0 x(x

lim

sin 5x

lim

= 1

5 .

Ответ. 5.

x 0

x 0 (x 2 2x 1)

		x 1
Решение. lim
Решение. lim
x 3		2x 2

x
		x 1
x 3
	= lim 1		1
		2x 2
	x 3

x 3 =

	x 1	2x 2
lim 1

x 3	2x 2	2x 2

x
		3 x
x 3
	= lim 1

	x 3	2x 2

x 3 =

lim 1 x 3

3 x

2x 2

2 x 2

3 x

3 x x
2 x 2 x 3	lim	(3 x)x	lim	x	34 .
	lim	(2x 2)(x 3)	lim	(2x 2) = e
	= ex 3	(2x 2)(x 3)	= ex 3	(2x 2) = e

Ответ. e 34 .

Контрольная 45 минут.

9 Предел последовательности

10 Предел функции, с неопределённостью 0/0.

11Предел функции, 1-й замеч. lim

12Предел функции, 2-й замеч. lim

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Практика 20 (2 декабря у обеих групп).

Основные правила дифференцирования, таблица производных.

Вводная часть. Таблица производных. Степенные функции. (x a ) axa 1 .

В частности, отсюда можно вывести:

		1		1	1

1)	x		. 2)			.
					x 2

		2 x	x

Действительно,

Пусть a 1/ 2 .

Тогда

Пусть a 1.

Тогда

x 1

( 1)x 2

Показательные.

(a x ) a x ln a

в частности,

(e x ) e x ;

Логарифмические. (loga x)

log a e

, в частности,

(ln x)

x ln a

Тригонометрические.

(sin x) cosx ;

(cosx) sin x ;

(tgx)

;

(ctgx)

;

cos2 x

sin 2 x

Обратные тригонометрические:

(arctgx)

;

(arcctgx)

;

1 x2

(arcsin x)

; (arccos x)

;

1 x 2

Гиперболический синус и косинус:

(shx) chx

(chx) shx

Здесь повтор производных будет не через 4 шага, как для обычных

синуса и косинуса, а через 2 шага.

ex e

e x

ex e x

Действительно,

Задача 1. С помощью определения доказать, что (sin x) cosx .


Решение.		lim	sin(x x) sin(x)		=

		x 0		x
lim	sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) sin(x)						=

x 0			x
sin(x) lim		(cos(x) 1)		cos(x) lim		sin(x)		=
			x			x
	x 0			x 0

воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени

2sin 2	a	1 cosa :
2sin 2		1 cosa :
2
			2 sin	2	x
			2 sin				sin(x)
sin(x) lim					2	cos(x) lim	sin(x)	=
sin(x) lim			x			cos(x) lim	x	=
x 0			x			x 0	x

	x 2
			sin( x)
= 2sin(x) lim	2	cos(x) lim	sin( x)	=
= 2sin(x) lim	x	cos(x) lim	x	=
x 0	x	x 0	x

= 2sin(x) 0 cos(x) 1 = cos(x) . Ответ. (sin x) cosx .

Задача 2. Вычислить производную от функции f (x) sin 4 x . Решение. Здесь композиция функций, внутренняя - синус, внешняя -

степенная. sin 4 x = 4sin3 x sin x = 4sin 3 x cos x .

Ответ. 4sin 3 x cos x .

Задача 3. Найти производную от f (x) ln cos(x 2 4) . Решение. Здесь композиция трёх функций. Сначала действует

степенная и переводит x в x2 4 , затем вычисляется косинус, а от этого выражения зависит логарифм.

				1
	ln cos(x2 4) =					cos(x 2		4)	=
	ln cos(x2 4) =					cos(x 2		4)	=
				cos(x 2 4)

1			( sin(x 2 4)) x 2 4				= sin(x		2	4) 2x , что можно
1
	cos(x 2
	cos(x 2	4)						cos(x2 4)
записать в виде 2x tg(x 2					4) .
Ответ. 2x tg(x 2				4) .

Задача 4. Найти производную функции f (x) x 5 .

Решение. Способ 1. Можно рассматривать как композицию, тогда:

	5		4			2	1			5 x2			5	3 2
	5		4			2	1			5 x2			5	3 2
x		= 5 x		x	= 5x				=			=		x	.
						2		x		2	x		2

Способ 2. Можно рассматривать сразу как степенную функцию с

дробной степенью, тогда решение такое:

2 .

Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.

Ответ.

x 3 2 .

Задача 5. Найти вторую производную tgx .

Решение. Сначала найдём 1-ю производную. (tgx)

sin x

cos x

(sin x) cosx (cosx) sin x

cosx cosx ( sin x) sin x

cos2 x

cos2 x sin 2 x

cos2 x

А теперь есть 2 способа. Во-первых,можно рассматривать как дробь,

0 cos2

x 1 (cos2

2 cos x ( sin x)

2sin x

cos4 x

cos3

cos2

А во-вторых, можно эту функцию рассматривать в виде cos 2 x , то есть композицию (cos x) 2 и тогда:

(cosx) 2 = 2(cosx) 3 cosx = 2(cos x) 3 sin x = 2sin x . cos3 x

Как мы видим, двумя способами получаем одно и то же.

Ответ. 2sin x . cos3 x

Задача 6. Найти производную от f (x) ln( x3 ) tg(x) .

Решение. Здесь произведение, причём в одном из множителей есть композиция.

ln(x

= tg(x) ln( x

ln( x

) tg(x)

)

) tg(x)

3x 2

ln( x3 )

3tg(x)

ln( x3 )

tg(x)

ln( x3 )

tg(x)

cos2

cos

2 x

cos2

Ответ.

3tg(x)

ln( x3 )

cos2 x

Задача 7.

Найти производную от функции f (x)

sin(

x )

cos(x2 )

sin(

x )

x ) cos(x 2 ) sin(

x ) cos(x 2 )

Решение.

)

cos

)

cos(x

cos(

x )

cos(x2 ) sin(

x ) sin(x2 ) 2x

. Каких-либо

cos2 (x2 )

существенных упрощений в этом выражении добиться невозможно.

Использовать формулу cos cos sin sin cos( ) тоже нельзя, ведь там коэффициентами при них служат разные функции,у одной корень а у другой 2x .

1
1		cos( x ) cos(x2 ) 2x sin(		x ) sin(x2 )


Ответ. f (x)	2 x
	2 x				.
			cos2 (x2 )		.
			cos2 (x2 )

Задача 8. Найти производную от f (x) x x .

Решение. Здесь нельзя применять формулу степенной функции, ведь в показателе тоже есть переменная. Но нельзя и формулу показательной функции, т.к. в основании тоже есть переменная. Единственным выходом здесь является логарифмирование, чтобы x

соатлось только в степени. Основание может быть представлено в

виде x eln x . Тогда

f (x) x x

= eln x x

= e x ln x .

x ln x

= e

x ln x

= e

x ln x

x (ln x) x ln x =

x ln x

ln x а теперь можем заменить обратно e

на x

После приведения подобных, получим x x 1 ln x .

Ответ.

f (x) x x (1 ln x) .

Перерыв в середине пары

Задача 9. Найти 1 и 2 производную от

f (x)

x 1

x 4

x 1

(x 1) (x

4) (x 4) (x

Решение.

(x 4)2

(x 4) (x 1)

, что можно записать в виде 3(x 4) 2 .

(x 4)2

4) 2

Вторая производная:

3(x

4) 2

= 6(x 4) 3

(x 4)

Ответ. f

(x 4) (x 1)

(x 4)3

(x 4)2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021407.43 Кб16597.PDF
#
05.02.2023674.73 Кб0660.pdf
#
13.02.2021999.08 Кб06612.pdf
#
13.02.20211.58 Mб36620.pdf
#
05.02.20231.65 Mб16633.pdf
#
05.02.20231.4 Mб06634.pdf
#
05.02.2023428.47 Кб06642.pdf
#
05.02.2023440.33 Кб06643.pdf
#
13.02.2021642.91 Кб06645.pdf
#
05.02.2023465.03 Кб06647.pdf
#
05.02.2023432.27 Кб06648.pdf