Кодирование в телекоммуникационных системах.-2

111

Свойство 1. Разделимость, масштабируемость и переносимость. Ядра можно

представить в виде трех разделимых двумерных вейвлетов:

H (x, y) (x) ( y),

(2.28)

V (x, y) (x) ( y),D (x, y) (x) ( y).

Здесь H (x, y), V (x, y), D (x, y) называются горизонтальными, вертикальными и

Называется масштабирующей функцией. Каждая из этих двумерных функций является

произведением двух одномерных масштабирующих функций [5].

j ,k (x) 2 j / 2 (2 j x k).

Параметры i и j являются целыми числами. Число k определяет положение одномерных функций на оси x, масштаб j – ширину по оси x, множитель 2j/2 отвечает за высоту и амплитуду.

Свойство 2. Кратномасштабная совместимость. Свойство оговаривает требования к выбранной масштабирующей функции.

а) Каждая функция i, j (x) ортогональная любому своему целочисленному сдвигу.

б) Множество функций, которые можно представить в виде рядов разложения по j ,k (x)

при малых масштабах (j мало), принадлежит множеству функций, представимых в более высоких значениях.

в) Каждую масштабирующую функцию можно представить с произвольной точностью

или биортогональный базис (отсюда и название еще одного типа вейвлетов – ортогональные и биортонональные) в пространстве одномерных измеримых, суммируемых в квадрате функций. Базис обладает тем свойством, что каждая представимая в этом базисе функция имеет единственный набор коэффициентов. Для вещественных ортогональных ядер имеет место равенство g = h. В биортогональном случае

112

(2.31)

Для практического применения важно следствие из приведенных свойств – функцию вейвлета и масштабирующую функцию можно представить в виде линейной комбинации своих же копий с удвоенным разрешением:

n

В среде MATLAB дискретное вейвлет-преобразование реализуется с помощью процедур dwt и fwt (быстрое вейвлет-преобразований). Можно выполнять разложение как двумерных,

так и одномерных сигналов.

Рис. 2.52. Результат дискретного вейвлет-преобразования

Алгоритм быстрого вейвлет-преобразования

Обобщая преобразование на двумерный и многомерный уровень, можно представить схему преобразования (быстрого вейвлет-преобразования).

Рис. 2.53. Схема быстрого вейвлет-преобразования Сначала обрабатываются столбцы, а затем строки. Используются при этом фильтры

низких и высоких частот.

113

Каждый проход через блок фильтров на рис. 10 разлагает входные данные на четыре

компоненты меньшего диапазона (или масштаба). Коэффициенты W преобразования

получаются двумя проходами низкочастотной фильтрации (т. е. с фильтром h ), и поэтому

соответственно, коэффициентами горизонтальных, вертикальных и диагональных деталей.

Поскольку само изображение f(x,y) представлено в наивысшем разрешении, то оно становится входом W ( j 1, m, n) первой итерации процедуры. Кроме того, здесь имеется

три переменные преобразованного пространства: масштаб j, горизонтальная трансляция п и

вертикальная трансляция т. Эти переменные соответствуют обозначениям u,v, … в первых

двух уравнениях (8), (9). Далее посмотрим примеры применения двумерного вейвлет-

преобразования (dwt2, fwt) при обработке изображений.

При выполнении этапов преобразования используется операция свертки сигналов. Слово

«свертка» обозначает совместное сворачивание двух величин или функций [2]. Дискретная

В результате выполнения операции получается один вектор, охватывающий диапазон входного сигнала. Поэтому вейвлет-преобразования называют поддиапазонными.

Дискретная свертка двух числовых последовательностей f(i) и g(i) задается неравенством:

h(i) f (i) g(i) f (i)g(i j)

j

Свертка сигналов применяется, например, для удаления шума или сглаживания сигналов.

Использование приложения Wavelet Toolbox Matlab для сжатия информации путем вейвлет-преобразований [12] .

Пакет MATLAB Wavelet Toolbox представляет собой совокупность программ,

позволяющих выполнять вейвлет-анализ и обработку сигналов средствами графического интерфейса пользователя. Пакет позволяет продемонстрировать практические приложения теории вейвлетов и вейвлет-преобразований. Остановимся на следующих пунктах:

1.Просмотр вейвлетов.

2.Одномерный дискретный вейвлет-анализ.

2.1.Вейвлет-разложение сигнала.

114

2.2.Интерпретация статистических характеристик сигнала.

2.3.Гистограммы коэффициентов аппроксимации и детализации.

3.Сжатие одномерных сигналов.

4.Удаление шума из сигналов.

Главное меню пакета вызывается из MATLAB с помощью команды wavemenu.

Рис. 2.54. Главное окно Wavelet Toolbox

Способы просмотра вейвлетов в Wavelet Toolbox

Способы просмотра вейвлетов – группа Display (кнопка Wavelet Display). Откроется следующее окно:

Рис. 2.55. Окно раздела Wavelet Display после запуска

115

Вверху расположено обычное меню, справа и внизу – меню, позволяющие управлять отображением нужной информации.

В правом меню можно из раскрывающегося списка тип вейвлета, задать уровень разрешения (параметр Refinement)

– определить шаг вычисления значений вейвлетов (этот параметр равен 1/2N, N по умолчанию равно 8).

Также можно посмотреть информацию по выбранному типу вейвлета.

Выбрав из списка тип вейвлета ‘haar’, следует нажать кнопку Display(Refinement = 8).

Рис. 2.56. Вейвлет и масштабирующая функция Хаара, фильтры восстановления и

разложения

Вверху расположены графики масштабирующей функции и функции вейвлета. Ниже

изображены фильтры восстановления и разложения вейвлета (низкочастотные и

высокочастотные). Для восстановления используются фильтры (коэффициенты масштабирующих уравнений) h и g функций (x) и (x) , а для вейвлет-разложения – сопряженные (транспонированные) фильтры. Это хорошо видно на графиках фильтров. Для вейвлета Хаара фильтры простые, так как базовыми операциями являются нахождение средних и полуразностей. У других вейвлетов фильтры более сложные по своей структуре.

Например, если выбрать вейвлет Добеши 7-ого порядка, то получится следующее изображение:

116

Рис. 2.57. Вейвлет 7-го порядка и масштабирующая функция Добеши, фильтры

восстановления и разложения

Сжатие сигналов при помощи вейвлет-преобразований в Wavelet Toolbox

В главном окне необходимо нажать кнопку Wavelet 1-D, появится диалоговое окно,

интерфейс которого позволяет осуществлять обработку одномерных сигналов.

Загрузка сигнала Frequency Breakdown (Load Example Analysis  Basic Signals  Frequency Breakdown):

117

Рис. 2.58. Разложение сигнала

Кнопка compress позволяет осуществить сжатие одномерного сигнала.

Рис. 2.59. Интерфейс окна, вызываемого нажатием кнопки Compress

При сжатии одномерных сигналов используется метод глобальной пороговой обработки детализирующих коэффициентов. Управлять сжатием можно группой компонентов справа, устанавливая ползунком значение. Задав порог (процент сохраняемых коэффициентов), в результате получается сжатый сигнал.

118

Рис. 2.60. Исходный и сжатый сигнал при помощи вейвлет-преобразования Хаара

третьего уровня

Сжатие одномерного сигнала при помощи различных вейвлет-преобразований

На сегодняшний день существует большое количество математических алгоритмов вейвлет-преобразований, данный раздел содержит рассмотрение трех основных и сравнительный анализ их характеристик.

Вейвлет Хаара пятого уровня. Разложение исследуемого сигнала при помощи вейвлета Хаара пятого уровня представлено на рисунке 2.61

Рис. 2.61. Разложение сигнала при помощи вейвлета Хаара пятого уровня

119

Рис. 2.62. Сжатие сигнала при помощи вейвлета Хаара пятого уровня

Рис. 2.63. Исходный и сжатый сигнал при помощи вейвлет-преобразования Хаара пятого уровня при коэффициенте сжатия 0.98

120

Далее необходимо проанализировать зависимость количества сохраненной энергии

сигнала от коэффициента сжатия, результаты представлены в таблице 2.7.

Таблица 2.7. Зависимость количества сохраненной энергии от коэффициента сжатия для вейвлет-преобразования Хаара пятого порядка

Данную зависимость удобно представить в виде графика (рисунок 2.64):

Рис. 2.64. Зависимость количества сохраненной энергии от коэффициента сжатия для вейвлет-преобразования Хаара пятого уровня

Вейвлет Добеши пятого уровня и пятого порядка. Разложение исследуемого сигнала при помощи вейвлета Добеши пятого уровня и пятого порядка представлено на рисунке 2.65.

Рис. 2.65. Разложение сигнала при помощи вейвлета Добеши пятого уровня и пятого порядка