Методы математической физики.-1

A0

∞

u(r,ϕ) =

+ ∑(An cos nϕ + Bn sin nϕ) rn .

(11.5)

2

n=1

A0

∞

f (ϕ) =

+ ∑(An cos nϕ + Bn sin nϕ)R n .

2

n=1

1

π

1

π

1

π

A0 =

∫ f (ϕ)dϕ ,

An =

∫ f (ϕ) cos nϕdϕ ,

Bn =

∫ f (ϕ) sin nϕdϕ . (11.6)

π

n

n

−π

πR

−π

πR

−π

Пример11.1

Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

u=0 в круге

0≤r<2, принимающее на границе круга значения

u

r=2

= 2ϕ +1 .

Решение задачи будем искать в виде

u(r,ϕ) =

A0 + ∑(An cos nϕ + Bn sin nϕ) rn .

∞

2

n=1

Найдем коэффициенты ряда по формулам (34).

A =

1

π (2ϕ +1)dϕ =

1

(ϕ2

+ϕ)

π

= 2 .

0

π

∫

π

−π

−π

1

π

1

1

π

π

1

An =

∫(2ϕ +1)cos nϕdϕ =

(2ϕ +1)

sin nϕ

− ∫

2

sin nϕdϕ

=

π2

n

π2

n

n

n

−π

2

π

−π

−π

=

cos nϕ

= 0 .

π2n n 2

π

−π

π

π

1

1

−1

1

Bn =

∫(2ϕ +1)sin nϕdϕ =

(2ϕ

+1)

cos nϕ

+ ∫2

cos nϕdϕ

=

π

2

n

π2

n

n

n

−π

−π

−π

= −(−1)n 4π

+

2

sin nϕ

π

=

(−1)n+1

.

Итак,

π2n n

π2n n2

−π

2n−2 n

∞

(−1)n+1

n

u(r,ϕ) =1 + ∑

sin nϕ

r

2

n−2

n

n=1

Ut = a2U xx + F (x,t)

(10)

с границей γ и удовлетворяющее условиям

D ={(x,t) : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤t ≤1}, U | = f (x), U

| =ϕ(t),

U | =ψ(t).

(11)

t=0

x=0

x=1

Используем метод сеток с шагом по оси Ox, hx = 0,1и с шагом по оси Ot, ht

= 0,005. Ме-

тод состоит в том, что искомое решение U (x,t) представляются в виде таблицы [U *] зна-

чений этого решения в точках некоторого точечного множества

D* D γ

называемого

чения

прямых

xm = x0 + mh, tn =t0 + nτ ,

т.е.

с

точками

( xm , tn ) = ( x0 + mh , t0

+ nτ ). Решение [U *] представляет собой множество значе-

ний {U mn }, где U mn =U (x0 + mh,t0 + nτ) . Запишем уравнение (10) в операторном виде

LU = F1 (x,t)

(12)

− a

2

U xx

F(x,t)

U t

U ( x,0), 0 ≤ x ≤ 1

(x)

LU =

f

F1 (x,t) =

(13)

U (0, t)

ϕ(t)

U (1, t )

ψ(t)

Заменив значения всех функций в точках

(x,t) на их значения в точках

(xm ,tn ) , где

xm = mh,

tn = nτ, m =

,

n =

получим приближенное уравнение, называемое раз-

1,k

0, s,

ностным уравнением

Um,n+1 −Um,n

2 Um+1,n − 2Um,n +Um−1,n

− a

τ

h

2

1 ≤ m ≤ k −1, 0 ≤ n ≤ s −1

~

LU

= Um,0 , 0 ≤ m ≤ k,

0,n ,

U

Uk ,n , 0 ≤ n ≤ s

F

, 1 ≤ m

≤ k

−1, 0 ≤ n ≤ s −1,

mn

~

fm , 0 ≤ m ≤ k,

F1 (x,t) =

ϕn ,

ψn ,

0 ≤ n ≤ s

1)(x2 −1)

∂U

+ (xy + x4 −1)

∂U

= 0

∂x

∂y

2)U xx − 4U yy

+10U x = 0.

3)Utt

= a2U xx

, a =10,U (0, x) =10x,U

(t,0) =U

(t,l) = 0,

∂U

(0, x)

= 0.

∂U

∂t

4)Utt = a2U xx

+10(t −1)cos 2x, a =1,U (0, x) =

(0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0.

∂t

5)Ut

=U xx + 2x + t,U (x,0) = 0,5x4 +1,U (0,t) = t,U (l,t) =sin 2t,

x [0,1],t [0,2].

5.

1)(2 x − y) ∂U + ( x + y) ∂U = 0.

∂x

∂y

2)2U xx − 6U xy + 4U yy = 0.

3)U tt = a 2U xx , a =1,5,U (0, x) = 2( x + 3), ∂U (0, x) = sin x,

U (t,0) =U (t, l) =1.

∂t

4)U tt = a 2U xx + tx 2 , a = 2,U (0, x) =

∂U (0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0.

∂t

5)U t

=U xx + t sin x,U ( x,0) = x(1 − x),U (0, t) = t ,U (l,t) = t

x [0;0,5], t [0,1]

6.

∂U

∂U

1)x2

+ (2xy + 3)

= 0.

∂x

∂x

2)4U xy −U yy +U x − 2U y = 0.

3)Utt

= a2U xx , a = 2,U (0, x) = cos 2x,

∂U

(0, x) = x,

∂t

U (t,0) =U (t,l) =t.

4)Utt

= a2U xx

+ t 2 x, a = 3,U (0, x) =

∂U

(0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0.

∂t

5)Ut

=U xx + e−0,3x sin x,U (x,0) = x2 ,U (0,t) =1,U (l,t) = 5t

x [0;1],t [0,3]

1)(x − y + 2)

∂U

+ (2x + 3y −1)

∂U

= 0.

∂x

∂y

2)U xx −9U yy + 3U y = 0.

3)Utt = a2U xx , a =1,U (0, x) =

x

,

∂U

(0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0,

∂t

2

∂U

4)Utt = a2U xx + t 2 x2 , a =3,5, U

(0, x) =

(0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0.

∂t

5)Ut =U xx + t sin 2x,U (x,0) =3x(2 − x),U (0,t) =t 2 , U (l,t) = cost,

x [0;1],t [0,2].

9.

∂U

∂U

1)(x + 2 y +1)

+ (x − 2 y)

= 0.

∂y

∂x

2)U xx − 2U xy −8U yy +U x −U y = 0.

3)Utt = a2U xx , a = 2, U (0, x) = 2cos 2,5x,

∂U

(0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0.

∂U

∂t

4)Utt = a2U xx + t,a =1,5,U (0, x) =

(0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0.

∂t

5)Ut =U xx + sin

πx ,U (x,0) = 4x2 ,U (0,t) =t +1, U (l,t) =sin t,

6

x [0;1],t [0,2].

10.

1)(x + y + 2) ∂U

+ (2x + 3y +1) ∂U

= 0.

∂x

∂y

2)2U xx −10U xy

+12U yy +U y = 0.

3)Utt = a2U xx , a =1.5,U (0, x) = xsin

πx , ∂U (0, x) =U (t,0) =U (t,l) = 0.