Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Введение в экономическую математику

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Задание:

Найти производные функций: a) y(x) = (x + 5)4

б)y = sin2 3x

в)y = ln (arctg 5x )

Решение:

a) y(x) = (x + 5)4

y = 4 (		+ 5)3 *	1
	x

			2 x

б)y = sin2 3x
Пусть t = sin 3x			(т.к.сложная функция)

y = (t2 ) = 2t * t = 2 * sin 3x * (sin 3x ) = 2 * sin 3x * cos 3x * 3

(sin 3x ) пусть d = 3x

(sin d) = cos d * d = cos 3x * 3

в)y = ln (arctg 5x )

t = arctg 5x (т.к.сложная функция)

y = (ln t ) =	1	* t =	1	* (arctg 5x ) =

	t		arctg 5x
(arctg 5x ) пусть p = 5x
	1		5

(arctg p) = 1+ t2 * t = 1+ 25x2

Задание:

1	*	5

arctg 5x		1+ 25x2

Пример №6

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = x4 − 2x2 +3 на отрезке [−2,1]

Решение:

f (x ) = 4x3 − 4x
f (x ) = 0 x(4x2 − 4) = 0	x1 = 0 x 2	= 1
		3

Подставляем в исходную функции : x1 , x2 , x3 [−2,1]

f (−2) = (−2)4 − 2 * (−2)2 + 3 =16 −8 + 3 =11
f (0) = (0)4 − 2 * (0)2 + 3 = 3								( )	( )
	(	)	(	)	(	)	( )
f		−1 =		−1 4 − 2 *		−1 2 + 3 = 2 , f 1		= 1 4	− 2 * 1 2 + 3 = 2
Ответ :				при x = −2 т.е.			f (−2) =11 наибольшее значение
				при x = 1 т.е.			f ( 1) = 2	наименьшее значение

Пример №7

Задание:

Найти дифференциал функции y = sin5 3x

Решение: y = sin5 3x

y = 5(sin (3x ))4 * (sin 3x ) = 5(sin (3x ))4 * 3cos 3x =15(sin 3x )4 *cos 3xdx

Пример №8

Задание:

Найти предел, используя правило Лопиталя:

lim

−16

x3 + 5x2

− 6x −16

x→2

Решение:

lim

−16

x→2

x3 + 5x2 − 6x −16 0

lim

f (x )

= lim

4x3

g (x )

2 +10x − 6

x→k

x→2 3x

Пример №9

Задание:

Найти производную:

a)y =

sin x

б) y =

ln x

Решение:

a)y =

sin x

y =

(sin x ) x2 −sin x * (x2 )

= cos x * x2 −sin x * 2x = x cos x − 2 sin x

)

б) y =

ln x

* x − ln x

(ln x ) x − ln x * x =

1− ln x

y =

2.4.Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.

Пример №1

Задание:

Объем продукции лампочек в течение рабочего дня представлен функцией y = − 72 t3 + 1327 t2 + 300t +10

t − время, часов

Вычислить производительность труда в течение каждого часа работы?

Решение:

Пусть производительность труда y=y(t) выражает количество произведенной продукции лампочек за время t. Необходимо найти производительность труда в момент времени t0. За период времени от t0 до t0+ t количество произведенной продукции изменится от

значения y0=y(t0) до значения y0 + y = y(t0 + t) . Тогда средняя производительность труда

за этот период времени

zср = yt

Производительность труда в момент времени t0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до t0+ t при

t → 0 т.е. z = lim zср	= lim	y	= y (t )
t→0	t→0	t

Производительность труда = производная объема выпускаемой продукции. y = − 76 t2 + 2726 t + 300

y (1) = 300,1 y (2) = 598, 49 y (3) = 295,1 y (4) = 290,1

Ответ: после второго часа работы наблюдается спад производительности труда(упадок сил, плохо проветренное помещение и т.д.).

Задачи для самостоятельного решения

2) Если an	=	2n +8	, найдите a2 .
		4 + 3n

3)Пусть последовательность {an} определена как an = 5n + n . Последовательность убывающая или возрастающая?

4)Исследовать последовательность на монотонность

n +1

Исследовать последовательность

n N

на ограниченность.

Найдите следующие пределы:

2n3 + 3n −1

6n6 −3n2 − 2

6n3 +8n

2 −18

a)lim

; б)lim

; в)lim

+ n

− 4

+ n + 5

−5

n→

→

8n3 + n

3n2 − 4n5 +1

г)lim

( 3n + 5 −

n ); д)lim

; е)lim

;

n +1

+ 3n

− x

n→

ж)lim 3n4 − n2 + n n→ n5 + 2n + 5

7)Используя теорему о существовании предела монотонной ограниченной последовательности, докажите существование следующих пределов:

	+	1	+	1	+ ... +	1
lim 1

n→		2! 3!				n !


8)	Найдите следующие пределы:
	a) lim		sin 3x	;	б) lim	sin 5x		; в) lim		1− cos x	;
	a) lim			;	б) lim			; в) lim		x2	;
	x→0		x		x→0 sin 2x				x→0	x2
	г) lim	arcsin x			; д) lim		arctg2x
	г) lim				; д) lim
	x→0		x		x→0 sin 3x
9)	Найдите следующие пределы:

x −1 x +2 a) lim

x→ x + 3 10) Найдите следующие пределы:

		3	x2		− 2x +1		x

; б) lim (1+ tg2	x )x
			; в) lim			.
				2	− 4x + 2
x→0			x→ x

x2	−5x +10
a) lim				; б) lim
	x	2	− 25
x→5				x→0

x2 +1 −1

x3 − 27

; в) lim

+16

− 4

x→3

x −3

11) Исходя из определения, докажите непрерывность функции: f (x) = x2 +3x +1, при любом x.

12) Исследовать на непрерывность функцию:

y =	x2		.
	x −	2

13)Первоначальная сумма вклада равна 7000 ден.ед., период начисления – 2 года, сложная процентная ставка – 12%. Известно, что начисление процентов осуществляется непрерывно. Необходимо найти наращенную сумму вклада.

14)Вкладчик положил в банк 10000 руб. Проценты сложные. Какая сумма будет на счете у вкладчика через три года, если процентная ставка в первый год – 20%, во второй – 30%, в третий – 25%?

15)Вычислить производные следующих функций:

a) y = x2 (x3 −1);

x2 +1

; в) y = 3

г) y = x2 sin(2x) + 2x cos(3x);

б) y =

x2 − x +

д)y = arccos

; е) y = x

− 4x

+ 2x; ж)y = arctgx + arcctgx; з) y =

;

и) y = (x2 − 2x + 2)ex ; к) y =

2x + 3

;

л) y = arcsin x + arccos x.

x2 −

5x + 5

16) Найти производную:

1) y = x2 ; 2) y =

;

x; 3) y =

; 4) y = sin

5) y = 1+ 3x; 6) y = x x; 7) y = x4 + 3x2 − 2x +1;

−

9)y = 4x5

8)y = 3 x +

+ 4;

−3sin x + 5ctgx;

10)y = log2 x + 3log3 x;

11) y = arctgx − arcctgx;

12)y =

1 x

13)y = x

log3 x; 14)y =

x2 −1

;

1+ ex

cos x

ctgx

15)y =

; 16) y =

; 17)y =

; 18) y =

1+ 2 sin x

1− ex

17) Найти производные сложных функций:

1)y = sin 3x;

2)y =

1− x2 ;

3)y = sin(x2 + 5x + 2); 4)y = 1 + 5cos x;

6)y = sin3 x; 7)y = ln cos x;

5)y = 2x − sin 2x;

8)y = ln(1+ cos x);

9)y = ln(x2 − 3x + 7);

10)y = sin2 x;

11)y = etgx ;

12)y = ln tg5x;

13)y = tg(x2 + 3);

14)y =

x − 3

;

15)y = sin4

x + cos4 x; 16) y =

;

+ cos 4x)5

x + 3

−x2

18)y = e 3

17)y = 2

+ x

+ e

;

cos

; 19) y = log5 cos 7x; 20)y = arctg

x − 3

18)Найти дифференциал функции: 1)y = x5; 2)y = tgx;

3)y = sin3 2x; 4)y = ln x; 5)y = ln(sin x ); 6) y = 2−x2 .

19)Найти дифференциал функции в точке x0: 1)y = x−4 , x0 = −1; 2)y = x3 − 3x2 + 3x, x0 = 0.

20)Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций на указанных отрезках и в указанных интервалах:

1)y = x4 − 2x2 + 5, x [−2;2];

2)y = x5 −5x4 + 5x3 +1, x [−1;2];

3)y = x + 2x , x [0;4].

21)Показать, что функция y = 2x3 +3x2 −12x +1 убывает в интервале (-2;1).

22)Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1) lim

2sin x −1

; 2) lim

cos x

; 3) lim

cos 3x −cos 5x

;

x→ /6

cos 3x

x→ / 2 cos 3x

x→0

4) lim

2x x − 2

; 5) lim

ln x

; 6) lim

x2 − 6x +8

x2 −1

ln(5 − 2x)

x→1

x→+

x→2

23)Найти объем производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если

p= 82, TC(q) = q3 +7q.

24)Найти оптимальный объем производства фирмы, функция прибыли которой задана таким образом:

П(q) = TR(q) −TC(q) = q2 −16q +19

25) Объем продукции u цеха в течение рабочего дня представляет функции u = −t3 −14t2 + 34t + 367

где t-время(ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Практическая работа №3 Интегральное исчисление. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Цель работы: научиться вычислять определенные и неопределенные интегралы.

Задача интегрирования является обратной по отношению к задаче дифференцирования функции, а именно по функции f (x), являющейся производной некоторой функции F (x),

требуется найти эту функцию F (x).

Определение. Функция

F (x), определенная

в промежутке (a,b), называется

первообразной

данной функции

f (x)

в этом

промежутке,

если для

любого значения

x (a,b)

выполняется равенство F (x)

= f (x).

Так, функция F (x)= x4 – первообразная функции

f (x)= 4x3 в интервале (− ,+ )

, т.к.

(x4 ) = 4x3 для всех x .

Если

F (x) – первообразная функции

f (x),

то (x)= F(x)+ C , где C –

произвольная постоянная, также является ее первообразной, т.к.

( (x))

= (F (x)+ C )

= F (x)+ 0 = f (x).

Обратно, если

(x) и F (x) – две первообразные функции

f (x), то они отличаются

произвольным слагаемым: (x)− F(x)= C, (x)= F(x)+ C .

Определение. Неопределенным интегралом от данной функции

f (x) называется

множество всех ее первообразных: f (x)dx = F(x)

+ C , где F (x)= f (x). Знак

называется знаком неопределенного интеграла; функция f (x) – подынтегральной

функцией; выражение

f (x)dx – подынтегральным выражением.

Свойства интеграла

( f (x)dx) = f (x)

(k f (x))dx = k f (x)dx, где k − const

2. d( f (x)dx)= f (x)dx

(f1(x) f2 (x))dx =

f1(x)dx

f2 (x)dx

dF(x)= F(x)+C

Основные неопределенные интегралы

xn+1

+ C , n −1

sin xdx = −cosx + C

n +1

10.

= ln

+ C

dx = x +C

= arcsinx + C

11.

= arcsin

+ C

1− x2

− x

axdx =

+ C

12. exdx = ex + C

ln a

13.

arctg

+ C

= arctgx + C

+ x

1+ x2

14.

= −ctgx + C

cosxdx = sin x + C

sin

x − a

+ C

15.

= ln

x +

x2 a2

+ C

2 a2

− a

x + a

= tgx + C

cos

Интегрирование методом замены переменной.

Пример . Вычислить sin(2 −3x)dx методом замены переменной.

Решение.

Введем

новую переменную t = 2 −3x ,

тогда

x =

2 − t

dx = −

интеграл можно

выразить:

sin(2 −

3x)dx = sin t

−

= −

sin tdt =

cost + C

cos(2 − 3x)+ C .

Ответ: sin(2 − 3x)dx ==

cos(2 − 3x)+ C .

Пусть u = u(x)

v = v(x)

– дифференцируемые функции.

По

свойствам

дифференциала имеем: d

(uv)= v du + u dv , или u dv = d(uv)− v du .

Интегрируя левую и правую части полученного равенства и учитывая свойства

интегралов, получаем формулу интегрирования по частям:

udv = uv − vdu .

Определение. Определенным интегралом обозначают выражение вида:

f (x)dx ,

где значeние a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом

интегрирования, f (x)

– подинтегральная функция, непрерывная на интервале

(a,b).

Основные свойства определенного интеграла

1. b kf (x)dx = k b

f (x)dx , где k − const

2. b (f1(x) f2 (x))dx = b f1(x)dx b f2 (x)dx

3. b

f (x)dx = c

f (x)dx + b

f (x)dx , где c (a,b).

Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается формулой Ньютона-Лейбница:

f (x)dx = F(x)ba = F(b)− F(a).

При вычислении определенных интегралов так же, как и неопределенных, можно использовать метод замены переменной.

Теорема. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке a,b . Тогда

		b		b
		udv = uv	ba	− vdu ,


		a		a
где uv	b	= u(b)v(b)− u(a)v(a).
где uv	b	= u(b)v(b)− u(a)v(a).
	a
	a
	Данная формула называется формулой интегрирования по частям для
определенного интеграла.

Пример №1

Задание:

Найти неопределенный интеграл по методу разложения:

(1− x)2

x − x3ex + x2

в) tg2 xdx

б)

x x

Решение:

(1− x)2

1− 2x + x2

dx =

−

x x

x x x x

x x

−

x−

− 2x−

dx =

x−

dx +

x 2

2 + x

2 dx − 2

x 2 dx =

− 2

− 2 +1

2 +1

−1

x 2

2x 2

− 2

+ C = −2x

− 4

+ C;

−

x − x3ex

+ x

x3ex

−

2 dx − ex dx +

2 − ex + ln | x | +C;

б)

dx =

−

= −

в) tg2 xdx =

sin2 x

1− cos2 x

dx =

dx − 1dx = tgx − x + C.

cos2

cos2 x

cos2

Пример №2

Задание:

Найти неопределенный интеграл по методу замены переменной:

б)

в)

x3dx

(2x −5)5

4x + 3

9 + x2

cos x

ln x

г)

д) (2x +1)ex

+x+3dx e)

sin

Решение:

2dx

u−5du =

1 u−4

+ C =

(2x −5)5

2 (2x −5)5

2u5

−4

= −

(2x − 5)−4 + C

Пусть u = 2x −5 ,

тогда du = 2dx

4dx

u 2

б)

+ C

+ 3

4x + 3

4 4x + 3

4u 2

u = 4x + 3

du = 4dx

x3dx

2x * x2dx

du (u − 9)

−

в)

u 2

−

2 du =

9 + x2

2 9 + x2

= u 2 − 9u 2 + C = (

9 + x

)

− 9 (9 + x2 )2

+ C

u = 9 + x2

du = 2xdx

= u −9

г)

cos x

= du2

= u−

+ C

3 du = 3u 3 + C = 3(sin x )

sin2 x

u = sin x du = cos xdx

д) (2x +1)ex2 +x +3dx = eu du = eu + C = ex2 +x+3 + C; u = x2 + x + 3

du = 2x +1

e) 3lnx x dx = 3udu = u43 3

u = ln x du = 1x dx

Задание:


+ C =	ln x 3	* 3	+ C.
+ C =	4		+ C.
	4

Пример №3

Найти неопределенный интеграл по методу интегрирования по частям:

x * arctgx dx

Решение:

(x − arctg x )+ C

x * arctgx dx =

arctgx −

dx =

arctgx −

1+ x2

u = arctg x

dv = xdx

du =

v = xdx =

+ x

1 x2

+1−1

x2 +1

(x − arctg x + C)

dx =

dx −

2 1+ x

+ x

1+ x

Задачи для самостоятельного решения

1) Путем преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

7x4

− 3

x + 2 3 x

dx ; 2)

; 3)

xdx

; 4)

xdx

2x −1

4 + x4

(1+ x2 )2

x x

; 6) (x +1)15 dx; 7)

x3dx

(2x − 3)5

x4 − 2

8) 3xdx+ 3 ; 9) (ex +1)3 dx; 10) lnx2 x dx 11) 1+dx9x2 ; 12) 9 +dx2x2 ; 13) 8 − 2xdx ; 14) cos 2x dx; 15) sin2 xdx.

2)Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

1) ln xdx; 2) x4 ln xdx; 3) x ln2 xdx;

4) xe−x dx; 5) x2e−2x dx; 6) x cos xdx;

7) x2 sin 2xdx; 8) arctgx dx; 9) x2 arccos x dx;

	xdx		xex
10)		; 11)		dx.
	cos2 x		(x +1)2

3) Применяя подходящие подстановки, найти следующие интегралы:

1) sin4 x dx; 2) cos6 x dx; 3)

sin3 x

dx;

cos5 x

x2dx

; 5) sin4 x cos2 xdx; 6)

cos5 x

x2 − 2

4) Найти неопределенный интеграл:

e2x dx

x2dx

dx; 2)

; 3)

;

5 + 3x4

3 + e2x

25 +16x3

xdx

x3dx

; 5)

; 6)

;

3 + 5x2

1+ 4x8

49 + 9x2

7) x2ex3 dx; 8) x2e5x3 +4 ; 9)

x2dx

;

1− x

10) 2xx +−33 dx; 11) sin2 5x dx; 12) (x2 + 3x)sin 2xdx; 13) xarctgx dx.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.07 Mб0Введение в специальность.-7.pdf
#
05.02.2023862.99 Кб0Введение в специальность..pdf
#
05.02.20234.75 Mб1Введение в теорию дизайна..pdf
#
05.02.20231.71 Mб11Введение в теорию создания бортовой радиоэлектронной аппаратуры дистанционного зондирования земли и вопросов электромагнитной совместимости..pdf
#
05.02.2023944.29 Кб9Введение в фотонику и оптинформатику..pdf
#
05.02.20231.41 Mб2Введение в экономическую математику..pdf
#
05.02.20231.41 Mб7Введение в электронику.-1.pdf
#
05.02.2023229.21 Кб7Введение в электронику.-2.pdf
#
05.02.20231.66 Mб27Введение в электронику..pdf
#
05.02.20231.16 Mб6Введение в языкознание..pdf
#
05.02.2023401.43 Кб9Вводно-коррективный курс по грамматике английского языка..pdf