Математика. Ч. III. Теория вероятностей. Тема III. Дискретная случайная величина (110

Найдём сумму полученных вероятностей:

n

pi 0,25 0,1875 0,140625 0,10546875 0,31640625 1.

i 1

Ряд распределения случайной величины X:

По ряду распределения находим математическое ожидание:

5

M ( X ) xi pi 1 0,25 2 0,1875 3 0,140625 4 0,10546875

i1

5 0,31640625 3,05078125.

Дисперсия:

5

D( X ) [xi M ( X )]2 pi (1 3,05078125)2 0,25

i1

(2 3,05078125)2 0,1875 (3 3,05078125)2 0,140625

(4 3,05078125)2 0,10546875 (5 3,05078125)2 0,316406252,5560150146484375.

Среднее квадратическое отклонение:

( X ) 2,5560150146484375 1,599.

29

2.6. Найти ряд распределения, математическое ожидание M(X),

дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(X) случайной

величины X:

Стрелок производит выстрелы по мишени до третьего попадания.

Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,25. X – число произведённых выстрелов.

Решение

Случайная величина X может принимать значения 3, 4, 5, 6… Вычислим соответствующие вероятности:

P( X 3) p3 0,253 0,015625

– вероятность того, что стрелок сразу попал по мишени три раза подряд;

P( X 4) С32 p2 q p 3 0,252 0,75 0,25 0,03515625

– вероятность того, что стрелок в первых трёх выстрелах совершил два попадания и один промах, при четвёртом выстреле – попал по мишени;

P(X 5) С42 p2 q2 p 6 0,252 0,752 0,25 0,052734375

– вероятность того, что стрелок в первых четырёх выстрелах совершил два попадания и два промах, при пятом выстреле – попал по мишени; и т.д.

Таким образом, закон распределения случайной величины X в общем виде:

– вероятность того, что стрелок в первых m–1 выстрелах совершил два попадания и m–3 промаха, при m-м выстреле – попал по мишени.

Для вычисления характеристик случайной величины X воспользуемся следующими соображениями. В случаях, когда проводятся повторные независимые испытания до первого успеха, случайная величина распределена по геометрическому закону. Случайная величина X* – количество испытаний до первого успеха, – может принимать значения от 1 до ∞ с вероятностями:

30

P( X m) qm 1 p

– одно попадание и m-1 промах.

Её математическое ожидание:

M ( X *) 1p ,

дисперсия:

D( X *) pq2 .

Если испытания проводятся до k-того успеха, то случайная величина X в

данном случае представляет собой сумму независимых случайных величин Xi*,

геометрически распределённых, с одинаковыми математическим ожиданием 1p

и дисперсией pq2 . По свойству математического ожидания для суммы

случайных величин:

M ( X ) M ( X1* X 2* ... X k* ) M ( X1*) M ( X 2*) ... M ( X k* )

k M ( Xi*) k 1p kp .

Врассматриваемом случае количество успехов k = 3, вероятность попадания p = 0,25, следовательно, математическое ожидание:

M ( X ) 3 12 , 0,25

то есть до первых трёх попаданий стрелок в среднем произведёт 12 выстрелов.

По свойству дисперсии для суммы независимых случайных величин:

В нашем случае

31

3 0,75

D( X ) 0,252 36 ,

среднее квадратическое отклонение:

( X ) D( X ) 36 6 .

32

Литература

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.,

Высшая школа, 2004. – 479 с.

2.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М., Высшая школа, 2004. – 404 с.

3.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:

Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. –

573 с.

4. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб.

пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 5-е изд., испр. – М.:

Издательский центр «Академия», 2003. – 448 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей,

математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. – М.: Айрис-пресс,

2008. – 288 с.

33

Оглавление

34

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

35