Введение в квантовую теорию поля. Ч. 2 (90

Заметим, что (1.6) по сути является уравнением Клейна–Гордона–Фока для безмассового поля для каждой из компонент потенциала Aν . При этом из уравнения (1.6) видно, что поле является безмассовым.

Для того чтобы обобщить теорию на случай массивной векторной частицы, необходимо в функцию Лагранжа (1.1) добавить массовое слагаемое, билинейное по 4-потенциалу:

Следует отметить, что добавленное билинейное слагаемое практически однозначно определяется из условия лоренц-инвариантности с точностью до некоего параметра m, который, как мы увидим позднее, играет роль массы поля.

Уравнение движения (1.2) в этом случае принимает вид:

Продифференцировав равенство (1.8) по 4-координате xν ∂ν (∂μ2 Aν + m2 Aν − ∂ν ∂μ Aμ) = 0,

получаем, что при отличной от нуля массе, m = 0, имеет место равенство

Условие (1.9) воспроизводит условие Лоренца (1.5). Однако если в случае электромагнитного поля это условие является одним из многих возможных, которые можно накладывать ”руками“ в силу калибровочной инвариантности электродинамики, то в случае массивного векторного поля условие (1.9) является единственно возможным, так как оно следует из уравнения движения.

С учетом (1.9) уравнение движения для массивного векторного поля (1.8) сводится к уравнению Клейна–Гордона для массивного поля для каждой компоненты 4-вектора потенциала Aν

Как и в случае скалярного поля, векторное поля может быть комплексным, то есть может быть представлено в виде суперпозиции двух вещественных полей A1μ и A2μ:

Выражение для матрицы плотности спинорного поля (3.33) воспроизводит полученный ранее результат (3.31).

В заключение выпишем явный вид пропагаторов для разного типа квантовых полей:

1) Пропагатор скалярного поля ϕ(x):

2) Пропагатор векторного массивного поля Wμ(x):

Список литературы

[1]Михеев, Н. В. Введение в квантовую теорию поля. Ч. 1 / Н. В. Михеев, Е. Н. Нарынская. – Ярославль: ЯрГУ, 2007.

А. Н. Кушниренко. – М.: Высшая школа, 1971.

[4]Дирак, П. А. М. Лекции по квантовой теории поля / П. А. М. Дирак. – М.: Мир, 1971.

[5]Ициксон, К. Квантовая теория поля / К. Ициксон, Ж. Б. Зюбер. – М.: Мир, 1984.

[6]Садовский, М. В. Лекции по квантовой теории поля / М. В. Садовский. – Екатеринбург: Институт электрофизики УрО РАН, 2002.

[7]Швебер, С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля / С. Швебер. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

[8]Липманов, Э. М. Введение в квантовую теорию поля / Э. М. Липманов. – Ярославль: ЯрГУ, 1981.

1.Квантование векторного массивного поля

Рассмотрим квантование массивного векторного вещественного поля. Примером векторного поля является электромагнитное поле, которое, однако, является безмассовым. Функция Лагранжа электромагнитного поля имеет вид1:

где тензор электромагнитного поля Fμν определяется через 4-потенциал Aμ следующим образом:

Fμν = ∂μ Aν − ∂ν Aμ.

Уравнение движения Эйлера–Лагранжа

Напомним, что 4-потенциал Aμ в электродинамике определяется с точностью до калибровочного преобразования 2

где χ = χ(t, r) – произвольная функция времени и координат. Из (1.4) следует, что 4-потенциал поля не является наблюдаемой величиной, а наблюдаемыми величинами являются напряженности электричеcкого и магнитного полей, то есть тензор поля Fμν .

Ввиду неоднозначности выбора потенциала на него можно наложить различного рода дополнительные условия, упрощающие уравнение движения. Наиболее удобным является инвариантное условие Лоренца

С учетом (1.5) уравнение для поля (1.3) сводится к 4-мерному уравнению Максвелла для свободного электромагнитного поля в калибровке Лоренца

1Далее мы не будем следить за верхними и нижними индексами у 4-векторов, всегда предполагая, что по двум одинаковым индексам подразумевается суммирование.

2Используется естественная система единиц, когда c = = 1.