Савандер Физическая теория ядерных реакторов ч.2 2013

нейтронов являются сопряженными по Лагранжу для соответству-

При векторных операциях использовалось следующее соотношение для скалярных функций и : ψ , отку-

да , а также теорема Гаусса–Остроградского о

замене объемного интеграла поверхностным: dV dS .

V S

Поскольку граничные условия на границе с вакуумом для этих

или , , , что и требовалось доказать.

Теперь покажем сопряженность операторов рассеяния для ценности и потока нейтронов. Проведем соответствующие преобразования:

Сопряженность оператора ценности нейтронов деления в уравнении ценности доказывается аналогичной заменой переменных

Таким образом, показана сопряженность всех трех составляющих оператора переноса для ценности нейтронов, записанного в левой части уравнения ценности (1.2.1а), и оператора переноса для потока нейтронов, записанного в левой части уравнения потока

22

(1.2.3). Откуда, в соответствии со свойствами сопряженных опера-

торов, следует, что оператор переноса для ценности нейтронов ˆ

L

Аналогичным образом доказывается сопряженность оператора источника для ценности и потока нейтронов. В результате для операторов, входящих в уравнения ценности (1.2.4), и операторов, соответствующих уравнению для потока (1.2.3), установлены следующие важные соотношения:

Эти соотношения полезны тем, что однозначно отражают взаимосвязь между физическим смыслом ценности и потока нейтронов.

1.3. Уравнение асимптотической ценности в многогрупповом диффузионном приближении

В практике нейтронно-физических расчетов газокинетическое приближение используется довольно редко, поскольку требует больших вычислительных затрат. Поэтому наибольшее распространение в реакторных расчетах получило многогрупповое диффузионное приближение. В этом приближении непрерывная энергетическая зависимость микросечений заменяется кусочно-посто- янной, а при подготовке групповых сечений применяется принцип сохранения числа процессов и используются приближенные спектры нейтронов в различных энергетических интервалах. Кроме того, в тех случаях, когда зависимость плотности потока нейтронов в размножающей среде имеет слабую угловую зависимость, применяют разложение угловой зависимости по сферическим функциям Лежандра, ограничиваясь двумя первыми членами разложения: полным потоком нейтронов и полным током. Физически это отражает тот факт, что ядро является сферически симметричным и для взаимодействия не существенно, с какой стороны подлетает нейтрон. Для связи тока нейтронов с градиентом полного потока используют закон Фика. В результате получается многогрупповое

23

диффузионное приближение. Чтобы получить уравнение ценности в этом приближении, воспользуемся тем фактом, что уравнение для ценности нейтронов в газокинетическом приближении является сопряженным по отношению к уравнению для потока нейтронов. Следовательно, этим свойством должны обладать операторы и в многогрупповом диффузионном приближении.

Таким образом, в дальнейшем рассмотрим многогрупповое диффузионное приближение

число энергетических групп, причем нумерация групп идет сверху вниз;

чений взаимодействия, по главной диагонали которой расположены макросечения поглощения ag и увода dg нейтронов из соот-

ветствующих групп adg ag dg , а по остальным позициям –

макросечения сечения рассеяния (перевода) нейтронов между группами. В области замедления перевод нейтронов из нижних

24

групп в верхние отсутствует, такие переводы существуют в области тепловых нейтронов. Поэтому в том случае, когда все тепловые нейтроны объединены в одну группу, то эта матрица имеет нижнетреугольный вид.

группах.

Уравнение (1.3.1) дополняется стандартным граничным условием Ф rS 0 , где rS – экстраполированная граница активной зоны.

Определим скалярное произведение двух векторных функций, зависящих от пространственных переменных, как это имеет место в многогрупповом диффузионном приближении следующим выражением:

G

a;b dr ag r bg r .

g 1

ˆ

Возьмем произвольный матричный оператор M и построим к нему сопряженный, исходя из определения сопряженности:

25

Таким образом, путем замены индексов в соответствующих суммах, установлено, что сопряженным оператором по отношению к матричному является оператор, построенный путем транспониро-

вания исходной матрицы, т.е. ˆ ˆ T .

M M

Рассматривая оператор D(r ) как произведение трех опера-

торов и учитывая, что для матричного оператора с диагональной матрицей сопряженный оператор совпадает с исходным, а сопря-

женный к дифференциальному оператору также дифференциальный, но с обратным знаком, получим

Далее рассмотрим оператор, отвечающий за источник нейтронов деления f f ,Ф r . Для того чтобы получить вид этого члена в сопряженном виде, запишем его в виде скалярного произведения

Таким образом, член с источником нейтронов деления в уравнении

Используя полученные сопряженные операторы, уравнение для ценности нейтронов в многогрупповом диффузионном приближении будет иметь следующий вид:

Граничные условия на экстраполированной границе и для функции ценности остаются нулевыми: Ф rS 0 .

Для случая реакторов на быстрых нейтронах, когда все тепловые нейтроны объединены в одну группу, покомпонентная запись уравнения ценности имеет вид

В общем случае матрица сечений перевода будет матрицей общего вида. Это имеет место в том случае, когда энергия налетающего нейтрона сравним а с энергией ядер рассеивающей среды, например в реакторах на тепловых нейтронах в области термализации. Тогда при рассеянии нейтрона возможна как потеря энергии нейтроном, так и ее приобретение. В этом случае уравнение (1.3.3) будет иметь более сложную структуру.

Частным случаем для уравнения (1.3.3) является одногрупповое приближение, когда рассматривается всего одна группа нейтронов. Уравнение для потока нейтронов в этом случае имеет вид

27

Сопоставляя уравнения (1.3.4) и (1.3.5), нетрудно видеть, что поток

иценность нейтронов удовлетворяют одному и тому же уравнению

ипоэтому имеют одинаковое пространственное распределение, т.е.

Фr Ф r . Математически это означает, что уравнения для

ценности и потока нейтронов в этом приближении являются самосопряженными.

1.4. Расчет асимптотической ценности нейтронов в гомогенном реакторе без отражателя

Рассмотрим многогрупповое диффузионное приближение с числом групп, равным G . Система многогрупповых уравнений для функции ценности, согласно (1.3.3), будет иметь вид

В общем случае с учетом пространственной зависимости макроконстант размножающей среды для решения этой системы применяются численные методы. Но для случая гомогенной размножающей среды, когда макроконстанты в уравнениях не зависят от пространственных переменных, а среда граничит с вакуумом, данная система допускает аналитическое решение.

28

Для решения этой системы уравнений применим метод разделения переменных, представляя групповую функцию ценности в виде

ственную функцию оператора Лапласа:

r 2 r 0;0

rS 0,

а 0 – наименьшее собственное число, отвечающее знакопостоянной собственной функции 0 (r ) . Такое представление решения означает, что пространственное распределение групповых ценностей 0 (r ) одинаково для всех групп, а амплитудные множители Fg определяют многогрупповой спектр ценности нейтронов. Под-

ставляя это разложение в исходную систему уравнений, получим следующую систему уравнений для определения группового спек-

В результате получена линейная однородная система алгебраических уравнений относительно группового спектра ценности

нейтронов Fg . Решение этой системы определено с точностью до

некоторого постоянного множителя. Для однозначного выбора этого множителя используем следующую нормировку группового спектра ценности:

G

χ g 'Fg ' Keff . g ' 1

Таким образом, получена линейная однородная система алгебраических уравнений для определения коэффициентов Fg и, следовательно, энергетического спектра ценности нейтронов. Решение

29

данной системы определено с точностью до некоторого постоянного множителя. Выберем величину этого множителя, используя сле-

и может быть решена последовательно, начиная с нижней группы. Для самой нижней группы g G получим

Далее, применяя последовательно эту процедуру, получим выражение для коэффициентов Fg через уже известные значения этих величин, соответствующих g ' g :

Отметим, что расчет спектральной составляющей ценности нейтронов ведется от самой нижней группы к верхним, в то время как аналогичный расчет для потока нейтронов – от самой верхней группы к нижним. Это связано с тем фактом, что при составлении баланса нейтронов рассматривается приход нейтронов из верхних групп в данную, а для ценностей при реакции рассеяния нейтронов исходная ценность этой группы распределяется по всем остальным нижним группам. Поэтому для потока нейтронов в самой верхней

30