Третий семестр (вечерка) / Лекции / 7. Тригонометрическая система функций и тригонометрический ряд Фурье
.docx
Тригонометрическая система функций и тригонометрический ряд Фурье,
(1)
Свойства функций множества F:
Тригонометрическим рядом по тригонометрической системе называется функциональный ряд вида
(2)
Следствия. 1) Частичные суммы ряда являются тригонометрическими многочленами:
2) Если ряд (2) сходится, его сумма S(x) определяет периодическую функцию с периодом «Т».
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Представление функции на отрезке тригонометрическим рядом Фурье.
Пусть функция f(x) интегрируема (кусочно-непрерывна) на [a;a+Т] и имеет место равенство
(3)
Умножим последовательно обе части равенства (3) на φ(x)∊F и проинтегрируем от а до а+Т:
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Теорема Дирихле (Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье).
«Если функция f(x) кусочно-непрерывна и ограничена на [a; a+Т], то тригонометрический ряд Фурье с коэффициентами [1-3] (1) сходится на промежутке [a; a+T] к функции f(x) «в среднем»:
- его сумма равна полусумме односторонних пределов функции f(x) в точке
-
(2) сходится на всей числовой оси и определяет в R периодическую функцию ( сумму ряда) с периодом «T»:
(3) Частичная сумма ряда определяет тригонометрический многочлен наилучшего среднеквадратического приближения функции f(x) на промежутке [a; a+T] :
Среднеквадратическое отклонение (СКО) этого многочлена от функции f(x) на [a; a+T]
СКО= определяется рекуррентными соотношениями:
=====================================================================
ПРИМЕР
Тригонометрический ряд Фурье с коэффициентами
По теореме Дирихле :
Тригонометрический ряд Фурье
(1) сходится на промежутке [0; 2] к функции f(x) «в среднем»: (2) ⇒ S(-3)=S(-3+2∙2)=S(1)=0.5; S(14)=S(0+7∙2)=S(0)=1.5; S(2,5=0.5+2)=S(0.5)=f(0.5)=1;
График суммы ряда y=S(x):
ЭКЗ +1 для функции G(x)=x2 на [0;1]
1) Записать тригонометрический ряд Фурье, определить коэффициенты Фурье.
2) Изобразить по т. Дирихле график суммы ряда Фурье y=S(x), x∊[-1;3] и вычислить S(0), S(0.5), S(1), S(- 3.2).