Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / ТР 1.4 ч.1 ч
.2.pdf1
ТР 1.4 по теме «Собственные значения матрицы. Приведение кривой 2 порядка к каноническому виду.»
Часть [I]. Собственные значения матрицы.
ЗАДАНИЕ.
1.1 Определить и найти собственные значения (λi,ei) вещественной симметричной матрицы А3.
4 б.
1.2 Определить в R3 прямоугольную систему координат X’Y’Z’(e1, e2, e3) и записать явный
вид уравнений связи координат точки в двух прямоугольных системах координат
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4 б. |
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XYZ( i , j, k) |
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X' Y' Z' (e1 |
, e2 , e3 ). |
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Макс. 8 б.; |
Зач. ≥ 6 б. |
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ПУТЕВОДИТЕЛЬ |
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ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТР 1.4, вар.1 |
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ORIGIN 1 |
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1.1 1. Собственные числа матрицы. PA (λ)=det(A- λI)=0 |
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P3(λ)=(Ф.Саррюса)= -(λ+2)2(λ+25) |
+ 2∙232(λ+2) = - λ3 - 29λ2 + 954λ + 2016 |
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n=3 |
λ1+λ2+λ3 = (-1)3+1 ∙C2 = C = -29; λ1∙λ2∙λ3 =C =2016 |
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2016 = 7∙32∙25 |
→ P3(-2)=0 |
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P3(λ)=( |
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P2( |
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Если известен один корень λ |
1, |
два |
других корня определяются как корни полинома Р2(λ): |
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Р2(λ) = P3(λ)/(λ - |
λ1) |
= - λ2 - 27λ +1008 =0 |
λ2=21; λ3= - 48 |
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λ |
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λ |
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λ { - |
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P3( )= -( |
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+2)( -21)( +48)=0 <==> |
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2;21;-48 } |
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2. Собственные векторы матрицы: |
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λ--- |
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>Xλ <=> (A-λ)∙ Xλ=0 |
PM= [A-λ|0] |
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{ Xλ} |
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0.408 |
0.707 |
0.577 |
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MathCad |
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eigenvecsA() 0.816 |
0 |
0.577 |
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eigenvalsA() |
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2 |
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0.408 |
0.707 |
0.577 |
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21 |
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2
X=[X, Y, Z]T
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0 |
23 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
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|||
2 |
D( ) 23 |
23 |
23 |
|
1 |
1 |
1 |
<=> 1 |
0 |
|
1 |
|
x=-z; y=0 |
X =[-z;0;z]T= z ∙[-1;0;1]T; z≠0 |
|||||
|
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23 |
|
|
|
|
|
|
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λ |
|||
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0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
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|||||||
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<=> e1=[-1; 0; 1]T/ |
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||||||
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2 |
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||||||||
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23 |
23 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
<=>y=-z; x=-y=z X =[z; -z; z]T= z ∙[1;-1;1]T; |
|||||||
21 |
D( ) 23 |
46 |
23 |
<=> 1 |
2 |
1 |
<=> 0 |
1 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
23 |
|
|
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|
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|
|
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λ |
||
|
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0 |
23 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
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<=> e2=[1; -1; 1]T/ |
|
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||||
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3 |
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||||||
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46 |
23 |
0 |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
||||||
48 |
D( ) 23 |
23 |
23 |
|
<=> 1 |
1 |
1 <=> 1 |
0 |
|
1 |
x=z; y=2z |
X = [z;2z;z]T= z∙[1; 2; 1]T |
|||||||
|
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23 |
|
|
|
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|
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λ |
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0 |
46 |
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0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
|
<=> e3=[1; 2; 1]T/ 6
(e1, e2) =(e1, e3) = (e3, e2) = 0
1.2 BOH=[e1,e2,e3]
x
XYZ(i,j,k) |
----> |
X'Y'Z'(e1,e2,e3); |
X= y = x'e1+y'e2+z'e3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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z |
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x = -x'/ |
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+y'/ |
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+z'/ |
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x' = (X,e1) = (-x+z)/ |
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2 |
3 |
6 |
|
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||
y = - y'/ |
|
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|
+ 2z'/ |
|
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|
y' = (X,e2) = (x-y+z)/ |
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||||||||||||||||||||
|
3 |
6 |
|
|
|
|
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|
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||
z = x'/ |
|
|
+y'/ |
|
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|
+z'/ |
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|
z' = (X,e3) = (x+2y+z)/ |
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||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
6 |
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6 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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M(1,1,1) |
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<=> |
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M'(0;1/ |
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; 4/ |
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) |
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||||||||||||||
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3 |
6 |
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||||||||
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||r ||= |
3 |
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||r |
||= |
3 |
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||||||||||||
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M |
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M’ |
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|||
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2 |
23 |
0 |
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λ |
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|
|
λ |
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||||||||||
|
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A 23 |
25 |
23 |
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||||||||||||||||||
|
|
|
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23 |
2 |
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||
|
РЕЗУЛЬТАТЫ: |
0 |
|
|
|
|
|
(A- |
I)x =O |
x ≠ O |
{ ( |
i,ei): i=1,2,3} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1=-2 e1=[-1; 0; 1]T/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
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λ |
|
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
λ |
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λ2=21 e2=[1; -1; 1]T/ |
3 |
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|
λ3= - 48 e3=[1; 2; 1]T/ |
|
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6 |
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3
Собственные значения матрицы: Axλ=λxλ <=> (An-λIn)xλ=0 , xλ=/0
Вариант различных соб. чисел.
1) Собственные числа матрицы: det(A-λI)=0 |
|
|
ORIGIN 1 |
|||||||
4 |
9 |
2 |
|
4 |
|
9 |
2 |
|
||
|
|
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|
|
|||||
|
|
|
|
D( ) |
|
|
|
|
||
A |
9 |
15 |
9 |
|
D( ) A identity(3) |
9 |
15 |
9 |
||
|
2 |
9 |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
9 |
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D( ) |
|
23 2 3 30 |
144 |
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|||
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|
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|
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|
||||||
т. Виета: |
|
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||
n=3 ==>λ1+λ2+λ3=(-1)n+1с = 23; |
1 |
2 |
3= с = - 144; 144= 2432; P (2)=0 |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
=>P(λ)=(λ-2)(λ2-21λ-72)=0 D=272 |
==>λ |
= (21+-27)/2={24;-3} |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,3 |
|
|
|
----------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|||||||||||
P( ) 3 23 2 |
30 |
144 |
|
λ1=24; λ2=2; λ3=-3 |
|||||||
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
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3 |
||
v P( ) |
coeffs |
23 |
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r |
polyroots (v) |
2 |
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|||
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1 |
|
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|
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|
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|
24 |
|
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Собственные векторы матрицы: (А-λI) *xλ= 0; xλ=/0
2.1 |
k 1 3 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
9 |
2 |
|
|
|
20 |
9 |
2 |
|
||||
|
|
|
D12 k |
|||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
1 24 |
D1 D( 1 ) |
D1 |
9 |
9 |
|
D12 k |
|
D1 |
1 |
1 |
|
|||
9 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
9 |
20 |
|
|
2 |
9 |
20 |
D11 k D11 k 20 D12 k |
D13 k D13 k |
2 D12 k |
|
0 |
11 |
22 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
<-- C1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
D1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
D13 k |
|
|
|
0 |
11 22 |
|
|
|
||
|
D13 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D11 k D11 k D13 k |
|
D12 k D12 k D13 k |
|
0 |
0 |
0 |
|
||||||
11 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
<-C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
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D1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
a |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
X1 (a) |
|
2 a |
X1=a |
|
2 |
|
e1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
λ1= 24 |
||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||
|
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4
2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D21 k |
||||||
|
|
D2 D( 2 ) |
9 |
|
13 |
9 |
|
|
|
D23 k D23 k D21 k |
|
D21 k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
4.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4.5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
D22 k D21 k 9 |
|
|
|
|
|
|
|
27.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D2 |
9 |
13 |
9 |
|
D22 |
|
|
D2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<-- C1 |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
D2 |
k |
|
|
1 |
4.5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D22 k |
|
|
|
|
|
|
D2 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
D21 k |
D21 k D22 k D21 2 |
D2 |
|
0 |
1 |
0 |
|
<-- C |
|||||||||||||||||||||
|
D22 k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
X2 (b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
X2=b |
0 |
|
|
e2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
9 |
2 |
|
|
|
|||||
3 3 |
|
D3 D( 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D32 k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
D3 |
|
9 18 |
9 |
|
|
|
D32 k |
|
D3 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 |
7 |
|
|
|
|
|
D33 k D33 k D32 k 2 |
|
|
|
|
|
D31 k 7 D32 k |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
D31 k |
|
|
|
|
|
|
D3 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D31 k D31 k D33 k |
|
|
D33 k |
|
|
3 k |
|
|
|
D3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<-- C |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D32 k D32 k 2 D33 k |
|
|
D3 |
|
1 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<-- C2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
X3 (c) |
|
c |
|
|
|
|
|
c |
λ1= 24
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X3=c |
|
1 |
|
e3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
3 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
λ1= 2 |
|
|
λ3=-3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
e1 |
|
2 |
|
|
|
e2 |
|
|
0 |
|
|
e3 |
|
|
(e1,e2) = (e1,e3) = (e3,e2) =0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5
ТР 1.4 часть 2.Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
ЗАДАНИЕ. Для заданного уравнения Ф(х,у)=0 |
|
|
|
2.1 Определить квадратичную форму и матрицу K2 |
; |
( I,EI) |
|
матрицы. K2. |
квадратичной формы |
найти собственные значения λ |
3 б. |
2.2Определить и изобразить на координатной плоскости OXY(i,j) новую прямоугольную систему координат OX’Y’(E1,E2); записать явный вид уравнений связи координат точки в двух прямоугольных системах координат и
получить явный вид заданного уравнения в системе координат ’ ’ |
( |
, |
) 0 |
|
4 б. |
|||
2.3 Выделить в уравнении ( |
|
|
OX Y : |
|
x |
y |
. |
|
, |
) 0 |
«полные квадраты» по каждой из координат |
, |
|
||||
|
x |
y |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
a |
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
( x' x0 )2 |
|
( y' y0 )2 |
1 |
|
||||||
( x )2 |
ax ( x |
)2 |
|
X /Y |
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 б. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, привести уравнение Ф( ’ ’ |
|
=0 |
к виду |
|
a |
|
|
|
|
b |
|
, |
||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
y' y |
0 |
a( x' x |
0 |
)2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
указать тип кривой , определяемой этим уравнением.. |
|
A’ , |
|
А’) кривой , |
||
2.4 Задать/выбрать по уравнению ( |
, |
) 0 координаты одной из точек А |
|
|
||
|
x |
y |
(X |
|
Y |
|
найти (2.2) ее координаты (XА ,YА ) в системе XOY и показать, что эти координаты |
||||||
удовлетворяют заданному уравнению F ( x A , y A ) 0 . |
|
|
|
3 б. |
Макс. 13 баллов. Зачет > 6 баллов.
Канонические уравнения кривых второго порядка на плоскости:
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-a |
|
|
|
|
|
|
a |
X |
|
|
|
-a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
~ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
-b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-b |
|
|
|
|
|
X |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
2 |
|
~ |
|
2 |
|
|
~ |
2 |
|
~ |
2 |
|
|
~ |
2 |
|
~ |
2 |
|
|||||
|
|
( x ) |
|
|
( y ) |
|
1 ; |
|
( x ) |
|
|
( y ) |
|
1 |
( y ) |
|
|
( x ) |
|
||||||||
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
b |
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~
Y
~
X
~ |
~2 |
~ |
~2 |
(4) y |
ax |
(5) x |
by |
(1) эллипс (окружность с радиусом r , если a b r) |
с полуосями " a" ," b" |
|
|
с ветвями " вверх / вниз" или " влево |
|
(3), (2) гипербола |
/ вправо" |
|
(4), (5) парабола |
с ветвями " вверх / вниз" или " влево / вправо" |
6
Оптические свойства кривых второго порядка:
Для эллипса: лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус.
Для гиперболы: продолжение отраженного луча света, исходящего из одного фокуса гиперболы, попадает во второй фокус.
Для параболы: лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от нее образуют пучок лучей, параллельных ее фокальной оси.
7
Пример выполнения
3x 2 2 xy 3 y 2 6 2 x 2 2 y 4 0 |
(1) |
|
2.1Квадратичная форма (к.ф.) и её матрица для заданного уравнения:
|
|
|
|
k.ф.( х, у) 3x 2 2 xy 3 y 2 K2 |
3 |
|
1 |
|
: [ x, y] K2 |
x |
3x 2 2 xy 3 y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Собственные значения ( |
,x ) матрицы К2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 λ λ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
K2 I 2 x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Cообственн ые числа матрицы K2 : |
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det |
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6 8 0 |
λ {2;4} |
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Cооответствующие собственные векторы матрицы К2 . |
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λ1 |
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2 х1 |
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: |
1 |
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1 |
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x1 |
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e1 |
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λ |
2 4 х2 |
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: |
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0 |
x2 |
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e1 |
, e2 |
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Векторы e1, e2 определяют на плоскости (новую) прямоугольную систему координат
OX’Y’(e1,e2).
Y Y' y'
y М
Оx
x' X
X'
2.2 Найдем уравнения, связывающие координаты точки М в двух координатных системах XOY(i,j), X’OY’(e1,e2), записав радиус-вектор точки в этих системах :
XOY (i , j ) |
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x y |
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X ' OY ' (e1 |
, e2 ) |
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x |
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: |
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x' e1 |
y' e2 |
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x' |
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y' |
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x y |
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M ( x, y) |
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M ( x' , y' ) |
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y |
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i , j |
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2 |
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2 |
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1 |
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2 |
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i , j |
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x |
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(x' y' ) |
x' x |
e1 |
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(x y) |
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(2) |
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2 |
2 |
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1 |
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y |
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( x' y' ) |
y' x |
e2 |
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(x y) |
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8
Используя (2), запишем квадратичную форму и уравнение кривой второго порядка в новой системе координат X’OY’(e1,e2).
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k.Ф. 3x 2 |
2xy 3y 2 |
1 ( x' )2 2 ( y' )2 |
2(x' )2 4(y' )2 |
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(2) |
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F ( x, y) : 3x 2 2 xy 3 y 2 x 6 |
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2 |
y 2 |
2 |
4 0 F ( x' , y' ) : 2( x' )2 4( y' )2 6( x' y' ) 2( x' y' ) 4 0 |
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F(x' , y' ) : |
2(x' )2 4x' 4(y' )2 |
8y' 4 0 |
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2.3 Выделим в полученном уравнении «полные квадраты» по x’ |
и y’ |
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2( x' )2 4x' 2(( x' )2 2x' ) 2[( x' 1)2 1]; |
4( y' )2 8 y' 4[( y' )2 |
2 y' ] 4[( y' 1)2 |
1] , |
|||||||||||||
и получим каноническое уравнение кривой в системе X’OY’ : |
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F ( x' , y' ) : (x' 1)2 2(y' 1)2 1 |
( x' 1)2 |
( y' 1)2 |
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1 |
(3) |
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2 |
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(1/ 2 ) |
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Уравнение (3) определяет на плоскости эллипс с полуосями ax=1 и b= 1/ 2 и осями симметрии x’=1, y’=1.
2.4 Очевидно, что точка А(x’=2;y’=1) лежит на эллипсе (3). Используя соотношения (2), найдем ее координаты в системе координат ОXY:
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A(x’=2; y’=1) ↔ A( |
3 |
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, |
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) |
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X’OY’ |
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2 |
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XOY |
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Убедимся в том, что координаты |
x 3 |
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, y |
1 |
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удовлетворяют Заданному Уравнению (1): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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2 |
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3x 2 2xy 3y 2 |
6 |
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2y 4 ( A) 3 |
9 |
2 |
3 1 |
3 |
1 |
6 |
|
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
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4 0 |
ч.т.д. |
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2x 2 |
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2 |
2 |
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РЕЗУЛЬТАТЫ: |
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2 |
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2 |
2 |
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2 |
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2 |
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2, e |
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