все лекции по линалу

Теперь нужно доказать следующее равенство:

S = L + x* = {z + x*, z L}.

Для этого перепишем системы (1) и (2) в векторном виде: x1a1 + … + xnan = b (1*); x1a1 + … + xnan = 0 (2*).

Докажем сначала, что L + x* S. Пусть y L + x*. Для проверки нашего утверждения подставим y = z + x* (где z L) в соотношение (1*):

y1a1 + … + ynan = (z1 + x*1)a1 + … + ( zn + x*n)an = (z1a1 + … + znan) + + (x*1a1 + … + x*nan) = 0 + b = b.

Остаётся доказать, что L + x* S. Пусть y S. Докажем, что вектор z = = y − x* L. Для того чтобы это доказать, нужно подставить z в соотношение (2*):

z1a1 + … + znan = (y1 − x*1)a1 + … + ( yn − x*n)an = (y1a1 + … + ynan) − − ( x*1a1 + … + x*nan) = b − b = 0.

Следовательно, y = z + x* L + x*, QED.

Лекция № 6 (05.03.10)

§ 5.5. Теорема Kronecker’а − Capelli

5.5.1. Критерий линейной независимости

n

Предложение 1. Система a1, a2, …, ak R линейно независима тогда и только тогда, когда она является своим собственным базисом.

Доказательство. Если данная система − собственный базис, то, как любой базис, она линейно независима. Обратно, пусть данная система линейно независима. Поскольку любой её вектор линейно выражается через эту систему, например,

a1 = 1·a1 + 0·a2 + … + 0 ·ak,

то выполняются все пункты определения базиса.

n

Предложение 2. Система a1, a2, …, ak R линейно независима тогда и только тогда, когда ранг этой системы равен количеству векторов системы: rk (a1, a2, …, ak) = k.

Доказательство. Ранг по определению равен количеству векторов в (любом) базисе, так что линейная независимость в силу предложения 1 эквивалентна равенству rk (a1, a2, …, ak) = k, QED.

Замечание. Предложение 2 даёт практический способ выяснения того, будет ли данная система вектор-столбцов линейно независимой. Соединим данные векторы в матрицу (столбцами которой они станут), и приведём эту матрицу к ступенчатому виду. При этом ранг системы столбцов, равно как и факт их линейной зависимости или независимости, не изменится. Подсчитаем число главных элементов приведённой матрицы (а это число равно её рангу). Если это число равно числу векторов (столбцов), т. е. все столбцы главные, то по предложению 2 исходная система линейно независима. В противном случае − линейно зависима.

5.5.2. Доказательство теоремы Kronecker’а − Capelli

Теорема (Kronecker’а1 − Capelli 2). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Доказательство. Обозначим через A матрицу данной системы уравнений, а через Ã − её расширенную матрицу. Приведем теперь матрицу Ã к ступенчатому виду. Тогда матрица A автоматически также приведется к ступенчатому виду. Обозначим через B мат-

~

рицу новой (ступенчатой) системы уравнений, а через B − её расширенную матрицу. Ранг

~

не меняется при элементарных преобразованиях, так что rk B = rk A, rk B = rk à .

Далее, мы знаем, что ступенчатая система уравнений является совместной тогда и только тогда, когда столбец свободных членов не является главным. Данная система совместна тогда и только тогда, когда новая (ступенчатая) система также совместна (множество всех решений системы не меняется при элементарных преобразованиях), и её столбец свободных членов не является главным. А это будет тогда и только тогда, когда у матриц

1Leopold Kronecker (Леопольд Кронекер, 07.12.1823, Лигниц, Германия − 29.12.1891, Берлин) − не-

мецкий математик.

2Alfredo Capelli (Альфредо Капелли, 1855, Милан − 1910) − итальянский математик.

~

B и B одни и те же столбцы являются главными, что в свою очередь означает, что ранги этих двух матриц равны. Тогда равны ранги и матриц A и Ã .

§ 5.6. Линейная оболочка

5.6.1. Базис и размерность линейной оболочки

n

Определение. Пусть дана конечная система векторов a1, a2, …, ak R . Её линейной оболочкой (обозначение: ‹a1, a2, …, ak›) называется множество значений всевозможных линейных комбинаций векторов данной системы (с коэффициентами из основного поля K).

Предложение 1. Линейная оболочка любой системы векторов является линейным подпространством в Kn.

Доказательство представляет собою рутинную проверку: пусть a = λ1a1 + λ2a2 + … + λkak

и

b = µ1a1 + µ2a2 + … + µkak.

Тогда

a + b = (λ1 + µ1)a1 + (λ2 + µ2)a2 + … + ( λk + µk)ak,

и, значит, сумма двух векторов из линейной оболочки снова принадлежит этой линейной оболочке. Аналогично для произведения на скаляр (докажите сами). Нулевой вектор принадлежит любой линейной оболочке:

0 = 0·a1 + 0·a2 + … + 0 ·ak.

Если L = ‹a1, a2, …, ak›, то говорят также, что подпространство L натянуто на век-

торы a1, a2, …, ak.

Предложение 2 (минимальное свойство линейной оболочки). Линейная оболочка L данной системы векторов a1, a2, …, ak является наименьшим линейным подпространством, содержащим все векторы этой системы.

Это означает:

1)линейная оболочка L является подпространством, содержащим данные векторы;

2)если какое-то подпространство M содержит данные векторы, то оно содержит

линейную оболочку: L M (т. е. L является наименьшим подмножеством, обладающим свойствами 1)).

По предложению 1 L является подпространством. Оно содержит данные векторы, т. к., например,

a1 = 1·a1 + 0·a2 + … + 0 ·ak,

так что свойства 1) выполняются. Пусть теперь M − какое-то подпространство, содержа-

устойчиво относительно операций сложения и умножения на скаляры, так что λ1a1 + λ2a2 + + … + λkak M.

Предложение 3. Пусть в пространстве Kn даны три системы векторов:

Если каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы второй системы, а каждый вектор второй системы линейно выражается через векторы третьей системы, то каждый вектор первой системы линейно выражается через векторы третьей системы.

Доказательство. Каждый вектор второй системы принадлежит подпространству L = ‹c1, c2, …, cm›. А каждый вектор первой системы имеет вид λ1b1 + λ2b2 + … + λlbl, но этот вектор также принадлежит L, т. к. L − подпространство.

Предложение 4. Базис конечной системы векторов является базисом её линейной оболочки.

Доказательство. Пусть система b1, b2, …, br (2) является базисом системы a1, a2, …, ak (1). Докажем, что система (2) − базис подпространства L = ‹a1, a2, …, ak›. По определению базиса подпространства надо доказать:

1)каждый вектор системы (2) лежит в L;

2)векторы системы (2) линейно независимы;

3)каждый вектор подпространства L линейно выражается через векторы системы

(2).

Каждый из векторов a1, a2, …, ak системы (1) содержится в их линейной оболочке L. А каждый вектор системы (2) − это один из векторов системы (1), т. к. (2) − это подсистема (1); следовательно, каждый вектор системы (2) лежит в L. Далее, векторы второй системы линейно независимы, ибо эта система является базисом первой системы. Наконец, каждый вектор из L линейно выражается через векторы системы (1) (по определению линейной оболочки), а каждый вектор системы (1) по условию линейно выражается через векторы системы (2). Значит, по предложению 3 каждый вектор из L линейно выражается через векторы системы (1).

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Предложение 5. Размерность линейной оболочки конечной системы векторов равна рангу этой системы.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда этот ранг равен нулю. Это бывает только тогда, когда система состоит исключительно из нулевых векторов. Тогда её линейная оболочка состоит только из 0, а размерность такого подпространства по определению равна 0. Если же ранг данной системы не равен нулю, то она обладает базисом. Возьмём какой-нибудь базис данной системы, число элементов которого обозначим через r. Это число равно рангу нашей системы. Наш базис по предложению 4 является базисом линейной оболочки данной системы, а число элементов в нём r − это по определению размерность линейной оболочки, QED.

Предложение 6. Линейно независимая система векторов является базисом своей линейной оболочки.

Доказательство. По предложению 1 п. 5.5.1 (в этой же лекции) она является своим собственным базисом, а значит, по предложению 4 настоящего пункта базисом своей линейной оболочки.

Лекция № 7 (12.03.10)

5.6.2. Два подпространства

Предложение 1. Если размерность подпространства L ≤ Kn равна k, то любая система векторов этого подпространства, содержащая более нежели k векторов, линейно зависима.

Доказательство. Если L = {0}, то любая система векторов этого подпространства состоит только из нулевых векторов и, следовательно, линейно зависима. В противном случае L обладает базисом. Пусть a1, a2, …, ak (1) − какой-нибудь базис нашего подпространства L, а b1, b2, …, bm

(2) − какая-нибудь система векторов этого подпространства, причём m > k. Применим к системам векторов (1) и (2) лемму о двух системах векторов (п. 5.2.4, см. лекцию № 3 от 19.02.10). Получим, что система (2) линейно зависима, QED.

Замечание. Частным случаем этого предложения является доказанное в п. 5.3.3 (см. лекцию № 4 от 26.02.10) утверждение, что в пространстве Rn (верно также и для Kn) любая система из n + 1 вектора линейно зависима. (Размерность всего пространства Kn равна n, что подтверждается наличием стандартного базиса.)

Предложение 2. Если одно подпространство содержится в другом, то размерность первого не превосходит размерности второго.

Доказательство. Пусть L M, L, M ≤ Kn и пусть dim L = l > m = dim M. Поскольку l ≥ 1, подпространство L ≠ {0} и, следовательно, обладает базисом. Тогда в подпространстве M размерности m найдётся линейно независимая система векторов (любой базис подпространства L), в которой больше чем m элементов. Но это невозможно в силу предложения 1.

Предложение 3. Любое ненулевое линейное подпространство является линейной оболочкой своего базиса.

линейной оболочки. L M, так как любой вектор из L линейно выражается через векторы базиса.

Предложение 4. Если одно подпространство содержится в другом и их размерности равны, то и сами подпространства совпадают.

Доказательство. Пусть L M, L, M ≤ Kn и пусть dim L = l = m = dim M. Если L = {0}, то dim L = dim M = 0, M = {0} и всё доказано. В противном случае возьмём какой-нибудь базис подпространства L. Если он не является базисом подпространства M, то по лемме из п. 5.3.3 (см. лекцию № 4 от 26.02.10) к нему можно присовокупить ещё один вектор из M с сохранением линейной независимости. Но тогда в M будет больше линейно независимых векторов, чем его размерность, что невозможно в силу предложения 1. Следовательно, выбранный нами базис подпространства L является также базисом подпространства M. В силу предложения 3 оба подпространства совпадают как линейные оболочки этого общего базиса, QED.

Предложение 5. Если одно подпространство содержится в другом, то любой базис меньшего подпространства можно дополнить до базиса большего подпространства.

Доказательство. Пусть L M, L, M ≤ Kn. Пусть a1, a2, …, ak (1) − какой-нибудь базис нашего подпространства L. Если система (1) является также базисом M, то всё доказано. В противном случае по лемме из п. 5.3.3 (см. лекцию № 4 от 26.02.10) к линейно независимой системе (1) можно присовокупить ещё один вектор из M с сохранением линейной независимости новой системы (2). Если получится базис M, то всё доказано. Иначе продолжаем процесс, присоединяя новые векторы из M с сохранением линейной независимости. Процесс этот, однако, не может про-

должаться до бесконечности, ибо рано или поздно число построенных линейно независимых векторов превысит размерность подпространства M, а это невозможно по предложению 1.

Следствие. Любой базис подпространства можно дополнить до базиса всего пространства

Kn.

Доказательство: это частный случай предложения 5.

Предложение 6. В подпространстве L размерности k любая линейно независимая система из k векторов является базисом.

Доказательство. В противном случае можем добавить вектор из L с сохранением линейной независимости, но тогда в подпространстве размерности k получится линейно независимая система из k + 1 вектора.

Глава 6. Определители

6.1. Подстановки

6.1.1. Определение отображения

Определение 1. Пусть даны два множества A и B, состоящие из элементов произвольной природы. Если каждому элементу a A поставлен в соответствие некоторый элемент b B, то говорят, что на множестве A задано отображение, или функция1.

Обозначение отображения: φ: A → B; φ(a) – так обозначается значение отображения φ от элемента a, или образ элемента а при отображении φ. Иногда применяется такое обозначение: b = = aφ. (Мы не будем его использовать.)

.b

a1

.a2

A

Пример: φ: Z → Z задаётся правилом: φ(a) = a2.

Определение 2. Отображение φ называется инъективным, если при a1 ≠ a2 φ(a1) ≠ φ(a2) (разные элементы переходят в разные).

1 Точные синонимы в математике.

На рисунке изображено неинъективное отображение. Также неинъективным является отображение Z → Z, определённое выше.

Пусть φ: A → B, С A. Тогда множество φ(C) = {φ(c), c C} называется образом подмножества С при отображении φ. В частности, можно рассматривать φ(A) – это некоторое подмножество множества B, которое может совпадать с B, а может и не совпадать. В вышеприведённом примере φ(Z) = {0, 1, 4, 9, 16, …} ≠ Z.

Im φ – другое обозначение образа всего множества A при отображении φ.

Определение 3. Отображение называется сюръективным, если образ всего множества A при этом отображении равен всему множеству В.

Различные виды записи свойства сюръективности:

1)φ(A) = B;

2)Im φ = B;

3)b B a A: φ(a) = b.

Различные виды записи свойства инъективности:

1)a1 ≠ a2 φ(a1) ≠ φ(a2);

2)φ(a1) = φ(a2) a1 = a2.

Определение 4. Биективным (или взаимно однозначным) называется отображение, которое является инъективным и сюръективным одновременно.

Определение 5. Полным прообразом подмножества D множества B называется множество

−1

ϕ (D) = {a A : φ(a) D}.

6.1.2. Определения на языке уравнений

Пусть φ: A → B, и пусть b B. Рассмотрим уравнение

Здесь роль неизвестного играет элемент x множества A, b – фиксированный элемент множества B.

Инъективность: уравнение (1) имеет не более одного решения при любом b.

Сюръективность: уравнение (1) при любом b имеет решение.

Биективность: уравнение (1) всегда имеет единственное решение.

−1

Если b B, то ϕ ({b}) – множество всех решений уравнения (1).

−1

Инъективность означает2: b B ϕ (b) ≤1.

−1 −1

Сюръективность: b B ϕ (b) ≠ . Иначе: ϕ (b) ≥1.

−1

Биективность: b B ϕ (b)=1.

2 Через |M| обозначается количество элементов множества M. В алгебре это число принято называть порядком множества M. (Другое название: мощность.)

Лекция № 8 (19.03.10)

6.1.3. Произведение (композиция) отображений

Определение. Пусть даны отображения: ψ: B → C (первое) и φ: A → B (второе). Тогда их произведением (или композицией) называется отображение ψφ: A → C, задаваемое формулой:

(ψφ)(a) = ψ(φ(a)), aÎA, φ(a)ÎB.

Замечание 1. Обратите внимание, что сначала выполняется второе отображение (φ), а потом первое (ψ), то есть композиция отображений выполняется в порядке, обратном их записи.

Замечание 2. При этом всё равно говорят, что это произведение ψ на φ (первого отображения на второе).

Замечание 3. Это понятие встречалось вам в математическом анализе, но там оно называ-

лось сложной функцией, или (по Г. М. Фихтенгольцу) суперпозицией.

Замечание 4. Формула из определения выражает своеобразную ассоциативность, и изящность этой формулы, может быть, оправдывает обратный порядок умножения, который кому-то, возможно, покажется неестественным.

Теорема. Произведение отображений ассоциативно, то есть (cψ)j = c(ψj).

Доказательство. Пусть даны отображения: A ¾¾ϕ ®B ¾¾ψ ®C ¾¾χ ®D . Очевидно, что левая и правая части равенства отображают А в D ((cψ)j, c(ψj): А → D). Преобразуем левую часть: ((cψ)j)(a) = (cψ)(j(a)) = c(ψ(j(a))); теперь правую: (c(ψj)(a) = c((ψj)(a)) = c(ψ(j(a))). В

результате получили, что левая и правая части равны, QED.

Определение. Тождественное преобразование (e) определяется как отображение e: A → A,

задаваемое правилом: e(a) = a ("a Î A).

Замечание. Иногда я буду писать eA, если важно указать множество. Если множество ясно из контекста, сохраним обозначение e.

Предложение 1. Рассмотрим два отображения:

ϕ

A¬¾¾¾¾® B , ψj: A → A.

ψ

Если ψj = e, то j инъективно, а ψ сюръективно.

Доказательство. Для доказательства первой части предложения необходимо доказать:

φ(a1) = φ(a2) a1 = a2. Пусть φ(a1) = φ(a2). Тогда ψ(φ(a1)) = ψ(φ(a2)). Далее, (ψφ)(a1) = (ψφ)(a2); e(a1) = e(a2); a1 = a2, QED.

Для обоснования второй части предложения необходимо доказать: a Î A $b Î B: ψ(b) = = a. Но a = e(a) = (ψj)(a) = ψ(j(a)), так что в качестве b мы можем взять элемент j(a) Î B, и тогда ψ(b) = a, QED.

Предложение 2.

1.Произведение двух инъективных отображений инъективно.

2.Произведение двух сюръективных отображения сюръективно.

3.Произведение двух биективных отображений биективно.

Доказательство. Пусть даны отображения A ¾¾®ϕ B ¾¾ψ ®C .

1. Для обоснования данного пункта необходимо доказать: (ψϕ)(a1) = (ψϕ)(a2) a1 = a2.

Пусть (ψϕ)(a1) = (ψϕ)(a2). Тогда ψ(ϕ(a1)) = ψ(ϕ(a2)); ϕ(a1) = ϕ(a2) (так как ψ инъективно); a1 = a2, QED.

2. Для обоснования данного пункта необходимо доказать, что если c C, то существует такой элемент a A, что (ψϕ)(a) = c. Но из сюръективности ψ вытекает существование такого b B, что c = ψ(b). Далее, так как ϕ сюръективно, то существует a A такое, что b = ϕ(a). Теперь всё вытекает из следующих равенств:

c = ψ(b) = ψ(ϕ(a)) = (ψϕ)(a), QED.

3. Очевидно из пп. 1 и 2.

6.1.4. Обратное отображение

Определение. Пусть даны отображения φ: A → B и ψ: B → A. Отображение ψ называется обратным к φ, если выполняются равенства: φψ = εB, ψφ = εA.

Если ψ обратно к φ, то и φ обратно к ψ. Если ψ обратно к φ, то оба отображения биективны (в силу предложения 1 п. 6.1.3). Отображение φ называется обратимым, если существует обратное к нему отображение. Мы доказали

Предложение. Любое обратимое отображение биективно.

Теорема. Если отображение φ обратимо, то обратное к нему отображение единственно.

Доказательство. Пусть φ: A → B, ψ1, ψ2: B → A и ψ1, ψ2 обратны к φ. Тогда имеют место равенства: ψ1 = ψ1εB = ψ1(φψ2) = (ψ1φ)ψ2 = εAψ2 = ψ2. В результате получили: ψ1 = ψ2, QED.

Описание обратного отображения

Пусть дано биективное отображение φ: A → B. Построим некоторое отображение ψ: B → A и докажем, что оно обратно к φ. Для построения отображения ψ зафиксируем элемент b B.

Рассмотрим уравнение:

где x A и играет роль неизвестного.

Мы знаем, что это уравнение однозначно разрешимо. (Существует и единственно такое a

A, что φ(a) = b.)

Обозначим (единственное) решение уравнения (1) через ψ(b). Мы построили некоторое отображение ψ: B → A. Утверждаю, что ψ обратно к φ.

В самом деле, для любого b B

(φψ)(b) = φ(ψ(b)) = b = εB(b) φψ = εB; (ψφ)(a) = ψ(φ(a)) = a = εA(a) ψφ = εA.

Обозначается обратное отображение φ−1 .

Если отображение φ биективно, то оно обратимо (ибо мы только что построили обратное к нему). Фактически мы доказали теорему: отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.