1137

Р(m) (рис. 3, б). По диаграммам видно, что значения m данной выборки распределены по закону, близкому к нормальному.

Рис. 3. Диаграммы распределения случайной величины m

а – гистограмма; б – распределение вероятности попадания в интервал

Среднее значение для данной выборки:

Средняя квадратическая погрешность единичного измерения:

Проверим наличие промахов по критерию Романовского. Возьмём наибольшее экспериментальное значение mi = 9118,2 мг и найдём для него значение βi по формуле (10):

Критерий Романовского при объёме выборки n = 12 и доверительной вероятности Р = 0,95 составляет β = 2,52 (см. табл. 2). Так как для данной выборки βi < β, то результат mi = 9118,2 мг не считается промахом.

Среднеквадратичная погрешность среднего (стандартное отклонение):

31

Погрешность используемых аналитических весов равна θm = 0,1 мг, что в данном случае более чем в три раза меньше случайной погрешности, и ею можно пренебречь при вычислении абсолютной погрешности по формуле (16).

Абсолютную погрешность округляем до одной значащей цифры (см. подразд. 6.3), Δm = 0,4 мг, так как первая цифра результата её вычисления (взятого с одной запасной цифрой) больше 2. Окончательный результат измерения запишем в виде

mв1 = (9117,4 ± 0,4) мг; Р = 0,95.

Пусть масса этого же испытуемого изделия измерена ещё пять раз с помощью других весов, где масса наименьшего разновеса 0,5 мг, и получены следующие результаты измерений массы в миллиграммах

Тогда для выборки 2 получим: среднее значение <m> = 9117,5 мг; среднеквадратичную погрешность S<m > = 0,27 мг; случайную погреш-

Масса тигля в результате обработки выборки 2 получается в виде mв2 = (9117,5 ± 0,8) мг; Р = 0,950.

Сравнивая его с первым результатом mв1 = (9117,4 ± 0,4) мг; Р = 0,950, видим, что доверительные интервалы пересекаются. Средние значения обеих выборок попадают в общий доверительный интервал (9116,7 ... 9117,8). Есть основания полагать, что средние значения двух разных выборок принадлежат одной генеральной совокупности. Несмотря на то, что средние значения различны, можно считать, что

32

результаты измерений mв1 и mв2 совпадают.

Более строгая проверка равенства двух результатов измерений (нулевой гипотезы) методами математической статистики [11] с помощью t-критерия Стьюдента также приводит в данном случае к выводу о равенстве результатов mв1 и mв2.

5. Косвенные измерения

Чтобы определить нужную величину, приходится измерять две-три непосредственно ненужных.

Из опыта косвенных измерений

Прямые измерения некоторых величин не всегда можно осуществить. Например, плотность твёрдого тела определяют косвенно, посредством прямых измерений объёма и массы тела. В ряде случаев косвенные измерения позволяют упростить методику измерений, получить более точные результаты, чем при прямых измерениях. Например, электрическое сопротивление можно точнее измерить косвенно методом амперметра-вольтметра, чем непосредственно с помощью омметра.

Используя один и тот же принцип измерения и, по сути, один и тот же прибор, можно производить измерение как непосредственно, так и косвенно в зависимости от градуировки шкалы. Так, пользуясь датчиком на основе терморезистора, мы измеряем силу тока амперметром и далее по градуировочной кривой определяем температуру. Это – косвенное измерение. Если шкалу амперметра сразу проградуировать в единицах температуры, то это же измерение будет прямым.

5.1. Расчёт погрешности косвенного измерения (метод непосредственного дифференцирования)

Погрешности косвенных измерений зависят от вида функции, определяющей искомую величину, и от погрешностей прямых измерений тех величин, которые являются аргументами этой функции. В числе аргументов могут находиться и постоянные величины, значения которых известны приближённо, е = 2,718...; π = 3,1415...; их погрешности (погрешности округления) определяются, как будет показано в разделе 6.

Пример. При косвенном измерении объёма цилиндра

33

в погрешность ΔV вносят вклад как погрешности Δd и Δh результатов непосредственных измерений диаметра d и высоты h, так и погрешность Δπ приближённого значения числа π (погрешность округления). Число 4 в данной формуле – точное число.

Погрешность функции, аргументы которой известны с некоторой погрешностью, можно оценить с помощью дифференциала этой функции.

Абсолютная погрешность функции представляет собой получаемое ею приращение, когда аргументам функции даны приращения, равные их погрешностям.

При расчёте погрешности результата косвенного измерения учитываются предельные абсолютные погрешности величин, входящих в формулу, и предполагается, что погрешности различных аргументов усиливают друг друга (имеют одинаковый знак). Очевидно, этот расчёт даёт завышенное значение погрешности.

Пусть искомая величина х представляет собой функцию

x = f(a, b, с, ...). (17) Среди величин а, b, c, ..., входящих в уравнение измерения (17), могут быть: непосредственно измеряемые величины, данные предшествующих измерений, константы и справочные данные. Предполагается,

что величины а, b, c, ... взаимонезависимы.

По определению, полный дифференциал функции – это приращение функции, вызванное малыми приращениями аргументов:

Поскольку каждый из аргументов функции определен с некоторой погрешностью (Δа, b, c, ...), каждая из этих погрешностей вносит свой определённый вклад в погрешность х искомой величины х.

Если допустить, что значения погрешностей Δа, Δb, Δc, ... много меньше самих значений величин а, b, c, ... соответственно, то, опираясь на формулу (18), можно записать

где Δх – погрешность искомой величины x, представленной функцией

34

x = f(a, b, с, ...); ∂∂ax – частная производная10 функции x = f(a, b, с, ...) по переменной а; Δа – погрешность непосредственно наблюдаемой величины а; ∂∂bx – частная производная функции x = f(a, b, с, ...) по

переменной b и так далее.

Для практических расчётов погрешности Δх косвенно измеренной величины x, выраженной функцией (17), в предположении, что a, b, с, ... – статистически независимые величины, применяется статистическое суммирование

Отметим две особенности этой формулы по сравнению с формулой (19). С одной стороны, все слагаемые в арифметической сумме (19) после возведения в квадрат в формуле (20) суммируются с одним знаком и таким образом находится предельно возможная, заведомо завышенная, оценка погрешности в предположении, что отдельные погрешности усиливают друг друга; но, с другой стороны, вследствие возведения в квадрат малых величин в круглых скобках различие между слагаемыми возрастает, и некоторыми из них из-за их малости при оценке погрешности можно пренебречь. Обычно пренебрегают теми слагаемыми в (20) до возведения в квадрат, значения которых в 3

– 5 раз меньше остальных.

Окончательный результат косвенного измерения представляется в виде

где доверительная вероятность Р имеет то же значение, что и для всех непосредственно измеренных величин; среднее значение <х> вычисляется подстановкой средних значений аргументов:

x = f a , b , с , ... .

Выражение (20) удобно при вычислениях погрешности косвенных измерений величин, определяемых формулой, в которую входят сумма или разность, а также формулой, содержащей степеннỳю функцию.

Пример. Шар массой m и диаметром d подвешен на нити длиной l. Момент инерции шара относительно горизонтальной оси, проходящей

10 Формулы для расчёта производных некоторых функций приведены в прил.7. При вычислении частной производной по одной из переменных предполагается, что все другие аргументы дифференцируемой функции – постоянные величины.

35

через точку подвеса, определяется по формуле J = 0,1 m·d 2 + m(l + d/2)2 .

Непосредственными измерениями с многократными наблюдениями величин m, d, l получены следующие результаты:

m = (227 ± 3) г; Р = 0,95;

d = (38,2 ± 0,6) мм; Р = 0,95 ; l = (125 ± 2) мм; Р = 0,95 .

Момент инерции, полученный по средним значениям непосредственно измеряемых величин, равен

J = 0,1 ·0,227 ·(38,2 ·10-3)2 + 0,227[(125 + ½·38,2) ·10-3]2; J = 4,747 ·10-3 кгּм2 .

Погрешность момента инерции в данном примере находим согласно формуле (20)

и вычисляем отдельные слагаемые в подкоренном выражении.

36

Численное значение абсолютной погрешности момента инерции в данном примере составляет

J= 0,063 10−3 2 0,021 10−3 2 0,131 10−3 2 =0,146 10−3 ;11

J = 0,146 ·10-3 кг·м2. Момент инерции шара в данном примере равен

J = (4,75 ± 0,15)·10-3 кг·м2; Р = 0,95.

5.2. Расчёт относительной погрешности косвенного измерения

(метод логарифмирования и дифференцирования)

Исходя из формулы (20) найдём выражение относительной погрешности

случае х = f(a, b, c, ...).

Во многих случаях, когда функция содержит произведение степенных функций, вначале рассчитывается относительная погрешность по формуле (22), а затем абсолютная, что оказывается сделать значительно проще, чем сразу рассчитывать погрешность по формуле (20).

Поясним это на примере функции

Найдём натуральный логарифм этой функции

11 Когда записывается длинный ряд арифметических действий с именованными числами, их можно не сопровождать единицами при условии, что все числовые значения выражены в единицах одной системы (например, СИ). В таком случае по окончании вычислений результат записывают ещё раз (наименование искомой величины, числовое значение вместе с соответствующей единицей величины).

37

ln х= m ln a + l ln b + k ln c , затем выражения слагаемых в (27):

и получим простую формулу для расчёта относительной погрешности

Очевидно, величина, входящая в расчётную формулу в наибольшей степени (независимо от знака показателя степени), вносит наибольший вклад в погрешность косвенного измерения, и потому в первую очередь в отношении неё должны быть приняты меры для уменьшения абсолют-ной погрешности, т. е. по возможности проведено достаточно большое число наблюдений при её непосредственном измерении и выбран наиболее точный прибор из имеющихся в наличии.

Пример. Показатель адиабаты γ в уравнении pV γ = const определяют по формуле

где H и h – величины, полученные экспериментально путём прямых измерений.

Применение метода непосредственного дифференцирования (20) к данной функции

= ∂ H 2 ∂ h 2

∂ H ∂ h

38

что не тождественно (28) и (29). О том же говорят результаты вычислений, если принять значения Н = 30 см; h = 10 см; ΔH = 1 см; Δh = 1 см. По формуле (28) или (29) получаем значение δγ = 0,053, тогда как третий упрощённый способ с использованием замены переменных даёт существенно большее значение δγ = 0,078.

Таблица 4

Основные формулы погрешностей при косвенных измерениях

В табл. 4 приведены расчётные формулы относительных погрешностей наиболее употребительных функций. Первые шесть из них легче получить методом непосредственного дифференцирования: абсолютную – по формуле (20), а относительную – по формуле

40