1055
.pdfгде i xi ─ функции, характеризующие зависимости себестоимости продукции от объема производства в i-м пункте; ti j ─ транспортные
затраты на доставку единицы продукции из пункта i в пункт потребления j.
Ограничения задачи остаются без изменения:
m |
bj |
j 1,2,...,n ; |
xi j |
||
i 1 |
|
|
n |
ai |
i 1,2,...,m ; |
xi j xi |
||
j 1 |
|
|
xi j 0; |
xi 0 |
( j 1,2,...,n). |
Наибольшую трудность при построении такой модели представляет отыскание производственных функций i xi . Определение таких зависимостей возможно на основе анализа работы действующих предприятий и получения большого числа статистических данных методами регрессионного анализа.
§ 8.4. Фундаментальная модель ассортиментной задачи
Ассортиментная задача решается на каждом предприятии в любой отрасли промышленности с учетом отраслевых условий. Для этого используется следующая экономико-математическия модель:
n |
|
|
|
xjПj |
max ; |
(35) |
|
j 1 |
|
|
|
n |
Bi |
|
|
ai jxj |
(i 1,2,...,m); |
(36) |
|
j 1 |
|
|
|
xj 0 |
( j 1,2,...,n), |
(37) |
|
где xj ─ количество j-го вида продукции, производимой предпри-
ятием; Пj ─ прибыль (доход), получаемая от производства единицы
(кг, ц, т) продукции; ai j ─ норма расхода i-го вида производственного ресурса на единицу продукции; Вi ─ запасы i-го вида производственного ресурса на планируемый период времени.
Каждая отрасль имеет свои особенности. Некоторые отрасли являются энергоемкими, в других отраслях стоимость сырья в себестоимости продукции составляет 90%. Отрасли пищевой промышленности используют скоропортящееся сырье и производят скоропортящуюся продукцию. Эти и другие важные условия необходимо включать в модель ассортиментной задачи.
Пример. Ассортиментная задача фабрики по производству мороженого. Цель ассортиментной задачи состоит в определении вида и количества выпускаемой продукции, позволяющего получить максимум или минимум критерия эффективности при заданных запасах всех видов ресурсов, норм расхода каждого вида ресурса на производство выпускаемой продукции, позволяющего получить максимум или минимум критерия эффективности.
Исходными условиями для постановки задачи планирования ассортимента выпускаемой продукции фабрики по производству мороженого служат данные по запасам сырья, производственным мощностям ведущего оборудования, рецептуре на все виды выпускаемого мороженого на данном предприятии, о величине прибыли, получаемой от производства 1т каждого вида мороженого по различным рецептам.
Целевая функция задачи отражает стремление предприятия получить максимальную прибыль
n |
|
L x xjПj max |
(38) |
j 1
при ограничениях
n |
Bi |
|
|
ai jxj |
(i 1,2,...,m); |
(39) |
|
j 1 |
|
|
|
tk xk Tk ; |
|
(40) |
|
xj 0 |
( j 1,2,...,n), |
(41) |
|
где xj ─ количество производимого мороженого по j-му рецепту; n
─ общее количество рецептов по всем видам мороженого; ai j ─ рас-
ход на 1т мороженого i-го вида по j-му рецепту; tk ─ минимальное количество производства мороженого k -го вида для удовлетворения
договорных поставок; Tk ─ максимальное количество производства мороженого k -го вида. В качестве максимального ограничения выступает спрос населения на данный вид мороженого и производственные мощности ведущего оборудования; Bi ─ ресурсы i-го вида сырья; Пj ─ прибыль, получаемая от производства 1т мороженого по j-му рецепту.
При записи ограничений необходимо вводить условия на ведущее оборудование. Мощности оборудования являются «узким местом» технологического процесса производства. В результате решениия ассортиментной задачи определятся не только ассортимент, но и способ производства, то есть определяется рецепт мороженого. Желательно в условие ассортиментной задачи вводить набор рецептур, предварительно рассчитанный симплексным методом.
По указанной модели можно решить ассортиментную задачу для предприятий пищевой, хлопчатобумажной, текстильной, легкой, химической и других отраслей промышленности.
§ 8.5. Фундаментальная модель оптимального распределения инвестиций
Математическая постановка задачи оптимального распределения инвестиций или иных однородных средств (машин, сырья и т.д.) формулируется следующим образом: найти значения неизвестных x1,x2 ,...,xn , удовлетворяющих условиям:
n |
|
|
|
|
xj |
K ; |
|
(42) |
|
j 1 |
|
|
|
|
xj 0 |
( j 1,2,...,n), |
|
(43) |
|
обращающим в максимум целевую функцию |
|
|||
Fn K |
n |
|
|
|
fj xj xj |
max, |
(44) |
||
j 1
где xj─ сумма возможных вложений по j-му объекту (отрасль, пред-
приятие, цех, участок); fj (xj ) ─ фондоотдача по предполагаемому j-му объекту, т.е. функция отдачи капитальных вложений (прибыль, прирост продукции и т.д.).
Данная модель является фундаментальной, поскольку задача распределения однородных средств с целью получения максимальной отдачи может возникнуть в любой отрасли промышленности, сельского хозяйства, в торговле, сфере услуг, в банковской системе и во многих других экономических системах. Процесс распределения однородных средств, осуществляемый с применением динамического программирования, будет везде одинаковым.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое модель? Что такое фундаментальная модель?
2.Какие фундаментальные экономико-математические модели вы знаете?
3.Как записывается модель диеты?
4.Где применяется фундаментальная модель транспортной за-
дачи?
5.Какие существуют модификации модели транспортной зада-
чи?
6.Где применяется модель ассортиментной задачи?
7.Каким образом можно записать модель оптимального вложения финансовых средств в объекты?
8.Где применяется модель оптимального распределения инве-
стиций?
§ 8.6. Задачи для самостоятельного решения
Задача 8.1. Определите, какие из экономико-математических моделей транспортной задачи являются правильными:
a) |
m n |
б) |
m n |
|
|
||
L(x) cijxij min; |
L(x) cijxij min; |
||
|
i 1 j 1 |
|
i 1 j 1 |
n |
Bj; |
n |
Bj; |
xij |
xij |
||
j 1 |
|
j 1 |
|
m |
Aij; |
m |
Aij; |
xij |
xij |
||
i 1 |
|
i 1 |
|
xij 0; |
xij 0; |
||
в) |
m n |
г) |
m n |
|
|
||
L(x) cijxij max; |
L(x) cijxij min; |
||
|
i 1 j 1 |
|
i 1j 1 |
n |
Bj; |
n |
Bj; |
xij |
xij |
||
j 1 |
|
j 1 |
|
m |
Aij; |
m |
Aij; |
xij |
xij |
||
i 1 |
|
i 1 |
|
xij 0; |
xij 0, |
||
где cij ─ затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика j-му потребителю; xij ─ количество перевозимого груза от i-го поставщи-
ка j-му потребителю; Ai ─ запасы товара для перевозки у i-го поставщика; Вj ─ потребности в товаре j-го потребителя.
Задача 8.2. Определите, какие из экономико-математических мо-
делей диеты являются правильными: |
|
|
|
||
a) |
т |
|
б) |
т |
|
|
|
|
|
||
L(x) Ц jxj |
min; |
L(x) Ц jxj |
min; |
||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
n |
Bi; |
|
n |
Bi; |
|
aijxij |
|
aijxij |
|
||
j 1 |
|
|
j 1 |
|
|
xij 0, |
j 1,2,...m; |
xij 0, |
j 1,2,...m; |
||
в) |
т |
|
г) |
т |
|
|
|
||
L(x) Ц jxj |
min; |
L(x) Ц jxj max; |
||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
n |
Bi; |
|
n |
Bi; |
aijxij |
|
aijxij |
||
j 1 |
|
|
j 1 |
|
xij 0, |
j 1,2,...m; |
xij 0, |
j 1,2,...m, |
|
где xj ─ количество j-го компонента, |
вводимого в диету (в смесь); |
|||
aij ─ количество i-го элемента, содержащегося в единице j-го компо-
нента; Bj ─ стандарт содержания в диете (в смеси) i-го элемента; Ц j─
цена за единицу j-го компонента.
Задача 8.3. Определите, какие экономико-математические моде-
ли ассортиментной задачи являются правильными: |
|
а) |
б) |
n |
n |
L(x) Пjxj max; |
L(x) Пjxj max; |
j 1 |
j 1 |
n |
n |
aijxij Wi; |
aijxij Wi; |
j 1 |
j 1 |
xij 0; |
xij 0; |
в) |
г) |
n |
n |
L(x) Пjxj min; |
L(x) Пjxj max; |
j 1 |
j 1 |
n |
n |
aijxij Wi; |
aijxij Wi; |
j 1 |
j 1 |
xij 0; |
xij 0, |
где xj ─ количество производимой продукции j-го вида; aij ─ норма расхода i-го вида ресурса на производство j-го вида продукции;
Wi ─ запасы i-го вида ресурса на планируемый период времени; Пj ─
прибыль, получаемая от производства единицы продукции.
Задача 8.4. Определите, какие экономико-математические модели оптимального распределения однородного ресурса по объектам
являются правильными: |
|
|
|
|
|
а) |
n |
б) |
|
n |
|
|
|
|
|
||
Fn(K) fj(xj) max; |
Fn(K) fj(xj) max; |
||||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
xj |
K; |
xj |
K; |
|
|
j 1 |
|
j 1 |
|
|
|
xj 0; |
xj 0 |
(xJ |
целые); |
||
в) |
|
|
|
г) |
|
|
n |
|
|
n |
|
Fn(K) fj(xj) max; |
Fn(K) fj(xj)xj max; |
||||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
xj |
K; |
xj |
K; |
|
|
j 1 |
|
j 1 |
|
|
|
xj 0; |
xj 0 |
(xj |
целые), |
||
где xj ─сумма возможных вложений по j-му объекту; fj (xj )─ отдача
по предполагаемому j-му объекту; К ─ количество средств, подлежащих распределению; n ─ количество объектов для вложения инвестиций.
Библиографический список
1.Куликов Л.М. Основы экономической теории: учебник для ссузов/ Л.М. Куликов.– 2-е изд.– М: Юрайт, 2011.– 455 с.
2.Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник/ В.В. Колемаев. – 3-е
изд.– М.: Юнити-Дана, 2005. – 399 с.
3.Математические методы и модели исследования операций: учебник / ред. В.А. Колемаев. – М.: Юнити-Дана, 2011. – 592 с.
4.Математические методы финансового анализа: учебное пособие/ ред. Б.Т. Кузнецов. – М: Юнити-Дана, 2010. –159 с.
5.Замков О.О. Математические методы и модели в экономике /О.О. Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; ред. А.В. Сидорович.–3-е изд., перераб. –М.: Дело и Сервис, 2001. –365 с.
6.Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов/ ред. В.В.Федосеев.– М.: ЮНИТИ, 2002. –391 с.
7.Маркин Ю.П. Математические методы и модели в экономике: учебное пособие/ Ю.П. Маркин. – М.: Высшая школа, 2007. – 442 с.
8.Самаров К.Л. Задачи с решениями по высшей математике и математическим методам в экономике: учебное пособие/К.Л. Самаров, А.С.Шапкин. –2-е изд.– М.: Дашков и К, 2009. – 548 с.
9.Малыхин В.И. Математика в экономике: учебное пособие/ В.И.
Малыхин.– М.: ИНФРА-М, 1999.–355 с.
10.Грицюк С.Н. Математические методы и модели в экономике: учебник/ С.Н. Грицюк, Е.В. Мирзоева, В.В. Лысенко. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 348 с.
Учебное издание
Римма Борисовна Карасева
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
Учебное пособие
***
Редактор И.Г.Кузнецова
***
Подписано в печать 24.09.12. Формат 60х90 1/16. Бумага писчая. Оперативный способ печати. Гарнитура Times New Roman. Усл. п.л.6,75, уч.-изд. л. 4,9 Тираж 200 экз. Заказ №
Цена договорная
Издательство СибАДИ 644099, Омск, ул. П.Некрасова, 10
Отпечатано в подразделении ОП издательства СибАДИ