Добавил:

Adamant Студент, если у тебя есть завалявшиеся работы, то не стесняйся, загрузи их на СтудентФайлс! Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Лекции / Лекция от 22 апреля Операторный метод расчтета переходных процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2020

Размер:

528.89 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Тема ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

2. Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод базируется на интегральном преобразовании функций вещественной (одной) переменной, позволяющей осуществлять замену операций дифференцирования и интегрирования над этими функциями, алгебраическими операциями над их интегральными преобразованиями.

Применение операторного метода имеет в электротехнике то преимущество, что позволяет создать аппарат расчета переходных процессов в различных электрических цепях на подобии символического метода.

Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной ограниченной однозначной функции f (t) вещественной переменной (в данном случае t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при t < 0, сопоставляется другая функция F(p), называемая изображением.

Условие Дирихле на любом конечном промежутке функция f (t) должна быть или непрерывной или иметь конечное число разрывов непрерывности первого рода, а также иметь на этом промежутке конечное число максимумов и минимумов.

Пусть имеем некоторую функцию f (t) независимой переменной t и пусть дано комплексное число p j .

Преобразованной функцией по Лапласу или просто преобразованной функцией будем называть функцию F (p), определяемую соотношением:

		pt
	F( p) e	pt
	F( p) e
	0

(t)dt

(*)

Это соотношение представляет над функцией f (t) и обозначается:

F( p) L( f (t))

собой

или

прямое преобразование Лапласа

F( p) f (t) ,

где F(p) - изображение функции f (t). Это соответствие является взаимно однозначным.

Для того чтобы функция F(p) была определена, достаточно, чтобы интеграл (*) существовал для некоторой области значений p, за пределами которой интеграл не имеет смысла.

При вычислении интеграла полагают, что вещественная часть p - положительна 0 .

(t)

Рассмотрим	функцию от постоянной		величины, например, единицы
1.

F ( p) e pt (1)dt e ( j )tdt		1	e ( j )td ( ( j )t)
		1
0	0	j	0
0	0		0

1		( j )t	1
	e	\|0	j
j

Рассмотрим показательную функцию число.

f (t)

e	at	,

11 .

j p

где a - вещественное

( j a)t

F ( p) e

d ( ( j a)t)

j a

( j a)t

(0 1)

j a

p a

Интеграл существует при

0 .

При замене a на (−a)

получим:

( p a)t

F ( p) e

d ( ( p a)t)

p a

( p a)t

(0 1)

p a

Из основных свойств определенных интегралов вытекают два следствия для изображений:

1. Если известны

f (t) F ( p);		f	2	(t) F	( p); .....
1	1		2	2
					n

					1

;
f	k
	k

изображения нескольких функций

fn(t) Fn( p) , то
n
(t) F		( p) .
1	k
1

Таким образом изображение суммы функций соответствует сумме их изображений.

2. Если имеем постоянную величину A = const, то

			A		A			A
F( p) e pt Adt	A	e ptd( pt)		e pt \|		(0	1)		.
			p		p
0	p 0			0				p

Таким образом изображение постоянной величины, является сама эта величина, деленная на р.

Используя известные подстановки могут быть найдены изображения следующих функций:

f (t) 1 e

, тогда

F( p) e

(1 e

)dt e

dt e

p a

f (t) sin t ,

F( p)

Пусть задана функция

тогда

sin

Поскольку

sin t

e j t e j t

2 j

, то можем записать:

	a	.
	p( p a)	.
	p( p a)
	tdt .


	1			1				1		1	1
		e pt e j tdt			e pt e j tdt				(	1	1	)			.

										p j	p j
	2 j 0			2 j 0				2 j		p j	p j		p2	2
			sin t
Таким образом							.
Таким образом						p2 2	.

Пусть задана функция

	cos t	e	j t
Поскольку

f (t) cos t , тогда		F ( p)			pt
				e	pt


			0
e	j t
e	, то можем записать:
2	, то можем записать:
2

cos tdt

						1	1			p
1	e pt e j tdt	1	e pt e j tdt 1		(			)			.

						p j	p j
2	0	2	0	2					p2	2

Таким образом

cos t			p
		2		2
	p

Выполнив аналогичные операторные изображения:

sin t

cos t

преобразования можно получить следующие

e	at									;
e				2	a	2	)		2	;
		( p		2		2			2
		( p
e at					p a					.

			( p a)2					2
			( p a)2					2

Изображения многих других функций можно найти в справочниках.

Изображение производной и интеграла функции

Пусть требуется найти изображение первой производной

d dt

(t)

, если

известно, что значение функции f (t) при t = 0 равно f (0). Преобразованная по Лапласу функция запишется в виде:

	d		pt		pt
		f (t)e		dt e		d( f
	dt
0				0

Интегрирование производим по частям.

(t))

Обозначим

u ;

d( f (t)) dv .

Тогда

udv uv vdu .

f (t) d(e

Или

d( f (t)) e

f (t)|

) .

0 f (0),

f (t) d(e

Так как

f (t)|

) p

f (t)

то

f (t) e

pF( p) f (0)

или

f (t) pF( p)

e	pt	dt

f (0) .

pF(p),

Под f (0) подразумевается предел, к которому стремится функция f (t), когда t неограниченно убывает, оставаясь положительным.

Повторным применением операции, теорему о дифференцировании можно распространить на производные высших порядков:

d	2		f (t) p	2	F( p) pf (0)	d
							f (t)	;
		2
dt						dt	t 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d	n
		n	f
dt

где f '(0), .... , f n 1(0)

(t)

p	n	F( p) p	n 1	f (0)	p	n 2	f	'	(0) ..... f	n

производные соответствующих порядков,

1	,
(0)

взятые при

значении t = 0.

Если начальные значения функции и ее производные равны нулю, то:

dtd f (t) pF( p) ;

d	2		f (t) pF( p)

		2
dt

; . . . . . ;

d	n

dt		n

f (t)

p	n	F( p)

Таким образом операции дифференцирования оригинала соответствует операция умножения изображения на p.

Рассмотрим изображение интеграла. Пусть требуется найти изображение

функции

f (t)dt если известно, что изображение функции f (t) равно F(p).

Преобразованная по Лапласу функция

f (t)dt запишется в виде:

(

f (t)dt)e

(

f (t)dt)d(e

) .

Интегрирование осуществляем по частям.

) dv

Обозначив

f (t)dt u ;

d (e

можем записать:

f (t)dt

( f (t)dt)d (e

)

( f (t)dt) e

) e

| (

( f (t)dt) e

f (t)e

dt .

Поскольку первое слагаемое правой части при подстановке верхнего и нижнего пределов дает ноль, то:

t		1			pt
	f (t)dt			f (t)e		dt
		p
0			0

или

f (t)dt

F( p) p

Повторное применение операции, выраженной этой формулой, дает:

t		t		n	F ( p)
	; . . . . ;		f (t)(dt)				.
						n

0		0			p

Нулевые начальные условия учитываются в соответствующих выражениях для изображений.

Таким образом операции интегрирования оригиналов отвечает деление изображения на p.

Переход от изображения к оригиналам

При переходе от изображения F (p) к соответствующей функции време-

ни f (t) пользуются известным обратным преобразованием Лапласа:

где ла.

	1	p j
f (t)			e pt F( p)dp , (**)


	j2 p j
- вещественная константа, выбираемая из условия сходимости интегра-

Формула (**) представляет собой решение интегрального уравнения (*) относительно функции f (t). За путь интегрирования в формуле (**) может быть принята любая бесконечная прямая параллельная мнимой оси, располо-

женной на расстоянии		0	от этой оси.
		0

+ jω

0		0

При практическом использовании формулы (**) интеграл по бесконечной прямой заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюса функции F (p):

f (t)	1	F ( p) e	pt	dp

	j2

т.е. когда

lim	F ( p)
p

Полюсами называют значения р, при которых функция F (p) обращается в бесконечность.

Если функция F (p) представлена рациональной дробью, числитель и

знаменатель которой выражены полиномами

F( p)

N ( p) M ( p)

, то полюсами яв-

ляются корни характеристического полинома М (р) = 0.

При расчете переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами изображения F (p) представлены дробно-рациональными функциями с простыми полюсами и конечным пределом.

Известно, что вычет функции

N ( p)	e	pt
M ( p)	e
M ( p)

в простом полюсе равен:

m	N ( p )			p	t
f (t)	'	k	e	k
f (t)	'	( p )	e
k 1 M		( p )
		k

(***)

где pk - корни знаменателя характеристического полинома М (р), а суммирование идет по всем полюсам.

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на j2 контурный интеграл от этой функции, ко-

гда контур при его стягивании пересекает этот полюс.

Полученная формула (***) носит название теоремы разложения Хеви-

сайда.

Выражение входящее в знаменатель формулы (***) можно представить в виде:

	'			'	( p ) ,
	M	( p ) M ( p ) p M			( p ) ,
		k	k	k	k
где	M ( p ) - полином не имеющий нулевых корней.
	k
	В этом случае уравнение (***)		приобретает вид:

f (t)	N (0)	m
f (t)	M (0)
	M (0)	k 1

N ( p )		e	p	t
'	k	e	k
'	( p )
p M	( p )
k	k
k

(****)

здесь полином знаменателя имеет степень m, а полином числителя имеет степень не выше m.

Полученные формулы позволяют решать большое число практических задач.

Операторные сопротивление и проводимость

Уравнения любой электрической цепи записанные в операторной форме подобны уравнениям цепи синусоидального тока, записанным в символической

форме, при замене комплексных изображений переменных величин на соответ-
							.	_	_
ствующие операторные изображения							U	U ( p) U	; I I ( p) I , а также
все множители jω заменить на р (jω → р).
		Тогда сопротивление катушки индуктивности запишется как Lj Lp ,
а сопротивление конденсатора					1		1	.
а сопротивление конденсатора					Cj		Cp	.
					Cj		Cp
		Соответственно операторная				проводимость			катушки индуктивности
1			1	, а проводимость конденсатора				Cj Cp .
	Lj			, а проводимость конденсатора				Cj Cp .
	Lj		Lp

Сказанное распространяется на аналогичные представления производных и интегралов:

	d
	dt
	dt

;

	1
	j
	j

1 p

Изображение напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе

Помня о том, что изображение производной равно:

		d	f (t) pF( p) f (0)			,
		dt	f (t) pF( p) f (0)			,
		dt
можем записать
			d	i pI( p) I	,
			dt	i pI( p) I	,
			dt
где	I i(0) -	значение тока до коммутации i(0 ) ,				или	i(0)
	Тогда изображение на катушке индуктивности:

при t = 0.

L	d	i LpI( p) LI
	dt

(*)

Если начальное значение тока в индуктивности на момент коммутации равно нулю i(0) = 0 (нулевые начальные условия), то

L dtd i LpI( p) .

Соотношение (*) можно объяснить следующим образом. Если на момент коммутации по катушке индуктивности протекал постоянный ток I, то этот ток будет эквивалентен току, который создал бы источник тока, включаемый параллельно катушке индуктивности в момент времени t = 0. При этом, ток в самой катушке индуктивности на момент включения считается равным нулю.

i − I uL

С учетом приведенной схемы можем записать:

uL Lpi Lp(i

Или

u	L

I ) Lpi Lp Ip uL Lpi LI .

( p) LpI( p) LI .

Таким образом, вводя параллельно катушкам индуктивности, соответствующие генераторы токов, можно рассматривать систему при нулевых начальных условиях. Полученный при этом ток i = i − I + I будет соответствовать току, протекающему по катушке исходной схемы.

Изображение напряжения на конденсаторе записывается следующим об-

разом:

1	t	idt	I ( p)	u	(0) U		( p)	I ( p)	u
										(0)	,
C			Cp					Cp
	0			C		C			C

где

u	(0)	E	.
		p
C

Или относительно тока, получим:

I ( p) CpUC ( p) CE .

Такое же соотношение для преобразованного тока можно получить рассматривая схему состоящую из конденсатора и последовательно включенной ЭДС при нулевых начальных условиях.

i	C	E

	uC
Здесь конденсатор С в момент t = 0		заряжен до значения ЭДС.

С учетом приведенной схемы можем записать:

uC Cp1 i E i CpuC CpE I ( p) CpUC ( p) Cp Ep

I ( p) CpUC ( p) CE .

Таким образом, схему содержащую конденсаторы, имеющие в начальный момент заряды отличные от нуля, можно заменить схемой, состоящей из конденсаторов с нулевыми начальными зарядами и включенных последовательно с ними источники соответствующих ЭДС.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Пусть имеем последовательный контур RLC, подключаемый к источнику

ЭДС.

K R L

	e (t)	i
	e (t)	C
		C

В операторной форме уравнение цепи запишется в виде:

RI( p) LpI( p)	1	I ( p) E( p) (R Lp	1	)I ( p)
RI( p) LpI( p)	Cp	I ( p) E( p) (R Lp	Cp	)I ( p)
	Cp		Cp
Или
		Z( p) I( p) E( p) ,

где Z(p) – операторное сопротивление цепи. Относительно тока уравнение будет иметь вид:

	I ( p)	E( p)
	I ( p)	Z( p)
		Z( p)

Это соотношение называется законом санное при нулевых начальных условиях.

Ома в операторной форме, запи-

Согласно первого закона Кирхгофа можем записать:

i(t) i (t) i			(t) .... i			(t)
1	2				n

После преобразования Лапласа получим:
I( p) I ( p) I		2		( p) .... In(
1
Или в общем виде:	I( p) 0 .

0 .

p) 0 .

Это соотношение носит название первого закона Кирхгофа.

Для любого замкнутого контура электрической цепи уравнение для мгновенных значений в операторной форме может быть записано в виде:

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
11.07.2020553.87 Кб17Lektsia_As_Ar_Ot_28_05_2020_Transformator.pdf
#
11.07.2020766.29 Кб14Lektsia_Po_Toe_Dlya_As_Ar_Ot_22_05_2020_Indsvyaz_Tsepi.pdf
#
11.07.2020709.13 Кб17Lektsia_Po_Toe_Ot_15_05_2020_Rezonans_Tokov_docx.pdf
#
28.09.2020528.89 Кб17Лекция от 22 апреля Операторный метод расчтета переходных процессов.pdf
#
28.09.2020535.33 Кб23Лекция по ТОЭ интеграл_ Дюамеля от 06.05.2020.docx.pdf
#
28.09.2020775.13 Кб16Лекция по ТОЭ ПП с 2РЭ от 08.04.2020.pdf
#
28.09.2020484.07 Кб20Линейные и нелинейные магнитные цепи.docx
#
28.09.2020747.02 Кб19Переходные процессы в линейных ЭЦ часть 1.pdf