Лекции / Лекция по ТОЭ интеграл_ Дюамеля от 06.05.2020.docx
.pdf
1
Тема 4. Интеграл Дюамеля
Пусть имеется пассивный двухполюсник. Это может быть любая
сложная цепь с двумя зажимами и без внутренних источников ЭДС.
К |
этому |
двухполюснику |
прикладывается |
скачкообразное |
|
напряжение, вид которого показан на |
||
рис. 4.2. Амплитудное значение этого |
||
напряжения равно U . |
|
|
Назовем, как это сделал Карсон, |
||
переходной проводимостью отношение |
||
переходного тока i t |
при включении |
|
цепи на постоянное напряжение к величине этого напряжения, равной U ,
Y t iUt .
Эта переходная проводимость представляет собой полный ток в цепи, когда амплитуда скачка приложенного напряжения равна единице; при t 0
переходная проводимость равна нулю.
Так для цепи с последовательно соединенными R, L переходная проводимость равна
Y t
1 |
|
|
|
R |
t |
e |
|
||||
|
1 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
,
а для цепи с R и C
Y t
1 |
|
R |
t |
|
L |
||||
|
e |
|
||
|
|
|
||
R |
|
|
|
.
Допустим, что переходная проводимость рассматриваемого двухполюсника известна и требуется вычислить переходный ток i t на входе двухполюсника, возникающий под действием напряжения u t (рис. 4.2).
Заменим u t ступенчатой линией с интервалами . Ток в момент времени можно рассматривать как ток, возникающий под действием серии
2
скачкообразных напряжений, следующих друг за другом через промежутки
|
в интервале от 0 до . |
|
|
Первый скачок напряжения равен |
U 0 , последующие скачки равны |
u U . Составляющая тока, вызванная скачком, который возникает в |
|
|
|
момент времени , равна uY t . |
Поскольку переходная проводимость |
является непрерывной функцией для |
t 0 , то весь ток i t равен сумме |
составляющих тока, вызванных отдельными скачкообразными напряжениями
(используется принцип суперпозиции), т.е.
|
|
|
|
|
|
i t u 0 Y t |
t |
|
U |
||
|
|
|
|
|
|
Y t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если совершить предельный переход, т.е. d |
|
||||||||||
выражение для тока: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i t u 0 Y t |
t |
Y t u |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
где u |
lim |
U |
|
du |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
.
, то получим точное
(4.1)
Выражение (4.1) носит название интеграла Дюамеля. Он позволяет найти переходный ток при включении цепи на напряжение произвольной
формы при нулевых начальных условиях. |
|
Если функция u t имеет разрыв при t T0 |
(на рис. 4.2 не показан), то |
интеграл (4.1) должен быть взят по областям непрерывного изменения u t и
к нему должны быть добавлены члены, отражающие действие скачков напряжения. Например, если t T0 , то
T0 |
u T0 u T0 |
T0 |
i t u 0 Y t Y t u / d Y t T0 |
Y t u / d . |
|
0 |
|
T0 |
Если в (4.1) интеграл «взять» по частям, то получим интеграл Дюамеля в другом виде
где
Y |
/ |
t |
|
|
i t u 0 Y t Y t u |
|
|
|
|
t |
|
|
dY t |
|
||||
|
t |
|
|
u |
|
||||||||
|
0 |
|
|
d |
d |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u 0 Y t Y 0 u t Y t u 0 |
|
t |
|
|
dY t |
||||||||
u |
|||||||||||||
d |
|
d , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i t Y 0 u t |
t |
|
|
t u d |
|
|||||||
|
|
Y |
/ |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dY t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3
(4.2)
Выбор той или иной формы записи интеграла Дюамеля зависит от того,
какая форма приводит к более простому интегралу.
Пример.
Цепь из последовательно соединенных R и L включается на
|
e |
t T |
при нулевых начальных условиях u 0 0 |
напряжение u U 1 |
|
||
|
|
|
|
Используем интеграл Дюамеля в форме (4.6). Найдем производную напряжения
.
/ |
|
d |
|
|
T |
U |
T |
|
||
u |
|
|
U 1 e |
|
|
|
e |
|
|
. |
d |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
Переходная проводимость равна:
Y t |
1 |
|
|
t |
|
e |
RC |
||||
|
|
||||
|
R |
|
|
|
Найдем переходной ток:
и
Y t
1 |
|
|
t |
|
e |
RC |
|||
|
|
|||
R |
|
|
|
.
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
i t 1 e RC U e |
T d U |
|
e RC e |
RC |
|
|
T |
|
d |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
R |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
RT |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
U |
|
|
t |
|
TRC |
|
|
t |
|
t |
|
|
U |
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
t |
|
t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
- e |
|
|
. |
||||||||||
|
|
e RC |
|
|
e RC |
|
T |
1 |
|
|
|
|
T |
|
RC |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
RT |
|
|
|
T RC |
|
|
|
|
|
|
|
R T RC |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4
4.3. Переходной ток при воздействии импульсной ЭДС
Существует большой класс задач, связанных с расчетом переходных процессов, обусловленных кратковременных возмущениями, длительность которых соизмерима с длительностью протекания переходных процессов.
Такие возмущения и процессы называются импульсными, а устройства, в
которых формируются и действуют импульсные ЭДС и токи, импульсными системами.
Передача и преобразование сигналов при помощи импульсов находит широкое применение для передачи информации, т.к. при этом влияние помех оказывается наименьшим. Весьма широко используется импульсный метод в автоматике, телемеханике, радиоэлектронике и т.п.
Для расчета импульсных процессов применимы все ранее рассмотренные методы расчета переходных процессов. Однако при определенных формах импульсов возможны специальные методы расчета
переходных |
процессов |
в |
|
импульсных системах. |
|
|
|
Применяются импульсы |
|
||
различной |
формы: |
|
|
прямоугольной, |
треугольной, |
|
|
трапецеидальной и др. (рис. |
4.3). |
||
Пусть |
имеются |
|
|
прямоугольные импульсы. Они |
|
||
характеризуются параметрами: |
Tинт |
||
длительность интервала между импульсами (рис. 4.4), tим п длительность импульса, Tповт время повторения.
5
Допустим, что приведенный график представляет импульсы ЭДС,
действующей в некоторой электрической цепи. При каждом воздействии
импульсов ЭДС в цепи возникает переходный процесс.
При этом возможны два случая: 1) если длительность переходного процесса меньше чем Tинт , то к моменту воздействия следующего импульса ток в цепи будет равен нулю. Поэтому в данном случае переходной процесс можно
рассчитать для каждого импульса в отдельности; |
|
|
2) если длительность переходного процесса больше |
Tинт |
, то переходный |
процесс от следующего импульса будет зависеть от переходного процесса,
вызванного предыдущим импульсом. В последнем случае при Tинт const |
для |
расчета переходных импульсных процессов применяется метод, основанный
на дискретном преобразовании Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
Для первого случая рассмотрим задачу расчета переходных процессов |
||||
|
|
при |
воздействии |
одного |
|
|
|
импульса ЭДС. |
|
|
|
|
|
Подключение |
цепи |
к |
|
|
|
источнику постоянной ЭДС E с |
|||
|
|
помощью ключа |
K |
при |
|
|
|
нулевых |
начальных |
условиях |
|
|
|
можно рассмотреть как действие |
|||
|
|
в этой цепи ЭДС следующего |
|||
вида |
E t E 1 t при отсутствии ключа. |
1 t называется единичной функцией, |
|||
ее также называют функцией Хевисайда. Она описывается следующими уравнениями:
|
при t 0 . |
1 t 0 |
|
1 |
при t 0 |
функция Хевисайда показана на рис. 4.5.
Если 1 t , то имеем
6
0 |
при t |
|
1 t |
при t |
. |
1 |
|
|
|
|
|
График этой функции приведен на рис. 4.6.
Рассмотрим импульсную функцию t .
t lim |
1 t |
. |
|
t |
|||
t 0 |
|
Импульсная функция равна производной единичной функции. Ее свойства:
при t 0 |
|
|
t |
при t 0 |
, |
0 |
|
|
|
|
t dt 1, |
u t t dt u 0 . |
|
0 |
Если
t
t, то имеем
при t
,
0 при t
u t t dt u .
0
Импульсная функция не имеет такого ясного физического смысла, как единичная функция. Физическим эквивалентом импульсной функции является импульс
большой амплитуды и очень малой продолжительности действия. Например,
импульсная функция может быть получена предельным переходом из прямоугольного импульса (рис. 4.7).
Если tим п |
0 , то в пределе получим |
t . Для |
графического |
изображения импульсной |
функции |
принято условное изображение в виде широкой стрелки (рис. 4.8).
Допустим, что в некоторой цепи действует
импульсная |
ЭДС |
E t |
(рис. 4.9). Необходимо |
рассчитать |
переходной |
процесс. Используем |
|
операторный метод.
7
Учтем, что
t 1,
1
1t .
p
Перейдем к операторным изображениям:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I p i t , U p |
E t e |
pt |
dt |
Ee |
pt |
t dt E, I p |
Z p |
U p Y p , |
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Y p операторная проводимость цепи, измеренная на ее входе. Она |
||||||||||
определяется, как если бы цепь включена на постоянное напряжение U . |
|||||||||||
Т.е. |
I p EY p , где E const . Далее обратным преобразованием Лапласа |
||||||||||
находим оригинал i t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример.
Есть цепь, показанная на рис. 4.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Операторный ток равен |
I p U p Y p , |
|
где |
|
U p E, |
|
|
|
|
||||||||||||
Y |
p |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
I p |
E |
1 |
|
. Перейдем |
||
R pL |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
L |
|
R |
|||||||||
|
|
|
L |
p |
|
|
|
p |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к оригиналу i t |
E |
|
- |
R |
t |
1 t (рис. 4.11), отсюда для |
|||||||||||||||
e |
L |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t 0 получим i 0 |
E |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Операторное напряжение на катушке равно
8
U
Перейдем к оригиналу
|
pLI p |
E |
||
L |
L |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
u |
L |
t E t |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
pL |
|
|||
p |
R |
|||
L |
||||
|
|
|||
R |
- |
R |
t |
|
L |
||||
|
e |
|
||
|
|
|
||
L |
|
|
|
|
1 t
E
R
1 p
(рис.
L |
|
|
|
|
. |
||
R |
|
||
|
|||
|
L |
|
4.12).
Здесь имеет место нарушение I закона коммутации,
тока в индуктивности: iL 0 iL 0 , т.к. iL 0 0, iL 0
наблюдается скачок
|
E |
1 t . Этот скачок |
|
L |
|||
|
|
связан с мгновенным действием импульса ЭДС происходит его уменьшение по экспоненте.
Пример.
t .
После скачка тока
Необходимо определить импульсные функции для схемы,
показанной на рис. 4.13.
Найдем операторное сопротивление:
|
|
|
|
|
|
|
R |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Z p R |
|
pC |
|
p a |
|
||
|
|
|
|
|
|
R |
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
p b |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R R |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
, |
b . |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
RC |
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
Переходная проводимость равна:
Y p |
1 |
|
|
1 p b |
|
1 |
|
|
a b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
Z p |
R p a |
|
|
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
p a |
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
9
Операторный ток равен:
I p |
E |
|
|
|
1 |
||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a b p a
.
т.к.
Перейдем к оригиналу:
|
|
|
|
|
|
i t |
a b |
R0 R |
|
1 |
|
1 |
, то |
R0 RC |
RC |
R0C |
|
E |
t |
a b e |
||
|
|
|
|
|
-at |
|
R |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
i t |
|
E |
|
1 |
|
|
t |
|
|||
|
|
|
R |
|
R C |
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
0 |
|
См. след. лист
1 t ,
e-at 1 t
.
10
Задача на интеграл Дюамеля Напряжение на зажимах источника меняется по закону, изображенному на
рисунке. Параметры цепи, см. рис.: R = 10 Ом, L = 0,1 Гн, t1= 0,01 с. Определить закон изменения тока в цепи для t ≥ 3t1