лекции по физике, 4 семестр / физика лекция. 23.04
.docКафедра физики
Лекции по физике (2 курс)
Тула 2020
Лекция 23.04.2020 г.
Уравнение Шредингера
Нестационарное уравнение Шредингера
Состояние свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси х с определенным значением энергии Е и импульса р, описывается плоской волной де Бройля (4.16). Вычисляя производные от функции (4.16), находим:
. (4.21)
Любое другое состояние частицы можно в соответствии с принципом квантовой суперпозиции (4.5) или (4.9) представить в виде суммы состояний со всеми разрешенными импульсами:
(в случае дискретного спектра), (4.22)
(в случае непрерывного спектра). (4.23)
Но уравнение квантовой теории, позволяющее найти волновую функцию, должно иметь одинаковую форму для любых состояний (4.21) – (4.23). Если полная энергия Е нерелятивистской частицы определена, то она будет суммой потенциальной энергии и кинетической энергии :
. (4.24)
Подставляя соотношения (4.21) в формулу (4.24), приходим к дифференциальному уравнению
. (4.25)
Оно называется нестационарным уравнением Шредингера и было предложено Э.Шредингером в 1927 г. для описания волновых свойств микрочастиц.
Реальная частица движется в трехмерном пространстве, и для ее описания надо использовать волны де Бройля (4.17). Тогда , где – дифференциальный оператор Лапласа, и после подстановки в (4.24) получим нестационарное уравнение Шредингера в виде:
. (4.26)
Это уравнение комплексно. Его решение, т.е. волновая функция , описывающая поведение микрочастицы с массой m во внешнем поле, также может быть комплексной. Для решения дифференциальных уравнений (4.26) или (4.25) необходимо задать начальное и граничные условия для функции .
Решив нестационарное уравнение Шредингера, можно найти зависимость волновой функции от времени, т.е. определить эволюцию квантовой системы со временем.
Стационарное уравнение Шредингера
Часто встречаются системы, в которых частица находится в состоянии с определенной энергией (например – электрон в атоме и т.п.). Такие состояния называются стационарными. В случае стационарных состояний уравнение (4.26) допускает разделение переменных:
. (4.30)
Подставляя (4.30) в уравнение (4.26) и разделив обе части на произведение , получим:
(4.31)
Левая и правая части уравнения (4.31) являются независимыми функциями разных переменных t и . Они равны между собой только тогда, когда равны некоторой константе, которую легко определить, подставив связь (4.30) в первое из соотношений (4.21):
, откуда и . (4.32)
Из формул (4.30) – (4.32) следует, что в стационарном состоянии с определенным значением энергии зависимость волновой функции микрочастицы от времени учитывается экспоненциальным множителем:
. (4.33)
Плотность вероятности обнаружения частицы в стационарном состоянии, как следует из (4.33), не зависит от времени:
.
Волновая функция , зависящая только от координат, является решением стационарного уравнения Шредингера.
. (4.34)
В случае одномерного движения вдоль оси х стационарное уравнение Шредингера приобретает вид:
. (4.35)
Поле , в котором находится частица, считается известным. Уравнение Шредингера (4.34) или (4.35) позволяет найти и волновую функцию частицы в заданном поле, и все разрешенные значения ее полной энергии Е. Для этого при решении дифференциального уравнения Шредингера обязательно надо задать граничные условия для функции или для плотности вероятности обнаружения частицы . И вероятность , и волновая функция должны меняться плавно, без скачков.
!!!!! Примеры решения задач можно посмотреть на сайте кафедры физики www.physics.tsu.ru в разделе "Самостоятельная работа студентов" п. 4.13 "Оптика. Основы квантовой физики. Руководство к проведению самостоятельной работы студентов" (авторы: Ю.Н. Колмаков и др.), стр. 50-58.