- •§1. Основное состояние
- •§2. Возбужденные состояния. Система трех квантовых чисел
- •§3. Теория Бора. Принцип соответствия
- •Строение многоэлектронных атомов
- •§1. Принцип Паули и застройка электронных оболочек. Периодическая система элементов
- •Излучение и спектры
- •§1. Излучение энергии атомами
- •§2. Спектр атома водорода
- •§3. Оптические спектры многоэлектронных атомов
- •§4. Рентгеновские спектры атомов
- •§20. Индуцированное излучение и его применение в окг.
Лекция 14.05.2020 г. (2 курс)
Строение одноэлектронных атомов
§1. Основное состояние
В этой лекции мы исследуем строение атома или иона с одним электроном, иначе говоря, изучим движение электрона в кулоновском поле ядра (рис.10). Потенциальная энергия зависит только от r:
, (47)
где .
Волновая же функция в общем случае зависит от трех пространственных координат, и для решения задачи нужно использовать трехмерное уравнение Шредингера. Однако, в состоянии с наименьшей энергией (в основном состоянии), как мы покажем ниже, -функция является сферически-симметричной, т.е. зависит только от r. В этом случае оператор Лапласа , и уравнение (24) принимает вид:
(48)
а граничным условием будет:
. (49)
Решение уравнения (48) будем искать в виде:
(50)
Подставляя выражение (50) в уравнение (48) и произведя необходимые операции, приходим к системе двух уравнений
и , (51)
позволяющих определить ro и собственное значение энергии Е:
(52)
По этому поводу следует сделать несколько замечаний. Во-первых, уравнения (51) вытекают из требования обращения в нуль коэффициентов при одинаковых степенях переменной r, ибо подстановка решения должна обращать его в тождество. Во-вторых, под me подразумевается не просто масса электрона meo, а так называемая приведенная масса электрона, равная meomя/(meo + mz), т.к. на самом деле электрон и ядро движутся около общего центра масс. (Правда отличие me от meo незначительно). В-третьих, Emin получается отрицательной (как и все остальные собственные значения), т.к. мы вычисляем фактически не полную энергию электрона с учетом энергии покоя, а только энергию связи электрона с ядром, которая не бесконечности обращается в нуль.
Для водорода (Z = 1) ro = 0,53 , Еmin = – 13,5 эВ. На рис.11 показано распределение ||2 и d/dr по радиусу. Как следует из формулы (50),
(53)
а вероятность обнаружить электрон в элементе объема dV, находящемся на расстоянии r от ядра
(54)
Нас не интересует направление, а только расстояние – поэтому объем dV равен объему шарового слоя толщиной dr, т.е. действительно, 4r2dr.
Из формулы (54) следует, что вероятность обнаружить электрон на расстоянии r от заряда, определяется функцией
(55)
Эта функция, как легко убедиться, имеет максимум при r = ro.
Распределение же самой плотности вероятности ||2 или, что безразлично, e||2 называется электронным облаком и изображается обычно не в виде графика (как на рис.11), а в виде контурных диаграмм или рисунков, напоминающих обычные плоские фотографии объемного тела. В основном состоянии электронное облако имеет вид шарика, плотность которого резко убывает к краям (рис.12). Постоянная А определяется из условия нормировки
§2. Возбужденные состояния. Система трех квантовых чисел
Как уже упоминалось, в общем случае -функция зависит от трех координат (например, сферических).
Вследствие линейности уравнения Шредингера ее можно представить в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной («своей») координаты. Каждая из этих функций характеризуется своим квантовым числом, поэтому полная -функция зависит уже не от одного квантового числа (как в одномерном случае), а сразу от трех квантовых чисел:
.
Эти три квантовых числа не только определяют собственные функции, но имеют другой, не менее важный, физический смысл. Познакомимся с ним поближе.
Главное квантовое число n определяет радиальную часть -функции и энергию стационарного состояния атома:
(56)
где Е1 тождественно с Еmin из §10, а n принимает значения
n = 1, 2, 3, (57)
Азимутальное квантовое число l определяет азимутальную часть -функции и среднее значение орбитального момента импульса электрона (или механического момента)
(58)
где l принимает значения
l =0, 1, 2, , n – 1 (59)
Магнитное квантовое число m определяет полярную часть -функции и проекцию орбитального момента импульса на физически-выделенное направление z:
, (60)
где
m = l, (l – 1), , 1, 0, (61)
т.е. всего m принимает 2l + 1 различных значений. Под физически-выделенным направлением подразумевается направление любого физического поля (обычно магнитного, откуда и название «магнитное» квантовое число).
Из формул квантования (58) – (60) следует, что Lz < L (как и должно быть), но две другие проекции не определены. Поэтому вектор в квантовой физике – это не обычный вектор, заданный модулем и направлением (или тремя проекциями), а нечто более сложное: это вектор, «прецессирующий вокруг направления поля». На рис.13 показаны «конусы прецессии» вектора в состоянии с l =2.
Факт квантования проекции орбитального момента импульса был подтвержден экспериментально (см.§14).
Электронные облака в возбужденных состояниях имеют подчас самую причудливую форму, зависящую от значений всех трех квантовых чисел (тороиды, многолепестковые фигуры и т.п.)